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1.5充要条件


课题序号 授课课时 授课章节 名 称

6 2

授课班级 授课形式

财会 11 等
讲授课

1.5 充要条件
多媒体

使用教具

教学目的

初步理解三个概念;基本掌握判断充要关系的方法与步骤

>教学重点

⑴ 充分条件、必要条件、充要条件概念的理解; ⑵ 判断给定命题的条件与结论之间的关系. ⑴ 在 p ? q 中 q 是 p 的必要条件的理解;

教学难点

⑵ 如何判断 p 是 q 的什么条件; ⑶ 判断命题条件与结论间关系时,条件 p 的确定

更新、补 充、删节 内 容

课外作业

P16 习题

学习好充分必要条件,有利于今后数学中其他定理定义的学习和理解,也有 利于将来证明题中灵活运用。通过充分必要条件的学习,也锻炼了学生的逻 辑思维能力,提高了学生的思辨能力。 教学后记

授课主要内容或板书设计

§1.5 充分条件与必要条件 一.定义 二.例题与练习

课 堂 教 学 安 排
教学过程 主要教学内容及步骤

组织教学 导入新课

常规检查、师生问候
新课引入 学生活动一:打开“四种命题”的课件,对于给定的原命题,回答 它的?逆命题、否命题、逆否命题是什么?并逐一判断它们的真假. 原命题 逆命题

A x>0

B x2>0

B

A

(真) x2>0 x>0 (假)

否命题

逆否命题

?A

?B

?B

?A

x≤0 x2≤0 (假) x2≤0

x≤0 (真)

学生活动二:指出下列各组命题中,“ p ? q ”、“ q ? p ”是真 是假. 1.p:∠A,∠B 为对顶角.q:∠A=∠B 2.p:三角形三条边相等.q:三角形的三个角相等 3.p:x=y.q:x2=y2 4.p:x 是 4 的倍数.q:x 是 6 的倍数

教师评述:

讲授新课

1.由∠A,∠B 为对顶角 ? ∠A=∠B 成立,即 p ? q 一般地,如果已知 p ? q ,那么我们说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 由于“ p ? q ”与“ ?q ? ?p ”等价, 故若 ?q ? ?p 则 q 是 p 的必 要条件. 2.由三角形三条边相等 ? 三角形三个内角相等,知 p 是 q 的充分

条件,q 是 p 的必要条件,反过来由三角形的三个角相等 ? 三角形的三 条边相等,知 q 也是 p 的充分条件,p 也是 q 的必要条件.一般地,如 果既有 p ? q 又有 q ? p ,记作 p ? q 就说,p 是 q 的充分必要条件. 3.由 x ? y ? x 2 ? y 2 但其逆命题 x 2 ? y 2 ? x ? y 不成立 (或否命题 x ? y ? x 2 ? y 2 不成立)
/ ? ?q )我们说 p 是 q 成立的充分 即 p ? q 且 q/ ? p (或 p ? q 且 ?p

但不必要条件

/

/

(4) p ? q 且 q ? p ∴ p 是 q 的既不充分也不必要条件 小结 若 p ? q 则 p 是 q 的充分条件 若 ?q ? ?p 则的 q 是 p 的必要条件 若 p ? q 则 p 是 q 的充分条件

学生活动三: 内容:利用动画,在“库”中任选某对象为 p,填入格中,再任选 逻辑上有联系的另一对象为 q,也填入格中,然后按格中栏目逐次写出 命题“ p ? q ”及“ q ? p ”并对命题的真假做出判断,在此基础上, 判断 p 是 q 的什么条件,并填在格中. 目的:学生在活动中,学会判断 p 是 q 的什么条件的具体的工作步 骤和逻辑依据. 教师小结: 问题:试判断 p 是 q 的什么条件(指充分、必要、充要)? 这类问题的解题步骤是 第一步:构造命题一: p ? q ,并判断其真假

第二步:构造命题二: q ? p ,并判断其真假 第三步:根据两个命题的真假对 p 是 q 的什么条件做出判断; 一真,二真,p 是 q 的充要条件 一真,二假,p 是 q 的充分非必要条件 一假,二真,p 是 q 的必要非充分条件 一假,二假,p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件. 课件:“充要条件及其判断” 元素库:
①x=y ②x2=y2 ③x=0 ④x>3 ⑤xy=0 ⑥x>-1 ⑦x=0 或 y=0 ⑧y=0

表格

p

q

p ? q (判

q ? p (判

p 是 q 的什么条


断)

断)

学生活动四 学生回答下列命题的真假, 并判断 p 是 q 的什么条件(从“充分不必 要”,“必要不充分”,“充分必要”,“既不充分也不必要”中选取 一种答案)

p

q

p?q

q? p

p 是 q 是 q p

(1) (x - x-2=0 2)(x - 3)=0 (2) x=3

(x - 2)(x - x-2=0 ? (x- 必 要 充 分 3)=0 ? x-2=0 2)(x-3)=0 假 真 不充 的必 分 要

x2=9

x=3 ?x2=9


x2=9 ? x=3


充分 必要 的必 不充 要 分

(3) 四 边 四 边 形 四边形对角线 四边形是平行 既不充分又 形 对 是 平 行 相等 ? 四边形 四边形 ? 四边 不必要 角 线 四边形 相等 (4) a>b 是平行四边形 假 形对角线相等 假

a+c>b+c a>b ?a+c>b+c a+c>b+c ? a>b 充要条件

学生活动五 教师引导学生思考下列问题: 常见两种命题(“或”字命题与“且”字命题)的条件,结论间的相 互关系与充要条件. 1.给出“或”字命题 如 ab=0 ? a=0 或 b=0

x2=y2 ? x=y 或 x=-y
由学生编写出 A ? B 的命题形式,指出 A、B 及 A 是 B 的什么条件. 教师点评:a=0 ? ab=0 (a=0 是 ab=0 的充分条件)

b=0 ? ab=0(b=0 是 ab=0 的充分条件)
再由学生编写出 B ? A 的命题形式,指出 A 、 B 及 B 是 A 的什么条 件.
ab ? 0 ? a ? 0 (ab=0 是 a=0 的必要条件)
ab ? 0 ? b ? 0 ( ab=0 是 b=0 的必要条件)

2.给出“且”字命题 如 a2 ? b2 ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0 由学生编写出 A ? B 的命题形式,指出 A、B 及 A 是 B 的什么条件 教师点评:
a2 ? b2 ? 0 ? a ? 0 a2 ? b2 ? 0 ? b ? 0

( a 2 ? b 2 ? 0 是 a=0 的充分条件) ( a 2 ? b 2 ? 0 是 b=0 的充分条件)

再由学生编写出 B ? A 的命题形式,指出 A,B 及 B 是 A 的什么条 件.
a ? 0 ? a2 ? b2 ? 0

(a=0 是 a 2 ? b 2 ? 0 的必要条件)

b ? 0 ? a2 ? b2 ? 0

(b=0 是 a 2 ? b 2 ? 0 的必要条件)

教学归纳


①充要条件是重要的数学概念,主要是讨论命题的条件和结论的关

②条件 A 能保证结论 B 成立,就说条件 A 对结论 B 是充分的没有条 件 A 就没有结论 B 成立,就说条件 A 对结论 B 是必要的,这时 A 就是 B 的充分必要条件 ③如果原命题成立,但它的逆命题不成立,就说原命题的条件对结 论是充分不必要的 如果原命题不成立而逆命题成立,就说原命题的条件对结论是必要 而不充分的. 如果原命题成立,它的逆命题也成立,就说原命题的条件对结论是 充分必要的.

布置作业

P16 习题


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§1.5 充要条件

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§1.5.2 充分条件、必要条件(2) 充分条件、必要条件、充要条件的证明及简单应用

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