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第四章 章末小结 阶段质量检测


(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 f(x)=x2-3x-4 的零点是 A.(1,-4) C.1,-4 B.(4,-1) D.4,-1 ( )

解析:由 x2-3x-4=0,得 x1=4,x2=-1. 答案:D 2.今有一组实验数据如下表所示: t u 1.99 1.5 3.0

4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 ( B.u=2t-2 D.u=2t-2 )

则体现这些数据关系的最佳函数模型是 A.u=log2t C.u= t2-1 2

解析:把 t=1.99,t=3.0 代入 A、B、C、D 验证易知,C 最近似. 答案:C 3 3.储油 30 m3 的油桶,每分钟流出 m3 的油,则桶内剩余油量 Q(m3)以流出时间 t(分) 4 为自变量的函数的定义域为 A.[0,+∞) C.(-∞,40] 45 B.[0, ] 2 D.[0,40] ( )

3 3 解析:由题意知 Q=30- t,又 0≤Q≤30,即 0≤30- t≤30,∴0≤t≤40. 4 4 答案:D 1 4.由于技术的提高,某产品的成本不断降低,若每隔 3 年该产品的价格降低 ,现在 3 价格为 8 100 元的产品,则 9 年后价格降为 A.2 400 元 C.300 元 1 解析:由题意得 8 100×(1- )3=2 400. 3 答案:A B.900 元 D.3 600 元 ( )

5.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

(

)

1 5 - 解析:f(-1)=2 1+3×(-1)= -3=- <0, 2 2 f(0)=20+3×0=1>0. ∵y=2x,y=3x 均为单调增函数, ∴f(x)在(-1,0)内有一零点. 答案:B 6.若函数 y=f(x)是偶函数,其定义域为{x|x≠0},且函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, f(2)=0,则函数 f(x)的零点有 A.唯一一个 C.至少两个 B.两个 D.无法判断 ( )

解析:根据偶函数的单调性和对称性,函数 f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点,则 在(-∞,0)上也仅有一个零点. 答案:B
?x2+2x-3,x≤0, ? 7.函数 f(x)=? 的零点个数为 ? ?-2+lnx,x>0

(

)

A.0 C.2

B.1 D.3

? ? ?x≤0, ?x>0, 解析:由 f(x)=0,得? 2 或? ?x +2x-3=0 ? ? ?-2+lnx=0,

解之可得 x=-3 或 x=e2, 故零点个数为 2. 答案:C 8.某地固定电话市话收费规定:前三分钟 0.20 元(不满三分钟按三分钟计算),以后每 加一分钟增收 0.10 元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话 550 秒,应支付电话费 ( A.1.00 元 C.1.20 元 B.0.90 元 D.0.80 元 )

550 解析:y=0.2+0.1×([x]-3),([x]是大于 x 的最小整数,x>0),令 x= ,故[x]=10, 60 则 y=0.9. 答案:B 9.若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)可以

是 A.f(x)=4x-1 C.f(x)=ex-1 B.f(x)=(x-1)2 1 D.f(x)=ln(x- ) 2

(

)

解析:令 g(x)=0,则 4x=-2x+2.画出函数 y1=4x 和函数 y2 =-2x+2 的图像如图,可知 g(x)的零点在区间(0,0.5)上,选项 A 的零点为 0.25,选项 B 的零点为 1,选项 C 的零点为 0,选项 D 的 零点大于 1,故排除 B、C、D. 答案:A 10.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线 y =f(x),另一种是平均价格曲线 y=g(x),如 f(2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格 为 3 元; g(2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元, 下面给出了四个图像, 实线表示 y=f(x), 虚线表示 y=g(x),其中可能正确的是 ( )

解析:A 选项中即时价格越来越小时,而平均价格在增加,故不对,而 B 选项中即时 价格在下降,而平均价格不变化,不正确.D 选项中平均价格不可能越来越高,排除 D. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 x0=2.5,那么下 一个有根区间是________. 解析:f(x)=x3-2x-5, f(2)=-1<0,f(3)=16>0,f(2.5)=5.625>0, ∵f(2)· f(2.5)<0, ∴下一个有根区间是(2,2.5). 答案:(2,2.5) 12.已知 m∈R 时,函数 f(x)=m(x2-1)+x-a 恒有零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:(1)当 m=0 时, 由 f(x)=x-a=0, 得 x=a,此时 a∈R. (2)当 m≠0 时,令 f(x)=0, 即 mx2+x-m-a=0 恒有解, Δ1=1-4m(-m-a)≥0 恒成立,

即 4m2+4am+1≥0 恒成立, 则 Δ2=(4a)2-4×4×1≤0, 即-1≤a≤1. 所以对 m∈R,函数 f(x)恒有零点,有 a∈[-1,1]. 答案:[-1,1] 13.已知 A,B 两地相距 150 km,某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 km/h 的速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 x 随时间 t 变化的 关系式是________. 解析:从 A 地到 B 地,以 60 km/h 匀速行驶,x=60t,耗时 2.5 个小时,停留一小时, x 不变.从 B 地返回 A 地,匀速行驶,速度为 50 km/h,耗时 3 小时,故 x=150-50(t-3.5) =-50t+325. 60t, 0≤t≤2.5, ? ? 所以 x=?150, 2.5<t≤3.5, ? ?-50t+325, 3.5<t≤6.5. 60t, 0≤t≤2.5 ? ? 答案:x=?150, 2.5<t≤3.5 ? ?-50t+325 3.5<t≤6.5 14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销 售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价(单位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668

低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价(单位:元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦 时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答). 解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元).

低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元). 答案:148.4 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分) 15.(12 分)有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所得的利润依次为 M 万元和 N 万 1 3 元,它们与投入资金 x 万元的关系可由经验公式给出:M= x,N= x-1(x≥1).今有 8 4 4 万元资金投入经营甲、乙两种商品,且乙商品至少要求投资 1 万元,为获得最大利润,对 甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少?共能获得多大利润? 解:设投入乙种商品的资金为 x 万元,则投入甲种商品的资金为(8-x)万元,共获得利 润 1 3 y=M+N= (8-x)+ x-1. 4 4 令 x-1=t(0≤t≤ 7),则 x=t2+1, 1 3 1 3 37 ∴y= (7-t2)+ t=- (t- )2+ . 4 4 4 2 16 3 37 故当 t= 时,可获最大利润 万元. 2 16 此时,投入乙种商品的资金为 19 甲种商品的资金为 万元. 4 16.(12 分)判断方程 2ln x+x-4=0 在(1,e)内是否存在实数解,若存在,有几个实数 解? 解:令 f(x)=2ln x+x-4. 因为 f(1)=2ln 1+1-4=-3<0,f(e)=2ln e+e-4=e-2>0, 所以 f(1)· f(e)<0. 又函数 f(x)在(1,e)内的图像是连续不断的曲线, 所以函数 f(x)在(1,e)内存在零点,即方程 f(x)=0 在(1,e)内存在实数解. 由于函数 f(x)=2ln x+x-4 在定义域(0,+∞)上为增函数,所以函数 f(x)在(1,e)内只 存在唯一的一个零点. 故方程 2ln x+x-4=0 在(1,e)内只存在唯一的实数解. 17.(12 分)某商品在近 100 天内,商品的单价 f(t)(元)与时间 t(天)的函数关系式如下: 13 万元, 4

?4+22, f(t)=? t ?-2+52,

t

0≤t≤40,t∈Z, 40<t≤100,t∈Z.

销售量 g(t)与时间 t(天)的函数关系式是 t 112 g(t)=- + (0≤t≤100,t∈Z). 3 3 求这种商品在这 100 天内哪一天的销售额最高? 解: 依题意, 该商品在近 100 天内日销售额 F(t)与时间 t(天)的函数关系式为 F(t)=f(t)· g(t)

??4+22??-3+ 3 ?, 0≤t≤40,t∈Z, =? t t 112 ??-2+52??-3+ 3 ?, 40<t≤100,t∈Z.
(1)若 0≤t≤40,t∈Z,则 t t 112 F(t)=( +22)(- + ) 4 3 3 =- 1 2 500 (t-12)2+ , 12 3 2 500 (元). 3

t

t

112

当 t=12 时,F(t)max=

(2)若 40<t≤100,t∈Z,则 t t 112 F(t)=(- +52)(- + ) 2 3 3 1 8 = (t-108)2- , 6 3 ∵t=108>100, ∴F(t)在(40,100]上递减, ∴当 t=41 时,F(t)max=745.5. ∵ 2 500 >745.5, 3

∴第 12 天的日销售额最高. 18.(14 分)某商场经营一批进价为 12 元/个的小商品.在 4 天的试销中,对此商品的单 价(x)元与相应的日销量 y(个)作了统计,其数据如下: x y 16 42 20 30 24 18 28 6

(1)能否找到一种函数,使它反映 y 关于 x 的函数关系?若能,写出函数解析式; (2)设经营此商品的日销售利润为 P(元),求 P 关于 x 的函数解析式,并指出当此商品的 销售价每个为多少元时,才能使日销售利润 P 取最大值?最大值是多少? 解: (1)由已知数据作图如图, 观察 x,y 的关系,可大体看到 y 是 x 的一次函数,令 y=kx+b.当 x=16 时,y=42;x=20 时,y=30.

? ?42=16k+b, 得? ?30=20k+b, ?

① ②

由②-①得-12=4k, ∴k=-3,代入②得 b=90. 所以 y=-3x+90,显然当 x=24 时,y=18; 当 x=28 时,y=6. 对照数据,可以看到 y=-3x+90 即为所求解析式; (2)利润 P=(x-12)· (-3x+90)=-3x2+126x-1 080=-3(x-21)2+243. ∵二次函数开口向下, ∴当 x=21 时,P 最大为 243. 即每件售价为 21 元时,利润最大,最大值为 243 元.


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