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03.运用通项拆分法解初中数学竞赛题

时间:2012-10-22


1 0 

等 教 学 

运 用 通 项拆 分法解 初 中数 学 竞 赛题  
计 惠 方
中圈分类号 :0 2 .  12 1 文献标识码 :A  

李 培 风 
文章编号 : 0 5—6 1f 0 2 0  O 0— 2 10 46  1 13 01 0  2

( 浙江省杭 州师范 大学附属中学 湖州第五高级中学 , 31    10) J 0 

在初 中数学竞赛中经常会涉及到一类连  续相加或相乘的求值或证明问题. 此类 问题 
运 算 量很大 , 往 可先 观 察 一列 数 的前 几个   往
=  

(  

一  

1(q 4一 ' 1  ̄o


2  

数, 通过找规律归纳出这列数 的第 / / , 个数的 
表 达式—— 通 项 ( 作 . n , 后 根 据 解  记 厂 )) 然 ( 题 目标拆 分通 项 , 到 交 替相 消 或 循 环相 约  达 的 目的. 本文 通 过 举例 予 以说 明此 类 问 题 的 

例 2 记 
’  1   1J   u

S i    专 +
=  一+ .

一t) ,( 7 _  一



般求解 方法 .  
交替相 消 

; ++   + … .
) .  
) J9 1-9   
1 -  1 9

1 拆 分通项

则 S—T的值 为(  
(   A)

例 1 化简 :  
1 4  9

l  

1  

1  


+ i—i   ̄ — V  ” …~+/   A +  ̄ …64 o  1
解 观察 归纳得 通项 

(   一I c)  

㈨ ’ +I    

( 0 2 _ 羊杯  rl 20 , 丘 } 数学 范赛 1   解 观察 归 纳得施-   } 啦
n  )

n   )=


压 

+, a 8  / + S 一
. 

拆 分通项 得  拆 分通 项得 

,) (= n丽


 
一 丽   )  .


’ ? 

÷( 丽  

 ̄-i  




将 凡=I2 … , O 1 别代入. n 并相  ,, 2 l 分   厂 ) (
加得 



2 +   

) ’ 一 。    

 





 



 

2 一 1 21 i’ n   。+  

原式 : I ,2   )+ ( )+… + 2O I     l )
收稿 日期 :0 1—1 2 21 2一l 

将  :12 … .9分圳代 人柑 加 得  ,, 4


7  1

万方数据

21 0 2年第 3期 

l    l



(一) 手++ 一) 2 拆 分通项 ÷号+ 一) ( 若 ( …   
,4   '9

循 环相 约 

:1一99 ?    

例 5 计算 :  
(4 2+ )   4 + ) 2 1 + 0 2 1 2+ 2 1( +2 1…( o 4 2 1 + ) 4 2 2  

故 选 B  .

( +  1(4 5 + ) 2 1 +  3 + ) 3 3+ ) + 。 1…(03 2 1 1 4 5   0。  

例 3 对任 意正 整数 n 证 明 : , p  
l   1   1  



注 意到 ,  

12    

× 2 —x3+ “卜n + + + I。    2   3 + +       可 f 1<   ( 1 凡 )  n  )   2
拆 分通 项得 
1  

( n +( n +1 2) 2)   ( 几+1 4 2 2 ) +( 凡+1 +1 )  
『2 ) ( n  +1  一f n   ] 2)

证明

k+1 ( k+I  )2 ) k 后+1 ( )+( k+I  ( )
一  

[ 2 十1 (几 )  +1 ( n 1  ] 2+)  一


<丽   (一1.   I 丽)   丽   
<  = 

( ± ± (    :  1[ 2  2 ( )二 ±    :  !

±  1 3
一 一

 

[2 (n+1 ) 2 1 +1(n + n )  +(n+ ) ]4  2 +1  
一 — —

故 

: 

+  

+.   -+ ‘

( n+1 +( n+1 2 ) 2 )+1  

+I一+一 “ 一   丁丁了了  +  ) 11111   J   1  ? ÷
+ 

( n一1 +( n一1 2 ) 2 )+l   ( n+1 +( n+1 2 ) 2 )+1’  


:  

(一1     T 1   )
l  
~一  

乘  得

将  =12 … , 0 6分 别 代 入 通项 并 卡  ,, l 0   H

5  
= 一

原 式 
1  +l   3 +1  +3+l   2O l 20 I     1 +   l +1
×   x‘ × 一  

1  2 几+1  2 ( )
5  
<  ’  

例 4 对任 意正 整数 / 证 明 : 7 , ,  
    1×3+2 ×4 +3×5 ’ 一 + / n+2 <一 ‘ 。    ‘     ‘    1 、4    ( 2   l   l   1   1   3  

一 一





 









三   一~一

2 01  +2 01   3   3+1—4 05   8 ‘   4 13  

例 6 对任意正整数 n 证明 : ,  

证明

注意 到 ,  

({(  ?  )丽   ? )+ ( 十 ? t > +
证明
+  

!  

~ . ± 二       1 垒

七 k+ ) 2 后 后+ ) ( 2    ( 2 
:  

通项 得 
=  = 



(一 )  南 . k  
l  
+  一 + 



 

( k一1  2 ) __  

将 12 … , 别代 人 上式并 相加 得  ,,  分
1   l  

>    √


v2 / 一l  

将  =12 … , ,, 几分别代 入 上式 并相乘 得 

1 1 了+   + +  1、 【 一  1 1 一 1 ,一 1  一  ‘ 一       n2 +  J  
2 /
=  

( }(  -+ ) ? )+ (    +   
> 2 +1 .   n  

( 号  一 ) . ? 一   <  + 手

万方数据

运用通项拆分法解初中数学竞赛题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 计惠方, 李培凤 浙江省杭州师范大学附属中学湖州第五高级中学,313000 中等数学 High-School Mathematics 2012(3)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201203003.aspx


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