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数学模型期末考试试题及答案


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山东轻工业学院 08/09 学年 II 学期《数学模型》期末考试 A 试卷

/>(本试卷共 4 页)

题 号 得 分













总分

姓名

说明:本次考试为开卷考试,参加考试的同学可以携带任何资料,可以使用计算 器,但上述物品严禁相互借用。
得分 阅卷人 一、简答题(本题满分 16 分,每小题 8 分) 1、在§ 录像机计数器的用途中,仔细推算一下(1)式,写出与 2.2 (2)式的差别,并解释这个差别;

学号

2、试说明在§ 中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用,在什么条件下可以 3.1 不考虑它;

专业班级

得分 阅卷人 并加以证明。

二、简答题(本题满分 16 分,每小题 8 分) 1、对于§ 传染病的 SIR 模型,叙述当 s0 ? 5.1

1

学院、系

?

时 i(t ) 的变化情况

1

2、在§ 捕鱼业的持续收获的效益模型中,若单位捕捞强度的费用为捕捞强度 E 的减函数, 6.1 即 c ? a ? bE, (a ? 0, b ? 0) ,请问如何达到最大经济效益?

得分 阅卷人

三、简答题(本题满分 16 分,每小题 8 分) 1、在§ 9.3 随 机 存 储 策 略 中 , 请 用 图 解 法 说 明 为 什 么 s 是 方 程 I ( x) ? c0 ? I ( S ) 的最小正根。

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力?

2

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得分 阅卷人

四、 (本题满分 20 分) 某中学有三个年级共 1000 名学生,一年级有 219 人,二年级有 316 人,三年级有 465 人。现要选 20 名校级优秀学生,请用下列办

法分配各年级的优秀学生名额: (1)按比例加惯例的方法;(2)Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到 21 个,重新进行分配,并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。

专业班级

学号

姓名

得分 阅卷人

五、 (本题满分 16 分)

大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型,影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面,有三个 就业岗位可供选择。层次结构图如图,已知准则层对目标层的成对比较矩阵

学院、系

3 5? ? 1 ?1 1 / 4 1 / 7 ? ?1 / 3 1 2? , 方 案 层 对 准 则 层 的 成 对 比 较 矩 阵 分 别 为 B ? ? 4 1 1 / 2? , A?? 1 ? ? ? ?7 2 ?1 / 5 1 / 2 1 ? 1 ? ? ? ? ? 3 7? 4 6? ? 1 ? 1 选择就业岗位 ?1 / 3 1 3? , B ? ?1 / 4 1 2? 。 B2 ? ? 3 ? ? ? ?1 / 7 1 / 3 1 ? ?1 / 6 1 / 2 1 ? ? ? ? ?
请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。
收入 发展 声誉

岗位1
3

岗位2

岗位3

得分 阅卷人

六、 (本题满分 16 分) 某保险公司欲开发一种人寿保险, 投保人需要每年缴纳一定数的额 保险费, 如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止 (退

保) 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估,从而制定合适 。 的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析 在投保人投保时分别为健康或疾病状态下,平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死 亡的情况,以及出现每种情况的概率各是多少?

退保 0.03 0.05 0.15 健康 0.1

死亡

0.07 疾病

0.6

4

一、简答题(本题满分 16 分,每小题 8 分) 1、 答:由(1)得 2?mr ? 2?? 将 m ? kn 代入得 t ?

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山东轻工业学院 08/09 学年 II 学期《数学模型》期末考试 A 试卷解答
m(m ? 1) ? vt , 2
。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。4

?? k 2
v

姓名

n2 ?

?kn
v

( 2r ? ? ) ,

。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。6 。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。8

因为 r ?? ? 所以 2r ? ? ? 2r ,则得(2) 。

2、答:假设每件产品的生产费用为 c 3 ,则平均每天的生产费用为 c3 r ,每天的平均费用是

C1 (T1 ) ?

c1 c 2 rT1 ? ? c3 r , T1 2

。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。4

下面求 T1 使 C1 (T1 ) 最小,发现 学号

dC1 (T1 ) dC(T ) ? ,所以 dT1 dT

T1 ? T ?

2c1 ,与生产费用无关,所以不考虑。 。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。8 c2 r

二、简答题(本题满分 16 分,每小题 8 分)

1 di ? ?i (?s ? 1), 若 s0 ? , ? dt 1 di 当 ? s ? s 0 时, 。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。4 ? 0, i (t ) 增加; ? dt di 1 当 s ? 时, ? 0, i (t ) 达到最大值 i m ; dt ? di 1 当 s ? 时, 。。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。。 ? 0, i (t ) 减少且由 1.知 i ? ? 0 dt ? 2、 答: S ? (a ? bE) E ,则 R ? T ? S ? pEx ? (a ? bE) E , 。。。。。。。 分 。。。。。。。2 E pN 2 将 x0 ? N (1 ? ) 代入,得 R( E ) ? ( pN ? a) E ? (b ? 。。。。。。。 ) E ,。。。。。。。5 分 r r r a ? pN 令 R? ? 0 得 E R ? ? 。 。。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。。 2 rb ? pN
1、答:由(14) 三、简答题(本题满分 16 分,每小题 8 分) 1、由于方程(4)左边随着 S 的增加单调递增,因此 J (u ) 有唯一驻点 u ? S ? x 且为最小值点。从而

专业班级 学院、系

J (u ) 是下凸的。而由 J (u ) 和 I (x ) 的表达式的相似性知 I (x ) 也是下凸的,而且在 x ? S 处达最小值 。。。。。。。。。。。4 分 。。。。。。。。。。 I (S ) 。 记 A ? {x I ( x) ? c0 ? I ( S )} , B ? {x I ( x) ? c0 ? I ( S )} 则集合 A 与 B 的分界点即为订货点 s , 此即
方程 I ( x) ? c0 ? I ( S ) 的最小正根 。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。8 。。。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。。。 2、答: (回答要点)培养想象力和洞察力。 四、 (本题满分 20 分)
5

219 316 465 ? 20 ? 4.38 , ? 20 ? 6.32 , ? 20 ? 9.30 因此比例加惯例分 1000 1000 1000 219 2 316 2 配结果为 5、6、9 个。 (2)三方先分得 4、6、9 个, Q1 ? ? 2398.05, Q2 ? ? 2377.52 4?5 6?7 465 2 。。。。。。。。。8 Q3 ? ? 2402.5, Q3 最大,按 Q 值法分配结果为 4、6、10 个。 。。。。。。。。。 分 9 ? 10 219 316 465 21 个席位: (1) ? 21 ? 4.599 , ? 21 ? 6.636 , ? 21 ? 9.765 因此比例加惯例分配 1000 1000 1000 465 2 ? 结果为 4、7、10 个。 (2)三方先分得 4、6、10 个, Q3 ? ? 195.68, Q1 最大,按 Q 值法分 10 ? 11
解:20 个席位: 、 (1) 配结果为 5、6、10 个。 。。。。。。。。。。。。16 分 。。。。。。。。。。。 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则 1, Q 值法分配结果恰好也满足准则 2, 而 因此 Q 值法分配结果是同时符合准则 1 和准则 2.。 五、 (本题满分 16 分) 解:用“和法”近似计算得: 矩阵 A 对应的权向量为:(0.65,0.23,0.12) ,最大特征根为 3.003697,CI ? 0.0018 ,CR ? 0.0031
T

。。。。。。。。。。。。20 分 。。。。。。。。。。。

矩阵 B1 对应的权向量为: (0.08,0.32,0.60) ,最大特征根为 3.001982, CI ? 0.001 , CR ? 0.0017
T

矩阵 B2 对应的权向量为: (0.67,0.24,0.09) ,最大特征根为 3.00703, CI ? 0.0035 , CR ? 0.006
T

矩阵 B3 对应的权向量为: (0.70,0.19,0.11) ,最大特征根为 3.00922, CI ? 0.0046 , CR ? 0.008
T

。。。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。。 组合权向量为 (0.292628 ,0.283708 ,0.423664 ) 因此最佳的岗位为岗位 3。 六、 (本题满分 16 分)
T

。。。。。。。。。。。。16 分 。。。。。。。。。。。

0 0 0? ? 1 ? 0 1 0 0? ? ? ,从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸 解:由题意,转移概率矩阵为 ?0.15 0.05 0.7 .01? ? ? ?0.03 0.07 0.6 0.3?
收状态,此为吸收链。 。。。。。。。。。。。。6 分 。。。。。。。。。。。

M ? ( I ? Q)

?1

?1 ? 2 ? 0.3 ? 0.1? 4 ?? ? = ? 3 ? 4 ? ? 0 .6 0. 7 ? ?

2? 3? 2? ?

1 1 y ? Me = (5 ,6) T ,因此在投保时健康或疾病状态下,平均需要经过 5 或 6 年投保人就会出现退保 3 3
或死亡的情况。 。。。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。。

?0.72 0.28 ? F ? MR = ? ? ,因此在投保时健康状态下,被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为 0.72 ?0.66 0.34 ?
和 0.28;在投保时疾病状态下,被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为 0.66 和 0.34。 。。。。。。。。。。。。18 分 。。。。。。。。。。。

6


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