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导数与方程的根


五、导数与方程的根 1. 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 【答案】 k ? 0 或 k ? 4 ? kx ? 0 ? ? 【解析】 ? x ? 1 ? 0 ? 2 ? kx ? ? x ? 1? ? 当且仅当 kx ? 0 x ?1 ? 0 x2 ? ? 2 ? k ? x ? 1 ? 0


>
① ② ③

对③由求根公式得 1 ④ x1 , x2 ? ?k ? 2 ? k 2 ? 4k ? ? 2? ? ? k 2 ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或 k ≥ 4 . (ⅰ)当 k ? 0 时,由③得 ? x1 ? x2 ? k ? 2 ? 0 ? ? x1 x2 ? 1 ? 0 所以 x1 , x2 同为负根.
?x ?1 ? 0 又由④知 ? 1 ? x2 ? 1 ? 0 所以原方程有一个解 x1 .

k ?1 ? 1. 2 ?x ? x ? k ? 2 ? 0 (ⅲ)当 k ? 4 时,由③得 ? 1 2 ? x1 x2 ? 1 ? 0

(ⅱ)当 k ? 4 时,原方程有一个解 x ?

所以 x1 , x2 同为正根,且 x1 ? x2 ,不合题意,舍去. 综上可得 k ? 0 或 k ? 4 为所求. 2.设 A ? [?2,4) ,B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3)

( D )

[解法一] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 a a2 ? 4? , x2 ? ? 4 ? , 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ?4, 2 4 2 4
解之得 0 ? a ? 3 . [ 解 法 二 ] ( 特 殊 值 验 证 法 ) 令 a ? 3, B ? [?1, 4], B ? A , 排 除 C , 令
a ? ?1 B ? , ?1 ? 1 7? ? 1 [ , 2 2 1 7B ? A 排除 A、B,故选 D。 ,]
2

[ 解 法 三 ] ( 根 的 分 布 ) 由 题 意 知 x ? ax ? 4 ? 0 的 两 根 在 A ? [?2, 4) 内 , 令

a ? ? ?2 ? 2 ? 4 ? f ( x) ? x 2 ? ax ? 4 则 ? f (?2) ? 0 解之得: 0 ? a ? 3 ? f (4) ? 0 ? ?
3.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标的 最大值为 ? ,求证:

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?
[证]

f ( x) 的图象与直线 y ? kx

(k ? 0) 的三个交点如答 13 图所
示,且在 (? ,

3? 内相切,其切点 ) 2

为 A(? , ? sin ? ) , ? ? (? ,

3? . ) 2
…5 分

答 13 图

3 sin ? 由于 f ?( x) ? ? cos x , x ? (? , ? ) ,所以 ? cos ? ? ? ,即 ? ? tan ? . 2 ?
因此

…10 分

cos ? cos ? ? sin ? ? sin 3? 2sin 2? cos ? ?
? ?

1 4sin ? cos ?
cos 2 ? ? sin 2 ? 4sin ? cos ? 1 ? tan 2 ? 4 tan ?

…15 分

?

1? ? 2 . 4?

…20 分 .

4.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005 的实数解的个数为 填 1. 解:(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005?(x+ ?x+x3+x5+…+x2005+

1 )(1+x2+x4+…+x2004)=2006 x2005

1 1 1 1 + + +…+ =2006,故 x>0,否则左边<0. x2005 x2003 x2001 x

1 1 1 ?2006=x+ +x3+ 3+…+x2005+ 2005≥2×1003=2006. x x x 等号当且仅当 x=1 时成立. 所以 x=1 是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为 1.

例1. 定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?

?| lg | x ? 2 || ( x ? 2) ,若 b ? 0 ,则关于 x 的方程 ( x ? 2) ?0
A. 4 B.5 C.7 D.8

f 2 ( x) ? bf ( x) ? 0 ,的不同实根共有( )个。
2

解析: 方程 f ( x) ? bf ( x) ? 0 可化为 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? ?b 。而 y ? f (x) 的图象大致如 图 1 所示, y

O

1

2

3

x

由图可知,直线 y ? 0 与 y ? f (x) 的图象有 3 个交点,直线 y ? ?b (b ? 0) 与 y ? f (x) 的 图象有 4 个交点,即方程 f ( x) ? 0 有 3 个实根,方程 f ( x) ? ?b 有 4 个实根,从而原方程 共有 7 个实根,故答案选 C。 【例 5】 (2008 年,四川卷)已知 x ? 3是函数f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ? 10 x 的一个极值点.
2

(I)求 a 的值; (II)求函数 f (x) 的单调区间; (III)当直线 y ? b与函数y ? f (x) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 【分析及解】 (Ⅰ) f ?( x) ? ∴ f ?(3) ? 0 ,即

a ? 2 x ? 10 ,∵ x ? 3 是函数 f (x) 的一个极值点, 1? x
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

a ? 6 ? 10 ? 0 ,因此 a ? 16 4
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ? 16 ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x ,定义域为 (?1,??)

f ?( x) ?

2( x 2 ? 4 x ? 3) 2( x ? 1)( x ? 3) ? ,∵ x ? ?1 ,∴ x ? 1 ? 0 恒成立, 1? x x ?1

∴当 ? 1 ? x ? 1 或 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , 从而 f (x) 在 (?1,1) , (3,??) 上为增函数,在 (1,3) 上为减函数。 ∴ f (x) 的单调增区间为 (?1,1) , (3,??) ,单调减区间为 (1,3)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调递增,在 ?1, 3? 内单调递减,在 ? 3, ?? ? 上 单调递增, 所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16 ln 2 ? 9 ,极小值为 f ? 3? ? 32 ln 2 ? 21 下面画出原函数的草图:
y

16 ln 2 ? 9

y=b

32 ln 2 ? 21
?1 O
1 3 x

由图可知:在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ? 3, ?? ? 内,直线 y ? b 与 y ? f ? x ? 的 图 象 各 有 一 个 交 点 , 当 且 仅 当 f ? 3? ? b ? f ?1? , 因 此 , b 的 取 值 范 围 为

2 ?3 2 l n ?

2 1 , 1 6 l ?。 ? n 2

9

江苏2012、18. (本小题满分 16 分) 已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c?[?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. 2] 18.

14.已知关于 x 的方程 x ? 2a log2 ( x ? 2) ? a ? 3 ? 0 有唯一解,则实数 a 的值为
2 2 2

________ 【答案】1 解:注意到函数 f ( x) ? x ? 2a log 2 ( x ? 2) ? a ? 3 为偶函数,
2 2 2

∴方程 x ? 2a log 2 ( x ? 2) ? a ? 3 ? 0 的唯一解为 x ? 0 ,
2 2 2

由 2a ? a ? 3 ? 0 解得 a ? 1 或 a ? ?3 ,
2

当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 log 2 ( x ? 2) ? 2 在 [0, ??) 上为增函数,满足题设条件,
2 2

当 a ? ?3 时,令 log 2 ( x ? 2) ? t (t ? 1) ,则函数 f ( x) ? x ? 2a log 2 ( x ? 2) ? a ? 3 可化
2
2 2 2

为 g (t ) ? 2 ? 6t ? 4(t ? 1) , g ( ∵ 2 )
t

∴方程 g (t ) ? 0 在区间 (2,5) 上 ? ? 0 ? 6g 0 ? ? , 4 ,5 ( )

有解,∴不满足题设,故舍去,∴ a ? 1 。 另解:方程 x ? 2a log 2 ( x ? 2) ? a ? 3 ? 0 可化为 2 ? 4 ? 6t 然后数形结合,结合
2 2 2
t

(2t ? 4)? |t ?1 ? 2ln 2 ? 6 知函数 y ? 2t ? 4(t ? 1) 与函数 y ? 6t 的图像有两个交点。


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