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【全国百强校】甘肃省西北师大附中高中物理奥赛复赛讲义第一部分 力学之天体运动问题

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3.天体运动问题 例题 8: (第 29 届复赛真题)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质 电梯,电梯顶端可超过地球的同步卫星高度 R (从地心算起) 延伸到太空深处。 这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕 地人造卫星,其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到 某高度,然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 1.设在某次发射时,卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上 升,该卫星在上升到 0.80 R 处意外地和太空电梯脱离(脱离时 卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。 (1)论证卫星脱落后不会撞击地面。 (2)如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星 从脱落时刻起,在 0 至 12 小时及 12 至 24 小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。 2.如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心距离为 R X 处有一卫星 从电梯脱落(脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零) ,脱落后该卫星轨道刚 好能和赤道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫星着地点的经度。提示:此问要用数值 方法求解高次方程。 已 知 : 地 球 质 量 M ? 6.0 ? 10 kg , 半 径 Re ? 6.4 ?10 m 的 球 体 ; 引 力 恒 量 24 6 G ? 6.7 ?10?11 N ? m2 ? kg ?2 ;地球自转周期 Te ? 24 小时;假设卫星与太空电梯脱落后只 受地球引力作用。 解析: i. 通 过 计 算 卫 星 在 脱 离 点 的 动 能 和 万 有 引 力 势 能 可 知 , 卫星的机械能为负 值 . 由 开 普 勒 第 一 定 律 可 推 知 ,此 卫 星 的 运 动 轨 道 为 椭 圆( 或 圆 ) ,地 心 为 椭 圆 的 一 个 焦 点 (或 圆 的 圆 心 ), 如 图 所 示 .由 于 卫 星 在 脱 离 点 的 速 度 垂 直 于 地 心 和 脱 离 点 的 连 线 ,因 此 脱 离 点 必 为 卫 星 椭 圆 轨 道 的 远 地 点( 或 近 地 点 ) ;设 近 地 点 ( 或 远 地 点 ) 离 地 心 的 距 离 为 r , 卫 星 在 此 点 的 速 度 为 v .由 开 普 勒 第 二 定律可知 r v = ? 0.80R ? ? 2 (1) ? / Te 为 ) 地 球 自 转 的 角 速 度 .令 m 表 示 卫 星 的 质 量 , 式 中 ? (? 2 根据机械能守 恒定律有 1 2 GMm 1 GMm 2 ( 2) mv ? ? m ? 0.80R ? ? 2 ? 2 r 2 0.80R 由 ( 1) 和 ( 2) 式 解 得 r ? 0.28R (3 ) 可 见 该 点 为 近 地 点 ,而 脱 离 处 为 远地点. 【 ( 3) 式 结 果 亦 可 由 关 系 式 : R 0.80R GMm 1 GMm 2 直 接 ? m ? 0.80R ? ? 2 ? r ? 0.80R 2 0.80R 求得】 ? [ 来 源 : w w w. s h u l i h u a . n e t w w w. s h u l i h u a . n e t ] a b 同步卫星的轨道半径 R 满足 GM ? R? 2 R2 (4 ) 由 (3) 和 (4) 式 并 代 入 数 据 得 : r ? 1.2 ? 10 4 km (5) 可见近地点到地心的距离大于地球半径,因此卫星不会撞击地球. ii. 由 开