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【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学 1.2 第1课时 距离与高度问题课后知能检测 新人教B版必修5


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 1.2 第 1 课时 距离与高度问题课后知能检测 新人教 B 版必修 5

一、选择题 1. 已知 A、 B 两地间的距离为 10 km, B、 C 两地间的距离为 20 km, 现测得∠ABC=120°, 则 A、C 两地间的距离为( A.10 km C.10 5 km
2 2

>
) B.10 3 km D.10 7 km
2

【解析】 由余弦定理可知:AC =AB +BC -2AB·BCcos ∠ABC. 又∵AB=10,BC=20,∠ABC=120°, ∴AC =700,AC=10 7. 【答案】 D
2

图 1-2-8 2.如图 1-2-8,从山顶望地面上 C,D 两点,测得它们的俯角分别为 45°和 30°, 已知 CD=100 米,点 C 位于 BD 上,则山高 AB 等于( A.100 米 C.50 2米 【解析】 设山高为 h,则由题意知 )

B.50 3米 D.50( 3+1)米

CB=h,DB= 3h,
所以 3h-h=100, 即 h=50( 3+1). 【答案】 D

图 1-2-9
1

3.在一个高为 h 的建筑物顶看一旗杆,测得杆顶仰角为 30°,杆底俯角为 60°,则旗 杆高为( 4 A. h 3 5 C. h 4 ) 3 B. h 2 2 D. h 3 3 h. 3

【解析】 在△ACE 中,AE=tan 30°×h= 在△ADE 中,DE=AE×tan 30°=

3 3 h h× = , 3 3 3

h 4 ∴DC=DE+EC= +h= h. 3 3
【答案】 A

图 1-2-10 4.(2013·抚顺高二检测)如图 1-2-10:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从

C,D 两点测得 A 点仰角分别是 β ,α (α <β ),则 A 点离地面的高度 AB 等于(
A. C.

)

asin α ·sin β
β -α

B. D.

asin α ·sin β
α -β

asinα ·cos β
β -α

acos α ·sin β
α -β

【解析】 在△ADC 中,∠DAC=β -α . 由正弦定理得: ∴AC=

a
β -α ,



AC
sin α



a·sin α
β -α

∴AB=AC·sin β = 【答案】 A

a·sin α ·sin β
β -α

.

5.有一个长为 1 千米的斜坡,它的倾斜角为 75°,现要将其倾斜角改为 30°,则坡底 要伸长( ) B. 2千米 D.2 千米

A.1 千米 C. 3千米

【解析】 如图,∠BAO=75°,C=30°,AB=1,

2

∴∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°. 在△ABC 中, = , sin C sin ∠ABC 1× 1 2 2 2 = 2(千米).

AB

AC

AB·sin ∠ABC ∴AC= = sin C
【答案】 B 二、填空题

图 1-2-11 6.(2013·威海高二检测)如图 1-2-11,一艘船上午 8∶00 在 A 处测得灯塔 S 在它的 北偏东 30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 8∶30 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它相距 4 2n mile,则此船的航行速度是________n mile/h. 【解析】 如图△ABS 中,∠S=45°.由正弦定理: 2 4 2· 2 BS AB = ,∴AB= =8, sin 30° sin 45° 1 2 1 ∴船的航行速度为 8÷ =16 n mile/h. 2 【答案】 16 7.在 200 m 的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为 30°,60°,则塔高 为________.

【解析】 如图,设塔 AB 高为 h,在 Rt△CDB 中,CD=200 m,∠BCD=90°-60°= 30°,
3

200 400 3 ∴BC= = (m). cos 30° 3 在△ABC 中,∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°, ∴∠BAC=120°. 在△ABC 中,由正弦定理得 ∴AB= = , sin 120° sin 30° m.

BC

AB

BC·sin 30° 400
sin 120° 400 m 3 = 3

【答案】

8.如图 1-2-12,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A,B,望对岸的标记物 C, 测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度是________.

图 1-2-12 【解析】 tan 30°= ,tan 75°= , 又 AD+DB=120, ∴AD·tan 30°=(120-AD)·tan 75°, ∴AD=60 3,故 CD=60. 【答案】 60 m 三、解答题

CD AD

CD DB

图 1-2-13 9.A、B、C、D 四个景点,如图 1-2-13,∠CDB=45°,∠BCD=75°,∠ADC=15°.A、

D 相距 2 km,C、D 相距(3 2- 6)km,求 A、B 两景点的距离.
【解】 在△BCD 中, ∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°, 由正弦定理得 = , sin ∠BCD sin ∠CBD 即 BD=

BD

CD

CD·sin 75°
sin 60°

=2.
4

在△ABD 中,∠ADB=45°+15°=60°,

BD=AD,
∴△ABD 为等边三角形, ∴AB=2. 答:A、B 两景点的距离为 2 km. 10.A、B 是水平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°,∠BAD =120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其中 D 是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD.

【解】 如图,由于 CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°,所以 CD=AD. 因此,只需在△ABD 中求出 AD 即可, 在△ABD 中, ∠BDA=180°-45°-120°=15°, 由 = , sin 15° sin 45° 800× 2 2

AB

AD

得 AD=

AB·sin 45°
sin 15°



6- 2 4

=800( 3+1)(m). 所以 CD=AD=800( 3+1)≈2 186(m). 所以山高 CD 约为 2 186 m. 11.为了测量两山顶 M、N 间的距离,飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量,A、B、M、

N 在同一个铅垂平面内,如图 1-2-14,飞机能测量的数据有俯角和 A、B 间的距离,请设
计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式 写出计算 M、N 间的距离的步骤.

图 1-2-14

5

【解】 ①需要测量的数据有 A 到 M、N 的俯角 α 1、β 1,B 到 M、N 的俯角 α 2、β 2,A、

B 的距离 d(如图所示).
②方案一 第一步:计算 AM,由正弦定理 AM= 第二步:计算 AN, 由正弦定理 AN=

dsin α

2 2

α 1+α



dsin β

2 1

β 2-β



第三步:计算 MN,由余弦定理

MN= AM2+AN2-2AM·AN

α 1- β

1

.

方案二 第一步:计算 BM,由正弦定理 BM= 第二步:计算 BN, 由正弦定理 BN=

dsin α

1 2

α 1+α



dsin β

1 1

β 2-β



第三步:计算 MN,由余弦定理

MN= BM2+BN2+2BM·BN

β 2+α

2

6


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