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2013年上海高考 数学试卷(理工农医类)


2013 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试

上海 数学试卷(理工农医类)
后二位 号 码 校验码

考生注意: 1. 2. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对

后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名. 本试卷共有 23 道试题,满

分 150 分. 考试时间 120 分钟.

一. 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 2. 3. 4. 计算: lim
n→∞

n ? 20 ? __________. 3n ? 13

设 m?R , m2 ? m ? 2 ? (m2 ? 1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? __________. 若
x 2 y2 x x ,则 x ? y ? __________. ? y ?y ?1 1

已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. 若 3a2 ? 2ab ? 3b2 ? 3c2 ? 0 ,则 角 C 的大小是__________(结果用反三角函数值表示).

5.

a? ? 设常数 a?R . 若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 7 项的系数为 ? 10 ,则 a ? __________. x? ?

5

6. 7. 8.

方程

3 1 ? ? 3x?1 的实数解为__________. 3 ?1 3
x

在极坐标系中,曲线 ρ ? cos θ ? 1 与 ρ cos θ ? 1 的公共点到极点的距离为__________. 盒子中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号 之积为偶数的概率是__________(结果用最简分数表示).

9.

设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,点 C 在 Γ 上,且 ?CBA ? 个焦点之间的距离为__________.

π . 若 AB ? 4 , BC ? 2 ,则 Γ 的两 4

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10. 设非零常数 d 是等差数列 x1 , x2 , ?, x19 的公差,随机变量 ξ 等可能地取值 x1, x2 , ?, x19 , 则方差 Dξ ? __________. 11. 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 , sin2 x ? sin2 y ? ,则 sin( x ? y) ? __________. 2 3

12. 设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9x ?
f ( x ) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为__________.

a2 ?7. 若 x

13. 在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1)2 ? y2 ? 1( x ? 1 )和 ( x ? 3)2 ? y2 ? 1 ( x ? 3 ) 、两条 直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,如图中 阴影部分. 记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Ω . 过 (0, y) ( y ? 1 )作 Ω 的水平截面,所得截面面积 为 4π 1 ? y2 ? 8π . 试利用祖暅原理、一个平放的圆 柱和一个长方体,得出 Ω 的体积值为__________. 14. 对区间 I 上有定义的函数 g( x) ,记 g(I ) ? ?y y ? g( x), x ? I? . 已知定义域为 [0,3] 的函数
y ? f ( x ) 有反函数 y ? f ?1 ( x ) , f ?1 ?[, 1? ? 且 0 2 1 ,) ) [

y 1 O ?1 第 13 题图 1 2 3 4 x

,f ?1 ? (2,4]? ? [0,1) . 若方程 f ( x ) ? x ? 0

有解 x 0 ,则 x0 ? __________.

二. 选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 设常数 a?R ,集合 A ? ?x ( x ?1)( x ? a) ? 0? , B ? ?x x ? a ? 1? . 若 A ? B ? R ,则 a 的取 值范围为( (A) (?∞,2) ). (B) (?∞,2] (C) (2, ?∞) (D) [2, ?∞) ).

16. 钱大姐常说“便宜没好货” ,她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的( (A) 充分条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

17. 在 数 列 ?an ? 中 , an ? 2n ? 1 . 若 一 个 7 行 12 列 的 矩 阵 的 第 i 行 第 j 列 的 元 素

ci j ? a i ? a j ? a i ? a j i ? 1, 2, ?, 7 ; j ? 1, 2, ?,12 ) ( ,则该矩阵元素能取到的不同数值的
个数为( (A) 18
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). (B) 28
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(C) 48

(D) 63

?? ? 18. 在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中, 记以 A 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为 a1 、 ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? a2 、 a3 、 a4 、 a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1 、 d2 、 d3 、 d4 、 d5 .
?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? 若 m、 分别为 ai ? a j ? ak ? dr ? ds ? dt 的最小值、 M 最大值, 其中 ?i, j, k? ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,

?

??

?

?r, s, t? ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,则 m、M 满足(
(A) m ? 0 , M ? 0 (C) m ? 0 , M ? 0

). (B) m ? 0 , M ? 0 (D) m ? 0 , M ? 0

三. 解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, AB ? 2 , AD ? 1 , 并求直线 BC ' AA' ? 1 . 证明直线 BC ' 平行于平面 D ' AC , 到平面 D ' AC 的距离. A' 第 19 题图 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每一小时可获
3? ? 得的利润是 100 ? 5 x ? 1 ? ? 元. x? ?

D A D' B' B

C

C'

(1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求 此最大利润.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) ? 2sin(ωx) ,其中常数 ω ? 0 .
? π 2π ? (1) 若 y ? f ( x) 在 ? ? , ? 上单调递增,求 ω 的取值范围; ? 4 3 ?

(2) 令 ω ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

π 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 6

数 y ? g( x) 的图像. 区间 [ a, b ] ( a, b ? R ,且 a ? b )满足: y ? g( x) 在 [ a, b] 上至少 含有 30 个零点. 在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 如图,已知双曲线 C1 :

x2 ? y2 ? 1 ,曲线 C2 : y ? x ? 1 . P 是平面内一点,若存在过点 P 2

的直线与 C1 、 C2 都有公共点,则称 P 为“ C1 ? C2 型点”. (1) 在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要 使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直 线的方程(不要求验证) ; (2) 设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 k ? 1 , 进而证 明原点不是“ C1 ? C2 型点” ; O x y

第 22 题图

1 (3) 求证: x ? y ? 内的点都不是 C1 ? C2 型点” 圆 “ . 2
2 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 给 定 常 数 c ? 0 , 定 义 函 数 f ( x) ? 2 x ? c ? 4 ? x ? c . 数 列 a1 , a2 , a? 满 足 3,
an?1 ? f (an ),n ? N* .

(1) 若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a 2 及 a 3 ; (2) 求证:对任意 n ? N*,an?1 ? an ? c ; (3) 是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , ?, an , ? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ;若不 存在,说明理由.

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2013 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试

上海

数学试卷(理工农医类)
答案要点及评分标准

说明 1. 本解答列出试题的解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准 的精神进行评分. 2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 解答 一. (第 1 题至第 14 题) 1. 6. 11.

1 . 3
log3 4 .

2. 7.

?2 .

3. 8.

0.

4. 9.

1 π ? arccos . 5. 3
4 6 . 3

?2 .

2 . 3

5 ?1 . 2 8? ? 12. ? ?∞, ? ? . 7? ?

13 . 18

10. 30d 2 .

13. 2 π 2 ? 16 π .

14. 2 .

二. (第 15 题至第 18 题) 题 代 号 号 15 B 16 B 17 A z D A D' A' x 第 19 题图 B' B C' y C 18 D

三. (第 19 题至第 23 题) 19. (本题满分 12 分) 如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为
A(1,0,1) 、B(1,2,1) 、C (0,2,1) 、C '(0,2,0) 、D '(0,0,0) .

? ? ????? 设平面 D ' AC 的法向量为 n ? (u, v, w) ,则 n ? D ' A ,

? ? ????? n ? D 'C .

????? ????? ? ? ? ????? ? ????? 因为 D ' A ? (1,0,1) , D ' C ? (0,2,1) , n ? D ' A ? 0 , n ? D ' C ? 0 ,
?u ? w ? 0, ? 所以 ? 解得 u ? 2v,w ? ?2v . 取 v ? 1 , 得平面 D ' AC 的一个法向量 n ? (2,1, ?2) . 2v ? w ? 0, ?

???? ? ? ? ? ???? ? ???? 因为 BC ' ? (?1,0, ?1) ,所以 n ? BC ' ? 0 ,所以 n ? BC ' .
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又 BC ' 不在平面 D ' AC 内,所以直线 BC ' 与平面 D ' AC 平行.

? ? ??? n ? CB 2 ?1 ? 1 ? 0 ? (?2) ? 0 2 ??? ? 由 CB ? (1,0,0) ,得点 B 到平面 D ' AC 的距离 d ? ? ? ? , n 3 22 ? 12 ? (?2)2
所以直线 BC ' 到平面 D ' AC 的距离为

2 . 3

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
3? 3? ? ? (1) 生产该产品 2 小时的利润为 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? 2 ? 200 ? 5 x ? 1 ? ? . x? x? ? ? 3? 1 ? 由题意, 200 ? 5 x ? 1 ? ? ? 3000 ,解得 x ? 3 或 x ? ? . x? 5 ?

又 1 ? x ? 10 ,所以 3 ? x ? 10 . (2) 生产 900 千克该产品,所用的时间是

900 小时, x 3 ? 900 ? ? 3 1 ? ? 90000 ? ? 2 ? ? 5 ?, ? x ? 10 . 1 获得的利润为 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? x? x x x ? ? ?
记 f ( x) ? ?

3 1 ? ? 5, ? x ? 10 , 1 x2 x
2

1 ?1 1? 则 f ( x ) ? ?3 ? ? ? ? ? 5 ,当且仅当 x ? 6 时取到最大值. x 6 ? 12 ?

最大利润为 90000 ?

61 ? 457500 元. 12

因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 457500 元. 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
? π 2π ? (1) 因为函数 y ? f ( x) 在 ? ? , ? 上单调递增,且 ω ? 0 , ? 4 3 ?

所以

π 2π π π ,且 ? ? ?? , 2ω 3 2ω 4 3 . 4

所以 0 ? ω ? (2)

f ( x) ? 2sin2 x ,

将 y ? f ( x) 的图像向左平移

π? π ? 个单位,再向上平移 1 个单位后得到 y ? 2sin 2 ? x ? ? ? 1 6? 6 ?

π? ? 的图像,所以 g( x ) ? 2sin 2 ? x ? ? ? 1 . 6? ?

令 g( x) ? 0 ,得 x ? k π ?

5π 3π 或 x ? kπ ? (k ?Z) , 12 4 π 2π 或 . 3 3

所以两个相邻零点之间的距离为

高考(2013)数学(理)答案 第2页(共5页)

若 b ? a 最小,则 a 和 b 都是零点, 此时在区间 [ a, π ? a] , [a, 2π ? a] , ? , [ a, mπ ? a] ( m ? N* )上分别恰有 3,5, ? ,
2m ? 1 个零点,所以区间 [ a,14 π ? a] 上恰有 29 个零点,

从而在区间 (14 π ? a, b] 上至少有一个零点,所以 b ? a ? 14π ?
π 5π ? ? 5π 另一方面,在区间 ? ,14 π ? ? ? 上恰有 30 个零点, 12 3 12 ? ?

π . 3

因此, b ? a 的最小值为 14π ?

π 43 ? π. 3 3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. (1) C1 的左焦点为 (? 3,0) ,写出的直线方程可以是以下形式:
x ? ? 3 或 y ? k x ? 3 ,其中 k ?

?

?

3 . 3

(2) 因为直线 y ? kx 与 C2 有公共点,
? y ? kx, x ?1 ? ? 1. 所以方程组 ? 有实数解,因此 kx ? x ? 1 ,得 k ? x ? y ? x ?1 ?

若原点是“ C1 ? C2 型点” ,则存在过原点的直线与 C1、C2 都有公共点. 考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x ? 0 或 y ? kx ( k ? 1 ). 显然直线 x ? 0 与 C1 无公共点.
? y ? kx, 2 ? 如果直线为 y ? kx ( k ? 1 ) ,则由方程组 ? x 2 得 x2 ? ? 0 ,矛盾. 所以直 1 ? 2k 2 ? y2 ? 1 ? ?2 线 y ? kx ( k ? 1 )与 C1 也无公共点.

因此原点不是“ C1 ? C2 型点”. (3) 记圆 O : x2 ? y2 ?

1 , 取圆 O 内的一点 Q. 设有经过 Q 的直线 l 与 C1、C2 都有公共点. 显 2 然 l 不垂直于 x 轴,故可设 l : y ? kx ? b .
若 k ? 1 ,由于圆 O 夹在两组平行线 y ? x ? 1 与 y ? ? x ? 1 之间,因此圆 O 也夹在直线
y ? kx ? 1 与 y ? ?kx ? 1 之间,从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所

以 k ? 1.

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? y ? kx ? b, ? 因为 l 与 C1 有公共点,所以方程组 ? x 2 有实数解, 2 ? ? y ?1 ?2

得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0 . 因为 k ? 1 ,所以 1 ? 2k 2 ? 0 , 因此 Δ ? (4kb)2 ? 4(1 ? 2k 2 )(?2b2 ? 2) ? 8(b2 ? 1 ? 2k 2 ) ? 0 , 即 b2 ? 2k 2 ? 1 . 因为圆 O 的圆心 (0,0) 到直线 l 的距离 d ?
b 1 ? k2



b2 1 1 ? k2 ? d 2 ? ,从而 ? b ? 2k 2 ? 1 ,得 k 2 ? 1 ,与 k ? 1 矛盾. 1 ? k2 2 2 1 因此,圆 x 2 ? y2 ? 内的点都不是“ C1 ? C2 型点”. 2
所以 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)
a2 ? 2,a3 ? c ? 10 .

(2)

x ? ?c, ? x ? c ? 8, ? f ( x ) ? ?3 x ? 3c ? 8, ?c ? 4 ? x ? ?c, ?? x ? c ? 8, x ? ?c ? 5. ?

当 an ? ?c 时, an?1 ? an ? c ? 8 ? c ; 当 ?c ? 4 ? an ? ?c 时, an?1 ? an ? 2an ? 3c ? 8 ? 2(?c ? 4) ? 3c ? 8 ? c ; 当 an ? ?c ? 4 时, an?1 ? an ? ?2an ? c ? 8 ? ?2(?c ? 4) ? c ? 8 ? c . 所以,对任意 n ? N* , an?1 ? an ? c . (3) 由(2),结合 c ? 0 ,得 an?1 ? an ,即 ?an ? 为无穷递增数列. 又 ?an ? 为等差数列,所以存在正数 M,当 n ? M 时, an ? ?c , 从而 an?1 ? f (an ) ? an ? c ? 8 . 由于 ?an ? 为等差数列,因此其公差 d ? c ? 8 . ① 若 a1 ? ?c ? 4 ,则 a2 ? f (a1 ) ? ?a1 ? c ? 8 ,

高考(2013)数学(理)答案 第4页(共5页)

又 a2 ? a1 ? d ? a1 ? c ? 8 ,故 ?a1 ? c ? 8 ? a1 ? c ? 8 ,即 a1 ? ?c ? 8 ,从而 a2 ? 0 . 当 n ? 2 时,由于 ?an ? 为递增数列,故 an ? a2 ? 0 ? ?c , 所以, an?1 ? f (an ) ? an ? c ? 8 ,而 a2 ? a1 ? c ? 8 , 故当 a1 ? ?c ? 8 时, ?an ? 为无穷等差数列,符合要求; ② 若 ?c ? 4 ? a1 ? ?c ,则 a2 ? f (a1 ) ? 3a1 ? 3c ? 8 ,又 a2 ? a1 ? d ? a1 ? c ? 8 , 所以, 3a1 ? 3c ? 8 ? a1 ? c ? 8 ,得 a1 ? ?c ,舍去; ③ 若 a1 ? ?c ,则由 an ? a1 得到 an?1 ? f (an ) ? an ? c ? 8 , 从而 ?an ? 为无穷等差数列,符合要求. 综上, a1 的取值集合为 [?c, ?∞) ? ??c ? 8? .

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