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高三12月月考理数试卷


唐山市开滦二中 2015 年高三年级 12 月月考

理 科 数 学 试 卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.)
2 1.已知集合 A ? x log 2 x ? 1 , B ? x x ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B

?



?

?

?





A. ?? ?,2?

B. ?0,1?

C. ?? 2,2?

D. ?? ?,1?

2.若复数 z 满足 i ? z ? ? A. ?

1 2

1 (1 ? i ) ,则 z 的共轭复数的虚部是( ) 2 1 1 1 B. C. ? i D. i 2 2 2

3.已知 p : m ? 1 ? x ? m ? 1, q : ?x ? 2??x ? 6? ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 m 的 取值范围是( )A. 3 ? m ? 5 B. 3 ? m ? 5 C. m ? 5或m ? 3 D. m ? 5或m ? 3 4. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是( ) A. 2 或 2 2 B. 2 2 或 ? 2 2 C. ? 2 或 ? 2 2 D. 2 或 ? 2 2

x?0 ? ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
为( ) A.6 B.4 C.2 D.0

6.曲线 y ? x ln x 在点 ?e, e ? 处的切线与直线 x ? ay ? 1 垂直,则实数

a 的值为(
A. 2

). B. ? 2 C.

1 2

D. ?

1 2

7.世博会期间,某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到 A, B, C 三个不同 的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到 A 馆,则不同的分配方案有( )种 A.36 B.30 C.24 D.20 8.为得到函数 y ? cos? 2 x ?

? ?

??

? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B.向左平移



A.向右平移

5? 个长度单位 6

5? 个长度单位 6

高三年级 12 月月考理科数学试卷第 1 页(共 4 页)

C.向右平移

5? 个长度单位 12

D.向左平移

5? 个长度单位 12

9. 设 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 , AB ? 6, AD ? 4 . 若 点 M , N 满 足

BM ? 3MC, DN ? 2NC ,则 AM ? NM =( ).A. 6

B. 9

C. 15

D. 20

10.一个正三棱柱的主(正)视图是长为 3 ,宽为 2 的矩形,则它的外接球的表面积等于

(

) A. 16?

B. 12?

C. 8?

D. 4?

x2 y 2 11.已知 A 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点, 右焦点, F1 , F2 分别为双曲线的左、 a b ??? ? ???? P 为双曲线上一点, G 是 ?PF1F2 的重心,若 GA ? ? PF1 ,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D.与 ? 的取值有关 12. 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ?x ? 1? 的 图 像 关 于 ?1,0? 对 称 , 且 当 x ? ?? ?,0? 时 ,

f ?x? ? xf ' ?x? ? 0 ( 其 中 f ' ?x ? 是 f ?x ? 的 导 函 数 ) , 若 a ? 30.3 ? f 30.3 ,
1? ? 1? ? b ? ?log? 3? ? f ?log? 3? , c ? ? log3 ? ? f ? log3 ? ,则 a, b, c 的大小关系是( ). 9? ? 9? ?
A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸上.) 13.若 sin ?

? ? ? ?

?? ? 1 ? ? ? ? ,则 sin 2? =___________. ?4 ? 3
2

14. 从抛物线 y ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M ,且 PM ? 5 ,设抛物 线的焦点为 F ,则 cos ?MPF = .

1 ? ?? x 2 ? x, x ? 0 15.已知函数 f ?x ? ? ? ,若函数 y ? f ?x ? ? kx 有三个零点,则 k 的取值 2 ? ? ? ln x ? 1 , x ? 0 ?
范围为 .
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16. 在 ?ABC 中, A ? 30? , BC ? 2 5, D 是 AB 边上的一点, CD ? 2, ?BCD 的面积为 4,则 AC 的长为 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a1 ? 1 , an ? 0 ,

?a ? 2 的前 n 项和 Tn . 4Sn ? ?an ? 1? n ? N ? .⑴求数列 ?an ? 的通项公式;⑵求数列 ? n n? ?2 ?
18.(本小题满分 12 分)由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从 某中学随机抽取 16 名学生,经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图 (以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:

?

?

若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力”. ⑴求校医从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“好视力”的概率; ⑵以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“好视力”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望. 19.(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ? 平
? 面 ABCD ,?ABC ? 60 ,E , F 分别是 BC, PC 的中点. ⑴证明:AE ? PD ; ⑵若 H 为 PD

上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为

6 ,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值 2

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,以原点为圆 2 a b 2

心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.⑴求椭圆 C 的方程; ⑵ 若 过 点 M ?2,0? 的 直 线 与椭 圆 C 相 交 于 两点 A, B , 设 P 为 椭 圆上 一 点 ,且 满 足

高三年级 12 月月考理科数学试卷第 3 页(共 4 页)

OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点),当 PA ? PB ?

2 5 时,求实数 t 取值范围 3

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ⑴讨论函数 f ( x ) 的单调性;

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2

⑵证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x 2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?1 . x1 ? x2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 答题时在答题纸上注明所选题目的题号. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4, C 为半圆上一点, 过点 C 作半圆的切线 CD , 过点 A 作 AD ? CD 于 D ,交圆于点 E, DE ? 1 . ⑴求证: AC 平分 ? BAD ;⑵求 BC 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t ?t为参数? .若以坐标原点 O 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? 4 ? y ? ?1 ? t 5 ?
为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ?? ? ⑴求曲线 C 的直角坐标方程;⑵求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ?
2 2

? ?

?? ?. 4?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

⑴求 m 的最小值;⑵若 2 x ? 1 ? x ? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围.

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高三12月月考理数试卷

2,0? 的直线 与椭 圆 C 相交于 两点 A, B ,设 P 为椭 圆上 一点 ,且满足 高三年级 12 月月考理科数学试卷第 3 页(共 4 页) OA ? OB ? t ...

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