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2015北京朝阳高考二模数学文(含解析)


北京市朝阳区 2014—2015 学年度第二学期高三综合练习 2015.5 数学(文科) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、 选择题 (共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项) 1. 设集合 A ? ?x ( x ? 1)( x ? 2)≤0? ,集合 B ? x x ? 1 ,则 A A. ? B. ?x x ?

1? C. ?x 1≤x≤2?

?

?

B ?(

) .

D. ?x ?1 ? x≤2?

2. 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图 阴影部分)中的概率是( ) . A.
π 4

B.

π 8

C.

π 16

D.

π 32

? x ? y≥0 ? 3. 实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y≤0 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最小值是( ? y≥ ? 2 ?

) .

A. ?12

B. ?8

C. ?4

D. 0 ) .

4. 已知非零平面向量 a , b ,则“ a 与 b 共线”是“ a ? b 与 a ? b 共线”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( ) . A. 0 B. ?1 C. ?
1 2

D. ?

3 2

1

? ? 1 ? x2 , ?1≤x ? 1 6.函数 f ( x) ? ? 的零点个数是( ? ?lg x, x≥1

) .

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

7.已知点 A 为抛物线 C : x2 ? 4 y 上的动点(不含原点) ,过点 A 的切线交 x 轴于点 B ,设抛物线 C 的焦点 为 F ,则 ?ABF ( ) . A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.上述三种情况都可能 8. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁.在某天的某个时段,他们每人各做一 项工作,一人在查资料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印材料.若下面 4 个说法都是 正确的: ①甲不在查资料,也不在写教案; ②乙不在打印材料,也不在查资料; ③丙不在批改作业,也不在打印材料; ④丁不在写教案,也不在查资料. 此外还可确定:如果甲不在打印材料,那么丙不在查资料,根据以上信息可以判断( ) . A.甲在打印材料 B.乙在批改作业 C.丙在写教案 D.丁在打印材料 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

2

二、填空题:本小题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 设 i 为虚数单位,则 i(1 ? i) ? __________. 10.若中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 (0, ?2) ,一条渐近线的方程是 x ? y ? 0 ,则 双曲线 C 的方程为__________. 11.一个四棱锥的三视图如图所示,则这个四棱锥的体积为__________;表面积为__________.

12.已知在 △ ABC 中, C ? 积为__________.

π 3 , cos B ? , AB ? 5 , sin A ? __________; △ ABC 的面 4 5

13.在圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 内,过点 P(1,0) 的最长的弦为 AB ,最短的弦为 DE , 则四边形 ADBE 的面积为__________. 14.关于函数 f ( x) ? ①函数 ②函数 ③方程 ④函数
1 的性质,有如下四个命题: 4 ?2 f ( x) 的定义域为 R ; f ( x) 的值域为 (0, ??) ; f ( x) ? x 有且只有一个实根; f ( x) 的图象是中心对称图形.
x

其中正确命题的序号是__________.

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(2 3sin x ? cos x) ? sin 2 x .
?π ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 在区间 ? , π ? 上的最大值及相应的 x 的值; ?2 ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 2 ,且 x0 ? (0, 2π) ,求 x0 的值.

4

16. (本小题共 13 分) 已知递增的等差数列 ?an ? (n ? N ? ) 的前三项之和为 18 ,前三项之积为 120 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若点 A1 (a1 , b1 ) , A2 (a2 , b2 ) ,
n 个点 A1 , A2 , A3 ,

, An (an , bn )(n ? N ? ) 从左至右依次都在函数 y ? 32 的图象上,求这

x

, An 的纵坐标之和.

5

17. (本小题共 13 分) 某学科测试,要求考生从 A , B , C 三道试题中任选一题作答.考试结束后,统计数 据显示共有 420 名学生参加测试,选择 A , B , C 题作答的人数如下表:

(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从 420 份试卷中抽 出若干试卷,其中从选择 A 题作答的试卷中抽出了 3 份,刚应从选择 B , C 题作答的试卷中各抽 出多少份? (Ⅱ)若在(Ⅰ)问被抽出的试卷中,选择 A , B , C 题作答得优的试卷分别有 2 份, 2 份, 1 份.现 从被抽出的选择 A , B , C 题作答的试卷中各随机选 1 份,求这 3 份试卷都得优的概率.

6

18. (本小题共 14 分) 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2AD ,M 为 CD 的中点, 将 △ADM 沿 AM 折起, 使得平面 ADM ? 面 ABCM .点 O 是线段 AM 的中点. (Ⅰ)求证:平面 DOB ? 平面 ABCM ; (Ⅱ)求证 AD ? BM ; (Ⅲ)过 D 点是否存在一条直线 l ,同时满足以下两个条件: ① l ? 平面 BCD ;② l∥AM .请说明理由.



7

19. (本小题共 14 分)

x2 ? y 2 ? 1, O 为坐标原点,直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,且 ?AOB ? 90? . 4 (Ⅰ)若直线 l 平行于 x 轴,求 △ AOB 的面积;
已知椭圆 C : (Ⅱ)若直线 l 始终与圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,求 r 的值.

8

20. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ,其中 a ? 0 .
? π? (Ⅰ)当 a≥1 时,判断 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的单调性; ? 4?

(Ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,若不等式

? π? f ( x) ? t 2 ? at ? 2 在 ? 0, ? 上恒成立,求实数 t 的取值范围. ? 4? a ?1

2a
2

9

北京市朝阳区2015 年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学(文科) 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 (9) 答案
1? i

(1) D

(2) C (10)
y x ? ?1 2 2
2 2

(3) B (11)
2 3

(4) C

(5) A (12)

(6) C (13)
4 6

(7) A

(8) A (14) ①③④

3? 5

7 2 10

14

三、解答题: 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos(2 3sin x ? cos x) ? sin 2 x
? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π? ? ? 2 s i? n x2 ? ? 6? ? π ? 7 π 13π ? π ? ? 1? ?π ? ? 因为 x ? ? , π ? ,所以 2 x ? ? ? ? ,所以 sin ? 2 x ? ? ? ? ?1, ? , ? 6 ?6 6 ? 6 ? ? 2? ?2 ? ?

π 13π ,即 x ? π 时, f ( x)max ? 1 . ? 6 6 π? π? ? ? (Ⅱ)依题意, 2sin ? 2 x0 ? ? ? 2 ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 1 . 6 6? ? ? ? π ? π 25π ? 又 x0 ? ? 0, 2π ? ,所以 2 x0 ? ? ? , ?, 6 ?6 6 ?

所以,当且仅当 2 x ?

所以 2 x0 ? 所以 x0 ?

π π π 5π , ? 或 2 x0 ? ? 6 2 6 2

π 7π 或 x0 ? . 6 6 16. (本小题共 13 分)

解: (Ⅰ) 依题意, 设数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) . 由 a1 ? a 可得 a2 ? 6 , 则 a1 ? 6 ? d ,a3 ? 6 ? d . 2 ?3a ? 18 , 由前三项之积为 120 可得: (6 ? d ) ? 6 ? (6 ? d ) ? 120 ,解得 d ? ?4 (舍负) . 所以 an ? 4n ? 2 . (Ⅱ)由于点 A1 (a1 , b1 ) , A2 (a2 , b2 ) , 以 bn ? 32n?1 . 所求这 n 个点 A1 , A2 , A3 , , An 的纵坐标之和即为数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . , An (an , bn ) 依次都在函数 y ? 32 的图象上,且 an ? 4n ? 2 ,所
n

10

由于

bn ?1 ? 9 ,所以数列 ?bn ? 是以 3 为首项, 9 为公比的等比数列. bn

3(1 ? 9n ) 3 n ? (9 ? 1) . 1? 9 8 17. (本小题共 13 分)
所以 Tn ? 解: (Ⅰ)由题意可得,试卷的抽出比例为
3 1 , ? 180 60 所以应从选择 B 题作答试卷中抽出 2 份,从选择 C 题作答试卷中抽出 2 份.

(Ⅱ)记在(Ⅰ)中抽出的选择 A 题作答的试卷分别为 a1 ,a 2 ,a 3 ,其中 a1 ,a 2 得优;选择 B 题作 答 的试卷分别为 b1 ,b2 , 其中 b1 ,b2 得优; 选择 C 题作答的试卷分别为 c1 ,c 2 , 其中 c1 得优. 从 a1 ,
a 2 , a 3 , b1 , b2 和 c1 , c 2 中分别抽出一份试卷的所有结果如下:

?a1 , b1 , c1??a1 , b1 , c2 ??a1 , b2 , c1??a1 , b2 , c2 ? ?a2 , b1 , c1??a2 , b1 , c2 ??a2 , b2 , c1??a2 , b2 , c2 ?

?a3 , b1 , c1??a3 , b1 , c2 ??a3 , b2 , c1??a3 , b2 , c2 ?
所以结果共有 12 种可能,其中 3 份都得优的有

?a1 , b1 , c1??a1 , b2 , c1??a2 , b1 , c1??a2 , b2 , c1? ,共 4 种.
设“从被抽出的选择 A , B , C 题作答的试卷中各随机选 1 份,这 3 份试卷都得优” 为事件 M , 故所求概率 P(M ) ?
4 1 ? . 12 3

18. (本小题共 14 分) 证明: (Ⅰ)由已知, DA ? DM . 因为点 O 是线段 AM 的中点, 所以 DO ? AM . 又因为平面 ADM ? 平面 ABCM ,平面 ADM 平面 ABCM ? AM , DO ? 平面 ADM , 所以 DO ? 平面 ABCM . 因为 DO ? 平面 DOB . 所以平面 DOB ? 平面 ABCM . (Ⅱ)因为在矩形 ABCD 中, AB ? 2AD ,且 M 为 CD 的中点, 所以 AM ? BM ? 2 AD ?
2 AB , 2

所以 AM ? BM . 由(1)知, DO ? 平面 ABCM , 因为 BM ? 平面 ABCM , 所以 DO ? BM . 因为 DO , AM ? 平面 ADM ,且 DO 所以 BM ? 平面 ADM . 而 AD ? 平面 ADM ,

AM ? O ,

11

所以 AD ? BM . (Ⅲ)过 D 点不存在一条直线 l ,同时满足以下两个条件: (1) l ? 平面 BCD ; (2) l∥AM . 理由如下: (反证法) 假设过 D 点存在一条直线 l 满足条件, 则因为 l∥AM , l ? 平面 ABCM , AM ? 平面 ABCM , 所以 l∥ 平面 ABCM . 又因为 l ? 平面 BCD ,平面 ABCM 平面 BCD ? BC ,所以 l∥BC . 于是 AM ∥ BC ,由图易知 AM , BC 相交,相矛盾. 所以,不存在这样的直线 l . 19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)不妨设直线 l 在 x 轴的上方,则 A , B 两点关于 y 轴对称. 设 A( x1 , y1 ) , B(? x1 , y1 ) , ( x1 ? 0, y1 ? 0) ,

uur uu u r 则 OA ? ( x1 , y1 ) , OB ? (? x1 , y1 ) ,
uur uu u r 由 ?AOB ? 90? ,得 OA ? OB ? 0 ,所以 y12 ? x12 .

又因为点 A 在椭圆上,所以 由于 x1 ? 0 ,解得 x1 ? ?

x12 ? y12 ? 1 . 4

2 2 5 , y1 ? 5, 5 5 2 2 ? 2 ? ?2 ? 5, 5 ? , B? 5, 5? . 则 A? ? 5 5 ? 5 ? ?5 ?

所以 S△OAB ?

1 4 5 2 5 4 ? ? ? 2 5 5 5

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .
? y ? kx ? m 联立方程组 ? 2 ,整理得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 . 2 x ? 4 y ? 4 ?

由方程的判别式 ? ? 0 ,得 4k 2 ? m2 ? 1 ? 0(?) ,
x1 ? x2 ?

4m2 ? 4 ?8km , . x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

由 ?AOB ? 90? ,得 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 而 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) , 则 x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 .

4m2 ? 4 (?8km) ? mk 2 ? m2 ? 0 . 4k 2 ? 1 4k ? 1 整理得 5m2 ? 4k 2 ? 4 ? 0 ,
所以 (1 ? k 2 )
12

把 4k 2 ? 5m2 ? 4 代入 (?) 中,解得 m2 ?

3 4

4 3 而 4k 2 ? 5m2 ? 4≥0 ,所以 m2≥ ,显然满足 m2 ? . 5 4

直线 l 始终与圆 x2 ? y 2 ? r 2 相切,得圆心 (0, 0) 到直线 l 的距离 d 等于半径 r .

m2 4 4 4 ,由 m2 ? k 2 ? ,得 r 2 ? , 2 5 5 5 1? k 2 5 因为 r ? 0 ,所以 r ? . 5 4 当直线 l 的斜率不存在时,若直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 相切, 5
则 r2 ? d 2 ? 此时直线 l 的方程为 x ? ? 综上所述 r ? 20. (本小题共 13 分)
? π? 解: (Ⅰ)因为 a≥1 , x ? ? 0, ? , ? 4?

2 2 5 ,r ? 5. 5 5

2 5. 5

所以 f ? ( x) ? a cos x ? sin x≥cos x ? sin x≥0 .
? π? 故 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上是单调递增函数. ? 4?

(Ⅱ)令 f ? ( x) ? 0 ,得 a cos x ? sin x ,
? π? 因为在区间 ? 0, ? 上 cos x ? 0 ,所以 a ? tan x , ? 4?

因为 a ? (0 , 1) , tan x ? ?0,1? ,
? π? 且函数 y ? tan x 在 ? 0, ? 上单调递增, ? 4? ? π? 所以方程 a ? tan x 在 ? 0, ? 上必有一根,记为 x0 , ? 4?

则 f ? ( x0 ) ? a cos x0 ? sin x0 ? 0 .
? π? 因为 f ? ( x) ? a cos x ? sin x 在 ? 0, ? 上单调递减, ? 4?

所以,当 x ? (0 , x0 ) 时, f ? ( x) ? f ? ( x0 ) ? 0 ;
π? ? 当 x ? ? x0 , ? 时, f ? ( x) ? f ? ( x0 ) ? 0 . 4? ? ? π? 所以 f ( x) 在 (0 , x0 ) 上单调递增,在 ? x0 , ? 上单调递减. 4? ?

所以 f ( x)max ? f ( x0 ) ? a sin x0 ? cos x0 .
13

又因为 a cos x0 ? sin x0 ,且 sin 2 x0 ? cos2 x0 ? 1 , 所以 (a2 ? 1)cos2 x0 ? 1, cos2 x0 ?
1 , a ?1
2

故 f ( x)max ? f ( x0 ) ? (a2 ? 1)cos x0 ? a2 ? 1 . 依题意, a ? (0 , 1) 时,
2a a ?1
2

a 2 ? 1 ? t 2 ? at ? 2 恒成立.

即 a ? (0 , 1) 时, (t ? 2)a ? t 2 ? 2 ? 0 恒成立. 令 h(a) ? (t ? 2)a ? t 2 ? 2 ,

?t 2 +2≥0 ?h(0)≥0 ? 则? ,即 ? 2 . ? ?h(1)≥0 ?t +t≥0
解得 t≤ -1 或 t≥0 .

北京市朝阳区2015 年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学(文科)选填解析 1. 【答案】 D 【解析】 由题意可得集合 A ? {x |1 ? x ? 2} , 集合 B ? {x | ?1 ? x ? 1} , 所以 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 2}.
14

故选 D . 2. 【答案】 C 【解析】设正方形的边长为 2 ,则面积为 4 ;圆与正方形内切,圆的半径为1 ,所以圆的面积为 π ,则 阴影部分的面积为

π π ,则所求概率为 P ? .故选 C . 4 16

3. 【答案】 B 【解析】线性规划的区域如图所示,当移动到如图所示位置时取得最小值,此点的坐标为 (?2, ?2) ,

z ? ?2 ? (?2) ? 3 ? ?8 .

故选 B . 4. 【答案】 C 【解析】设命题 q : a 与 b 共线,设命题 p : a ? b 与 a ? b 共线,显然命题 q 成立时,命题 p 成立, 所 以 q 是 p 的 充 分 条 件 ; 当 a ? b 与 a ? b 共 线 时 , 根 据 共 线 的 定 义 有 a ? b ? ? (a ? b) , 则 ,由于 a ,b 都是非零向量,所以 ? ? ?1 ,那么 b ? ?b ? b ? ? a? a

(? ? 1) a ,所以可得 a 与 b 共线, ? ?1

q 是 p 的必要条件,综上可得 q 是 p 的充分必要条件,
故选 C . 5. 【答案】 A 【解析】模拟法:

S ? 0, n ? 1

S?

1 , n ? 3 , n 不大于 5 , 2 1 S ? ? , n ? 5 , n 不大于 5 , 2
15

S ? 0, n ? 7, n ? 5 ,输出 S ? 0 .
故选 A . 6. 【答案】 C 【解析】由图显然可知

故选 C . 7. 【答案】 A 【解析】 y ? ?

x 1 x2 x2 x ,设 A( x0 , 0 ) ,则过点 A 的切线方程为 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ) ,令 y ? 0 ,得 x ? 0 , x 2 4 4 2
, 于是 BA ? (
2 x x0 x0 BF ? ( ? 0 ,1) , 易得 BA BF ? 0 , 所以 ?ABF ? 90? . , ), 2 2 4

即点 B (

x0 ) 0 ( , , 0) , 又 F1 2

故选 A . 8. 【答案】 A 【解析】根据题目条件,画表如下:

16

若甲不在打印资料,则丙不在查资料,则甲在改作业,丙只能写教案,乙不管是写教案还是改作业都 与甲或丙在做一样的事,与题设矛盾.

所以甲一定在打印资料,此时丁在改作业,乙在写教案,丙在查资料. 故选 A . 9. 【答案】 1 ? i 【解析】解: i(1 ? i) ? i ? i 2 ? 1 ? i .

2 x2 10. 【答案】 y ? ?1 2 2

【解析】解:由于双曲线的焦点在 y 轴上,所以双曲线的渐近线为 y??

a x ,所以 b

a ? 1 ? a ? b, c ? 2, a 2 ? b 2 ? 1 ,因此 y 2 x2 ? ?1 b 2 2
2 ,3? 5 3

11. 【答案】

【解析】解:三视图的还原如图 1 所示,所以 V ?

1 2 1 ?1? 2 ? ; S ? 1 ? (2 ? 2 ? 5 ? 5) ? 3 ? 5 3 3 2

17

12. 【答案】

7 2 , 14 10

【解析】解: 因为 cos B ?

3 4 2 2 ,所以 ,sin B ? ,sin C ? ,cos C ? 5 5 2 2

4 2 3 2 7 2 , sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10

5 AC 5 AC ? ? ? ? AC ? 4 2 1 7 2 4 ,所以 S ? ? 5 ? 4 2 ? sin C sin B ? 14 . 2 2 10 5 2

13. 【答案】 4 6 【解析】解:如图当 AB 为直径时, AB 为过 P 的最长的弦,此时 AB ? 4 2 ,当 CE 与直径 AB 垂直 时, CE 为圆内过 P 的最短的弦,所以 △CEP 为直角三角形, | CP |?

(2 ? 1) 2 ? 22 ? 5 ,

?CP ? CE2 ? CP2 ? 8 ? 5 ? 3 ,所以 SAEBD ? DE AB ? 2 3 ? 2 2 ? 4 6

18

14. 【答案】①③④ 【解析】解:① 4 x ? 0 ,所以 f ( x ) ?

1 的定义域为 R ,①正确; 4 ?2
x

① 因为 y ? 4x 的取值范围 (0, ??) ,所以 f ( x ) ?

1 1 的值域为 (0, ) ,错误 4 ?2 2
x

② 方法一:因为 y ? 4x 在定义域内为单调增函数,所以 f ( x ) ? 方程 f ( x) ? x 有一个实根,③正确

1 在定义域为单调递减函数,所以 4 ?2
x

方法二:

1 1 1 1 ? x 的根,由于 x ? (0, ) ,所以如果有根那么一定在第一象限, 4 x ? 2 ? 由图 4 ?2 4 ?2 2 x
x

象可以知道

③ 对称中心为 ( , ) .经检验 f ( x ? 1) ? f (? x ) ? 正确.

1 1 2 4

1 1 1 1 1 ? ?x ? ,所以 f ( x) 关于 ( , ) 对称, 4 ?2 4 ?2 2 2 4
x ?1

19


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