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15.1 两角和与差的正弦公式(2)


15.1两角和与差的正弦公式

探索新知二
? ? cos(30 ? 45 ) cos 75 ?

?

? cos30 cos 45 ? sin 30 sin 45
? ? ?

?

?

6? 2 4

思考:如何

求 sin(? ? ? ) ? ? ? ? s in?? ? ? ? ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos[( ? ? ) ? ? ]

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

2 2 ?? ? ?? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
上述公式就是两角和的正弦公式

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sin(?-? ) ? ?
由sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

将上式中以??代?得

有 sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? sin(?? )cos ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
上述公式就是两角差的正弦公式

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两角和与差的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

例题剖析

例3 不用计算器,求sin75°和sin15°的值。

解 sin 15 75 ? sin(45 ? ? 30 )
? ? ? ?

? sin45 cos30 ? ? cos45 sin30
? ? ?

?

2 3 2 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 6? ? 2 ? 4

例题剖析

3 3 ? 求sin( ? ? ) 例4 已知 sin ? ? ? , ? ? (? , ? ), 5 2 3 的值。
解 因为

? 为第三象限角,所以
2

3 2 4 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? (? ) ? ? 5 5

sin( ? ? ) ? sin cos? ? cos sin ? 3 3 3 3 4 1 3 ?3? 4 3 ? ? (? ) ? ? (? ) ? 2 5 2 5 10

?

?

?

思考

不用计算器,如何求tan15 °和tan75 °的 值。

tan? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan? tan ?

小结
1

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

、两角和与差的正弦、余弦公式及应用;

2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,证明 等式成立, 灵活使用使用公式.


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