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圆锥曲线的经典性质50条(椭圆、双曲线)


椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)

1. 2.


点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为

直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 4. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准

线相离.

以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. xx y y x2 y 2 5. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 0 a b a b 2 2 x y 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点 0 a b x0 x y0 y 弦 P1P2 的直线方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1 ,F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点 a b ? ?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 两点, 为椭圆长轴上一个顶点, Q A 连结 AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是 椭 圆
kO M ? k
A B? ?

x2 y 2 ? ? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x0 , y0 ) 为 AB 的 中 点 , 则 a 2 b2

即 K AB

b2 , a2 b2 x ?? 2 0 。 a y0 x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

12. 若 P ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b

13. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

x2 y 2 x2 y 2 x x y y ? 2 ? 1 内, 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . a b a b a2 b
第 1 页

双曲线
1. 2. 3. 4. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P

直径的圆,除去长轴的两个端点.

在左支)
x2 y 2 5. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 的双曲线的切线方程是 0 0 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点 0 a b xx y y 为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 a b ? ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t . 2 2 2 x y 8. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a .

当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 1. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连

结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 2. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,

A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 3. AB 是双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中 a 2 b2 b 2 x0 b2 x ,即 K AB ? 2 0 。 ? 2 a y0 a y0 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2

点,则 K OM ? K AB 4.

若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b

5.

若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2

第 2 页

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

1.


椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭 a 2 b2 x2 y 2 圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭 a b b2 x 圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0

3.

若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意 a 2 b2 sin ? c ? ?e. sin ? ? sin ? a

一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

5.

x2 y 2 若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e a b

≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7.
( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与 直 线 A x? B ? y a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

椭圆

C 有公共点的充要条件是 ? 0

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . ,O a 2 b2 4a 2b2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为 2 2 ;(3) S?OPQ 的最小值 (1) a ?b | OP |2 | OQ |2 a b

8.

已知椭圆

第 3 页



a 2b 2 . a 2 ? b2

x2 y 2 9. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN a b | PF | e ? . 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a

10. 已知椭圆

11. 设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a 2 b2

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?
12. 设 A、 是椭圆 B

? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 ? ? 1 a>b>0) ( 的长轴两端点, 是椭圆上的一点,?PAB ? ? , P a 2 b2 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 .(2) a ? c co s2 ? 2a 2 b 2 cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的 a 2 b2

13. 已知椭圆

直线与椭圆相交于 A、 两点,点 C 在右准线 l 上, BC ? x 轴, B 且 则直线 AC 经过线段 EF 的 中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦 点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半 径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
第 4 页

1. 2.

椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线 a 2 b2 x2 y 2 交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 a b b2 x0 双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 (常数). a y0

1.

双曲线

3.

若 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦 a 2 b2
c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 4. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线 a 2 b2

上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? , 则 有
si? n c ? ?e. ?( s i?n? s i n a ) ?

5.

若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1 a 2 b2

<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中 项. 6. P 为双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点, a 2 b2

则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成 立. 7.
x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 A x ? B y? C ?0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a 2 b2 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 .

双曲线

第 5 页

8.

已知双曲线

OP ? OQ .

x2 y 2 ? ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 a 2 b2

(1)

4a 2b 2 1 1 1 1 ;(3) S?OPQ 的最小值 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a b

a 2b 2 是 2 . b ? a2 x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点, a 2 b2 | PF | e 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2

1.

过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 3. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a b ? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 cot . ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 2 1 ? cos ? 2 2 x y 4. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, a b ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有

2.

已知双曲线

(1) | PA |?

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? |
2

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB 1.

2a 2 b 2 ? 2 cot ? . b ? a2

x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过双曲线右焦点 F a b

的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 2. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相

应焦点的连线必与切线垂直. 3. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与

焦半径互相垂直. 4. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离
第 6 页

心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 1. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 2. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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