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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. ) 1. (x﹣2y) 的展开式中的第 4 项为( 4 3 A. ﹣35x y 4 3 D.35x y 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:直接利用二项式定

理求解即可. 解答: 解: (x﹣2y) 的展开式中的第 4 项为:T4= 故选:C. 点评:本题考查二项式定理的应用,基本知识的考查. 2. (2010?江苏模拟)如果随机变量 ξ~B(n,p) ,且 Eξ=7,Dξ=6,则 p 等于( A. B. C. D. )
7 7

) B.280x y
4 3

C. ﹣280x y

4 3

=﹣280x y .

4 3

考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:计算题. 分析:因为 ξ 服从二项分布,由二项分布的期望和方差公式 Eξ=np,Dξ=np(1﹣p)解出 p 即可. 解答: 解:如果随机变量 ξ~B(n,p) ,则 Eξ=np,Dξ=np(1﹣p)又 Eξ=7,Dξ=6, ∴np=7,np(1﹣p)=6,∴p= . 点评:本题考查二项分布的期望和方差公式,属基本题型基本方法的考查.

3. (2015 春?武汉校级期末)已知随机变量 x 服从二项分布 x~B(6, ) ,则 P(x=2)等 于( A. ) B. C. D.

考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题:概率与统计. 分析:随机变量 x 服从二项分布 x~B(6, ) ,表示 6 次独立重复试验,每次实验成功概 率为 ,P(x=2)表示 6 次试验中成功两次的概率.

解答: 解:随机变量 x 服从二项分布 x~B(6, ) , 则 P(x=2)= =

故选:A. 点评:本题考查独立重复试验中事件的概率及二项分布知识,属基本题. 4. (2010?陕西模拟)在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时,有下列步骤: ①对所求出的回归直线方程作出解释; ②收集数据(xi,yi) ,i=1,2,…,n; ③求线性回归方程; ④求相关系数; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图. 如果根据可形性要求能够作出变量 x,y 具有线性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是 ( ) A. ①②⑤③④ B.③②④⑤① C. ②④③①⑤ D. ②⑤④③① 考点:可线性化的回归分析. 专题:常规题型. 分析:首先收集数据(xi,yi) ,i=1,2,…,n;根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图 的形状,判断线性关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后对所求出的回归直线 方程作出解释. 解答: 解:对两个变量进行回归分析时, 首先收集数据(xi,yi) ,i=1,2,…,n;根据所搜集的数据绘制散点图. 观察散点图的形状,判断线性关系的强弱, 求相关系数,写出线性回归方程, 最后对所求出的回归直线方程作出解释; 故正确顺序是②⑤④③① 故选 D. 点评:本题考查可线性化的回归分析,考查进行回归分析的一般步骤,是一个基础题,这种 题目若出现在大型考试中,则是一个送分题目. 5. (2015 春?武汉校级期末)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了 一组样本数据: 年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 56 58 60 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 31.4 33.5 35.2 通过计算得到回归方程为 =0.577x﹣0.448,利用这个方程,我们得到年龄 37 岁时体内脂

肪含量为 20.90%,那么数据 20.90%的意义是( ) A. 某人年龄 37 岁,他体内脂肪含量为 20.90% B. 某人年龄 37 岁,他体内脂肪含量为 20.90%的概率最大 C. 某人年龄 37 岁,他体内脂肪含量的期望值为 20.90%

D. 20.90%是对年龄为 37 岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计 考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:由回归分析的几何意义可知:x=37 时,y 的预报值为 20.901,即 20.90%是对年龄为 37 岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计. 解答: 解:利用回归方程为 可得 x=37 时, =20.901, =0.577x﹣0.448,

即我们到年龄 37 岁时体内脂肪含量约为 20.90%, 故 20.90%是对年龄为 37 岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计, 故选:D. 点评:本题考查的知识点是线性回归方程, 熟练掌握并正确理解回归分析的实际意义, 是解 答的关键. 6. (2015 春?武汉校级期末)已知随机变量 ξ 服从正态分布,则 N(1,4) ,则 P(﹣3<ξ <1)=( ) 参考数据:P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ) =0.9974. A. 0.6826 B.0.3413 C. 0.0026 D. 0.4772 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据随机变量 ξ 服从正态分布,则 N(1,4) ,可得 P(﹣3<ξ<1)= P(1﹣4<ξ <1+4) ,即可得出结论. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布,则 N(1,4) , ∴P(﹣3<ξ<1)= P(1﹣4<ξ<1+4)= 0.9544=0.4772,

故选:D. 点评:本题考查概率的计算,考查正态分布曲线的特点,考查学生的计算能力,比较基础. 7. (2014?安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为 60°的共 有( ) A. 24 对 B.30 对 C. 48 对 D. 60 对 考点:排列、组合及简单计数问题;异面直线及其所成的角. 专题:排列组合. 分析:利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结果. 解答: 解:正方体的面对角线共有 12 条,两条为一对,共有 =66 条,

同一面上的对角线不满足题意, 对面的面对角线也不满足题意, 一组平行平面共有 6 对不满 足题意的直线对数, 不满足题意的共有:3×6=18. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为 60°的共有:66﹣18=48. 故选:C. 点评:本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键. 8. (2015 春?武汉校级期末)某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开放 2 间,求不同安 排方案的种数,现有四位同学分别给出下列四个结果① ③ A. ①②③ ,其中正确的结论是( ① B. ) ②与③ C. ①与② D. ;②2 ﹣7;
6

考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:排列组合. 分析:由排列组合的知识易得,直接法,C6 +C6 +C6 +C 6+C6 种,间接法,2 ﹣(C6 +C6 ) 6 =2 ﹣7 种,可得答案. 解答: 解:6 间电脑室至少开放 2 间即开放 2 间或 3 间或 4 间或 5 间或 6 间, 共有 C6 +C6 +C6 +C 6+C6 种方案,故②正确; 6 0 1 间接法,总的情况共 2 种,不合题意的有 C6 +C6 种, 6 0 1 6 故共有 2 ﹣(C6 +C6 )=2 ﹣7 种方案,故③也正确, 故选:B. 点评:本题考查简单的排列组合问题,属基础题. 9. (2015?聊城二模)将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组,若甲组至少两人,乙、丙组至 少各一人,则不同的分配方案的种数为( ) A. 80 B. 120 C. 140 D. 50 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 2 分析:本题是一个分步计数问题,首先选 2 个放到甲组,共有 C5 种结果,再把剩下的 3 个 2 2 人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有 C3 A2 ,相乘得到结果,再表示出甲组含有 3 个人时,选出三个人,剩下的两个人在两个位置排列. 解答: 解:由题意知本题是一个分步分类计数问题, 2 首先选 2 个放到甲组,共有 C5 =10 种结果, 2 2 再把剩下的 3 个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有 C3 A2 =6 种结果, ∴根据分步计数原理知共有 10×6=60, 3 2 当甲中有三个人时,有 C5 A2 =20 种结果 ∴共有 60+20=80 种结果 故选 A. 点评:本题考查排列组合及简单计数问题, 本题是一个基础题, 解题时注意对于三个小组的 人数限制,先排有限制条件的位置或元素.
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 6 0 1

10. (2015 春?武汉校级期末)假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1﹣p,且各引 擎是否有故障是独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行; 2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行,要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更 安全,则 P 的取值范围是( ) A. D.(0, ) ( ,1) B.( ,1) C. (0, )

考点:相互独立事件的概率乘法公式;一元二次不等式的解法. 专题:计算题. 分析:由题意知各引擎是否有故障是独立的,4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,4 引 3 3 4 2 擎飞机可以正常工作的概 C4 p (1﹣p)+p ,2 引擎飞机可以正常工作的概率是 p ,根据题 意列出不等式,解出 p 的值. 解答: 解:每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1﹣p,不出现故障的概率是 p, 且各引擎是否有故障是独立的, 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行; 3 3 4 4 引擎飞机可以正常工作的概率是 C4 p (1﹣p)+p , 2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行, 2 引擎飞机可以正常工作的概率是 p 要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全, 依题意得到 C4 p (1﹣p)+p >p , 2 化简得 3p ﹣4p+1<0, 解得 <p<1. 故选 B 点评:本题考查相互独立事件同时发生的概率, 考查互斥事件的概率, 考查一元二次不等式 的解法,是一个综合题,本题也是一个易错题,注意条件“4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正 常运行”的应用. 11. (2015 春?武汉校级期末)一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F 为 6 个开关,其闭 合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
3 3 4 2 2

A.

B.

C.

D.

考点:相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计.

分析:先由条件求得灯不亮的概率,再用 1 减去此概率,即得所求. 解答: 解:开关 C 断开的概率为 ,开关 D 断开的概率为 ,开关 A、B 至少一个断开的 概率为 1﹣ = , = , ,

开关 E、F 至少一个断开的概率为 1﹣ 故灯不亮的概率为 故灯亮的概率为 1﹣ = , =

故选:B. 点评:本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式, 等可能事件的概率, 所求的事件的概率 与它的对立事件的概率之间的关系,属于基础题. 12. (2015 春?武汉校级期末)执行某个程序,电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂 色. ①有五种给定的颜色供选用; ②每个小圆涂一种颜色,且图中被同一条线段相连两个小圆不能涂相同的颜色. 若电脑完成每种涂色方案的可能形相同, 则执行一次程序后, 图中刚好有四种不同的颜色的 概率是( )

A.

B.

C.

D.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:分别讨论满足条件的涂色的总数, 以及刚好有四种不同的颜色的数目, 利用概率公式 进行求解即可. 解答: 解:分两步来进行,先涂 A、B、C,再涂 D、E、F. ①若 5 种颜色都用上,先涂 A、B、C,方法有 种, 最后剩余的一个点只有 2 种涂法,故此时方法共有 ②若 5 种颜色只用 4 种,首先选出 4 种颜色,方法有 先涂 A、B、C,方法有 ? ?2=720 种. 种; 种;再涂 D、E、F 中的两个点,方法有

种;再涂 D、E、F 中的 1 个点,方法有 3 种,

最后剩余的两个点只有 3 种涂法,故此时方法共有 ③若 5 种颜色只用 3 种,首先选出 3 种颜色,方法有 先涂 A、B、C,方法有 故此时方法共有 ?

?

?3?3=1080 种. 种;

种;再涂 D、E、F,方法有 2 种, ?2=120 种.

综上可得,不同涂色方案共有 720+1080+120=1920 种, 则图中刚好有四种不同的颜色的概率是 = .

故选:A 点评:本题主要考查古典概型的概率的计算, 利用排列组合的基础知识与分类讨论思想是解 决本题的关键.难度较大. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横线上) 13. (2015 春?武汉校级期末) 二项式 (1+sinx) 的展开式中二项式系数最大的一项的值为 , 则x在 内的值为 .
6

考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:由条件利用二项展开式的通项公式求得 sinx= ,由此在
6

内,求得 x 的值. ?sin x= ,
3

解答: 解:二项式(1+sinx) 的展开式中二项式系数最大的一项的值为 ∴sin x= ,sinx= ,在 故答案为: .
3

内,x=



点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,根据 三角函数的值求角,属于基础题. 14. (2015 春?武汉校级期末)对有关数据的分析可知,每一立方米混凝土的水泥用量 x(单 位:kg)与 28 天后混凝土的抗压度 y(单位:kg/cm )之间具有线性相关关系,其线性回 归方程为 =0.30x+9.7. 根据建设项目的需要, 28 天后混凝土的抗压度不得低于 90.7kg/cm ,
2 2

每立方米混凝土的水泥用量最少应为 270 kg. 考点:线性回归方程. 专题:函数的性质及应用.

分析:28 天后混凝土的抗压度不得低于 90.7kg/cm ,代入线性回归方程为

2

=0.30x+9.7,从

而可求出 x 的范围,从而求出所求答案. 解答: 解:∵每立方米混凝土的水泥用量 x(单位:kg)与 28 天后混凝土的抗压强度 y 2 (单位:kg/cm )之间具有线性相关关系, 其线性回归方程为 =0.30x+9.7,

以及某个建设项目的须要,28 天后混凝土的抗压强度不得低于 90.7kg, ∴ =0.30x+9.7≥90.7,解得 x≥270,

即每立方米混凝土的水泥用量最少应为 270kg. 故答案为:270. 点评:本题考查线性回归方程, 考查线性回归方程的应用, 用来预报当自变量取某一个数值 时对应的 y 的值,属于基础题. 15. (2015 春?武汉校级期末)某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 的概率为 ,既刮四级以上风又下雨的概率为 . ,刮四级以上风

,设事件 A 为下雨,事件 B 为刮四级以上

的风,那么 P(B|A)=

考点:条件概率与独立事件. 专题:计算题;概率与统计. 分析:确定 P(A)= 论. 解答: 解:由题意 P(A)= ∴P(B|A)= 故答案为: . 点评:本题考查概率的计算,考查条件概率,考查学生的计算能力,属于基础题. 16. (2015 春?武汉校级期末)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0 ﹣1 三角数表、从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的 n 是第 3 行,…,第 n 次全行的数都为 1 的是第 2 ﹣1 行;第 62 行中 1 的个数是 32 . = . ,P(B)= ,P(AB)= , ,P(B)= ,P(AB)= ,再利用条件概率公式,即可求得结

考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:本题考查的知识点是归纳推理, 我们可以根据图中三角形是将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,结合杨辉三角我们易得到第 1 行,第 3 行,第 7 行,…全都是 1,则归纳推 n 断可得:第 n 次全行的数都为 1 的是第 2 ﹣1 行;由此结论我们可得第 63 行共有 64 个 1, 逆推即可得到第 62 行中 1 的个数 解答: 解:由已知中的数据 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 … 全行都为 1 的是第 2 ﹣1 行; n 全行都为 1 的是第 2 ﹣1 行; 6 ∵n=6?2 ﹣1=63, 故第 63 行共有 64 个 1, 逆推知第 62 行共有 32 个 1, 故答案为:32. 点评:本题考查了归纳推理,归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同 性质, (2)从已知某些相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 三、解答题(本大题共 6 个题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (2014?芙蓉区校级模拟)从 4 名男生,3 名女生中选出三名代表, (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种? (3)代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种? 考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题. 分析: (1)根据题意,要从 7 人中选出 3 名代表,由组合数公式可得答案; (2)至少有一名女生包括 3 种情况,①、有 1 名女生、2 名男生,②、有 2 名女生、1 名 男生,③、3 名全是女生,由组合数公式可得每种情况的选法数目,由分类计数原理计算 可得答案; (3)由(1)可得,从 7 人中选出 3 人的情况有 C7 种,从中排除选出的 3 人都是男生的情 况与选出的 3 人是女生的情况,即可得答案. 解答: 解: (1)根据题意,共有 7 人,要从中选出 3 名代表,共有选法 (2)至少有一名女生包括 3 种情况, 1 2 ①、有 1 名女生、2 名男生,有 C3 C4 种情况, 2 1 ②、有 2 名女生、1 名男生,有 C3 C4 种情况, 3 ③、3 名全是女生,有 C3 种情况, 则至少有一名女生的不同选法共有 种; 种;
3 n

(3)由(1)可得,从 7 人中选出 3 人的情况有 C7 种, 3 选出的 3 人都是男生的情况有 C4 种, 3 选出的 3 人是女生的情况有 C3 种, 则选出的 3 人中,男、女生都要有的不同的选法共有 种.

3

点评:本题考查排列、组合的运用,注意灵活运用分类计数原理,关键是明确事件之间的关 系.
n

18. (2015 春?武汉校级期末)已知( +2x) . (1)若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系 数最大的项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 考点:二项式定理的应用. 专题:计算题. 分析: (1)第 k+1 项的二项式系数为 Cn ,由题意可得关于 n 的方程,求出 n. 而二项式系数最大的项为中间项,n 为奇数时,中间两项二项式系数相等;n 为偶数时,中 间只有一项. (2)由展开式前三项的二项式系数和等于 79,可得关于 n 的方程,求出 n. 而求展开式中系数最大的项时,可通过解不等式组求得,假设 Tk+1 项的系数最大,Tk+1 项 的系数为 rk,则有 解答: 解: (1)∵Cn +Cn =2Cn , 2 ∴n ﹣21n+98=0, ∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, ∴T4 的系数=C7 ( ) 2 = T5 的系数=C7 ( ) 2 =70. 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8. ∴T8 的系数=C14 ( ) 2 =3432. (2)由 Cn +Cn +Cn =79,可得 n=12,设 Tk+1 项的系数最大. ∵( +2x) =( ) (1+4x) ,
12 12 12 0 1 2 7 7 7 4 3 4 3 4 3 4 6 5 k



∴ ∴9.4≤k≤10.4,∴k=10, ∴展开式中系数最大的项为 T11.

T11=( ) C12 4 x =16896x . 点评:本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题,难度较大,易出错.要正确区分 这两个概念. 19. (2015 春?武汉校级期末)某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度 进行了调查,统计数据如表所示: 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计 24 26 50 (1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? 抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有 关系?说明理由. 附: P(x ≥k) k
2

12

10 10 10

10

0.05 3.841

0.01 6.635

考点:独立性检验. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)根据古典概型的概率公式计算概率即可; (2)计算观测值 x 的值,对照表中数据得出统计结论. 解答: 解: (1)随机抽查这个班的一名学生,有 50 种不同的抽查方法, 由于积极参加班级工作的学生有 18+6=24 人,所以有 24 种不同的抽法, 因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是 P1= 又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人, 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是 P2=
2 2 2

=





(2)由 x 统计量的计算公式得 x =

≈11.538,

由于 11.538>10.828, 所以可以有 99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”. 点评:本题考查了古典概型的应用问题, 也考查了两个变量线性相关的应用问题, 是基础题 目. 20. (2014?襄城区校级模拟)“蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独 立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究, 每次试验一个生物, 甲组能使生物成活的

概率为 ,乙组能使生物成活的概率为 ,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生 物不成活,则称该次试验是失败的. (1)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率; (2)如果乙小组成功了 4 次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两 次连续失败的概率; (3)若甲乙两小组各进行 2 次试验,设试验成功的总次数为 ξ,求 ξ 的期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1) 利用古典概率计算公式结合排列组合知识, 能求出至少两次试验成功的概率. (2)根据乙小组在第四次成功前共有三次失败,可知乙小组共进行了 6 次试验,其中三次 成功三次失败,且恰有两次连续失败,所以各种可能的情况数为 =12 种,由此能求出结

果. (3)由题意 ξ 的取值为 0,1,2,3,4,分别求出 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,P(ξ=3) , P(ξ=4) ,由此能求出 ξ 的期望. 解答: 解: (1)甲小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率为: P(A)= = .

(2)根据乙小组在第四次成功前共有三次失败, 可知乙小组共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败, 所以各种可能的情况数为 =12 种, = .

所以所求的概率为 P(B)=12× (3)由题意 ξ 的取值为 0,1,2,3,4, P(ξ=0)= P(ξ=1)= P(ξ=2) = + = P(ξ=3)= P(ξ=4)= ∴ξ 的分布列为: ξ 0 P ? = , + , + = ,

= ,

+

= ,

1

2

3

4

Eξ=

= .

点评: 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 在历年高考中都是必考题型. 21. (2015?山东一模)2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成,分别叫贝贝、 晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有 8 个相同的盒子,每个盒子中放一只福娃,每种福娃的数量 如下表: 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 1 1 1 2 3 从中随机地选取 5 只. (Ⅰ)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (Ⅱ)若完整地选取奥运会吉祥物记 10 分;若选出的 5 只中仅差一种记 8 分;差两种记 6 分;以此类推.设 ξ 表示所得的分数,求 ξ 的分布列及数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计.

分析: (Ⅰ)根据排列组合知识得出 P=

运算求解即可.

(Ⅱ)确定 ξ 的取值为:10,8,6,4.分别求解 P(ξ=10) ,P(ξ=8) ,P(ξ=6) ,P(ξ=4) , 列出分布列即可.

解答: 解: (Ⅰ)选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率 P= (Ⅱ)ξ 的取值为:10,8,6,4.

=

=



P(ξ=10)=

=



P(ξ=8)=



P(ξ=6)=

=



P(ξ=4)=

=

ξ 的分布列为: ξ 10

8

6

4

P ﹣ Eξ= =7.5.

点评:本题综合考查了运用排列组合知识, 解决古典概率分布的求解问题, 关键是确定随机 变量的数值,概率的求解,难度较大,仔细分类确定个数求解概率,属于难题. 22. (2015?山东一模)已知函数 f(x)=aln(x+1)﹣ax﹣x . (Ⅰ)若 x=1 为函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)讨论 f(x)在定义域上的单调性; (Ⅲ)证明:对任意正整数 n,ln(n+1)<2+ .
2

考点:利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的 极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (I)由 (Ⅱ)由 ,f′(1)=0,知 ,令 f′(x)=0,得 x=0,或 ,由此能求出 a. ,又 f(x)的定义
2

域为(﹣1,+∞) ,讨论两个根及﹣1 的大小关系,即可判定函数的单调性; (Ⅲ)当 a=1 时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f(0) ,即 ln(x+1)≤x+x ,由此能 够证明 ln(n+1)<2+ 解答: 解: (1)因为 令 f'(1)=0,即 ,解得 a=﹣4, . ,

经检验:此时,x∈(0,1) ,f'(x)>0,f(x)递增;x∈(1,+∞) ,f'(x)<0,f(x)递 减, ∴f(x)在 x=1 处取极大值.满足题意. (2) 令 f'(x)=0,得 x=0,或 ①当 , ,又 f(x)的定义域为(﹣1,+∞)

,即 a≥0 时,若 x∈(﹣1,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,

+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)递减; ②当 递减; ,即﹣2<a<0 时,若 x∈(﹣1, ,则 f'(x)<0,f(x)

若 递减; ③当 ④当 ,

,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)

,即 a=﹣2 时,f'(x)≤0,f(x)在(﹣1,+∞)内递减, ,即 a<﹣2 时,若 x∈(﹣1,0) ,则 f'(x)<0,f(x)递减;若 x∈(0,

则 f'(x)>0,f(x)递增;若

,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)递减;
2

(3)由(2)知当 a=1 时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f(0) ,即 ln(x+1)≤x+x , ∵ ∴ ∴ . ,∴ ,i=1,2,3,…,n, ,

点评:本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性, 证明: 对任意的正整数 n. 解 题时要认真审题,注意导数的合理运用,恰当地利用裂项求和法进行解题.


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