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数学必修1第一章立体几何初步单元检测题及答案


精炼检测 第 一 页 共 一 页

第一章
一、选择题. 1. 下面说法中正确的是( ).

立体几何初步

A. 如果两个平面 α,β 有一条公共直线 a,就说平面 α,β 相交,并记作 α∩β = a B. 两平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过点 A 的任意一条直线 C. 两平面 α,β

有一个公共点 A,就说 α,β 相交于点 A,并记作 α∩β = A D. 两平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC 2. 三个平面最多可以把空间分成( A. 4 部分 B. 6 部分 ). C. 7 部分 D. 8 部分 ).

3. 空间四点 A,B,C,D 共面,但不共线,则下面结论成立的是( A. 四点中必有三点共线 C. AB,BC,CD,DA 四条直线中总有两条互相平行 4. a,b 是异面直线,以下说法: ①过 a 至少有一个平面平行于 b ; ③至多有一条直线与 a,b 都垂直; 正确说法的个数是( 5. 下列说法: ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线平行; ). A. 0

B. 四点中必有三点不共线 D. AB 与 CD 必相交

②过 a 至少有一个平面垂直于 b; ④至少有一个平面分别与 a,b 都平行. B. 1 C. 2 D. 3

③两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行; ④若一条直线 a 和平面 α 内一条直线 b 平行,则 a∥α. 正确的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3

6.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形. 如果这个等腰直角三角形的直 角边长为 1,那么这个几何体的体积为( ).

正视图 A. 1 B.

侧视图

俯视

1 2

C.

1 3

D.

1 6

精炼检测 第 二 页 共 二 页 7. 下列判断中正确的是( ).

A. 若平面 α 内有两条直线都和平面 β 平行,则 α∥β B. 若一条直线 l 与平面 α 和 β 所成的角相等,则 α∥β C. 若直线 l∥平面 β,直线 m ? β,则 l∥m D. 若平面 α∥平面 β,直线 l ? α,则 l∥β 8. 已知三条直线 m,n,l,三个平面 α,β,γ,下面四种说法中,正确的是( ).

A.

α ⊥γ β ⊥γ
m∥ γ n∥ γ

?α ∥ β

B.

m∥ β l⊥m m⊥ γ n⊥ γ

? l∥ β

C.

? m∥n

D.

? m∥n

二、填空题. 1. 若点 M 在直线 a 上,直线 a 在平面 α 内,则 M,a,α 之间的关系可采用符号表示为_______. 2. 设 a,b,c 是空间中的三条直线,以下四种说法: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线; ③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 正确的个数是_________. 3. 如图,AA1∥BB1∥CC1,且 AA1,BB1,CC1 不共面,则图中各条线段所在的直线中,共有 ______ 对异面 直线.

4. 若球 O 的内接长方体的长、宽、高分别为 3 cm,2 cm, 3 cm,则球的体积为______. 5. 已知三棱锥 P - ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,且三个侧面的面积分别为S1,S2,S3,则这个三 棱锥的体积为______________________. 6. △ABC 所在平面 α 外有一点 P,过点 P 作 PO⊥平面 α ,垂足为 O,连接 PA,PB,PC. (1)若 PA = PB = PC,则点 O 为 △ABC 的___________心; (2)若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是 △ABC 的___________心; (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则点 O 是 △ABC 的___________心; (4)若 PA = PB = PC,∠C = 90?,则点 O 是 AB 边的___________点; (5)若 PA = PB = PC,AB = AC,则点 O 点在 ___________ 线上.

精炼检测 第 三 页 共 三 页

三、解答题. 1. 如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AA1,CC1 的中点,求证:点 D1,E,F,B 共 面.

F

2. 已知平面 α∩平面 β = a,平面 α∩平面 γ = b,平面 β∩平面 γ = c,且 a∩b = O. 求证:a,b,c 相交于一点.

3. 如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1中,点 P,Q,R 分别在棱 AB,BB1,CC1 上,且直线 DP,QR 相交 于点 O,求证:O,B,C 三点共线.

4. 已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别是 AB,PC 的中点. 求证:MN∥平面 PAD;
1

1

1

1

精炼检测 第 四 页 共 四 页

参考答案
一、选择题. 1. A 2. D 【解析】23 = 8(部分). 3. B 【解析】若任取三点都共线,则有 4 个点都共线,与题设不符. 4. C 【解析】①正确;②不一定,只有 a⊥b 时成立;③错误;④正确. 5. A 【解析】①错,l 与 α 相交也行; ②错,l 与 α 内的直线可能是异面直线; ③错,另一条直线可以在平面内; ④错,a 可以在 α 内. 6. D【解析】这个几何体为如图所示的直三棱锥,高为 1. ∴ V = 7. D8. D 二、填空题. 1. M∈a ? α.2. 0.3. 12. 【解析】A1B1 和 AC;A1B1 和 BC;A1A 和 B1C1;A1A 和 BC; B1C1 和 AB;B1C1 和 AC;B1B 和 AC;B1B 和 A1C1; A1C1 和 AB;A1C1 和 BC;CC1 和 A1B1;C1C 和 AB. 4.

1 . 6

32 π cm3. 3
32 ? 22 ?

【解析】直径 d = ∴ 半径 r = 2. ∴ V=

? 3?

2

= 4,

4 3 32 π ??r = cm3. 3 3

5.

2S1S 2 S 3 1 1 1 .【解析】设三条侧棱长分别为 a,b,c,则 ab = S1, bc = S2, ca = S3. 3 2 2 2

1 三式相乘,得 a2 b2 c2 = S1S2S3.∴ abc = 2 2 S1S2 S3 . 8

精炼检测 第 五 页 共 五 页

1 1 1 1 1 ∵ 三侧棱两两垂直,∴ V = ( ab)·c = abc· = 3 2 3 2 3
6. (1)外;(2)垂;(3)内;(4)中;(5)BC边的高.

2S1S2 S3 .

【解析】(1)由三角形全等可证得 OA = OB = OC,点 O 为 △ABC 的外心; (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得 OA⊥BC,OB⊥AC,点 O 为 △ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得点 O 到三边距离相等,点 O 为 △ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得点 O 为 △ABC 的外心,点 O 为 AB 边的中点; (5)由(1)知点 O 为 △ABC 的外心,点 O 在 BC 边的高线上(或说在 ∠A的平分线上,或者说在BC边的中 线上). 三、解答题. 1. 证明:连接 D1E,D1F,并分别延长,使 D1F 与 DC 的延长线交于点 H,D1E 的延长线与 DA 的延长线交于 点 G. ∵ D1,E,F 三点不共线, ∴ D1,E,F 确定一个平面 ? . ∴ G,H∈ ? . 又∵点 E 是 AA1 的中点,∴ EA 同理可得,点 C 是 DH 的中点. ∴ CH = BC = BA = GA. 又∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BCH =∠BAG = 90°. 连接 BH,BG. ∴ △BCH,△GAB 是全等的等腰直角三角形. ∴ ∠CBH =∠ABG = 45°. ∴ ∠GBA +∠ABC+∠CBH = 180°. ∴ G,B,H 三点共线. 又 G,H∈ ? , ∴ GH ? ? ,而 B∈GH, ∴ B∈ ? . ∴ D 1 ,E,F,B 四点共面. 2. 证明:∵ α∩ β = a,α∩ γ = b, ∴ a ? β,b ? γ .

1 DD 1 ,∴ 点 A 是 DG 的中点. 2

精炼检测 第 六 页 共 六 页 又∵ a∩b = O, ∴ O∈a,O∈b. ∴ O∈β,O∈ γ . ∴ 点 O 在 β, γ 的交线 c 上. ∴ 三条直线 a,b,c 相交于点 O.

3. 证明:∵ P∈直线 AB,D∈直线 CD,
1

∴ P∈平面 ABCD. D∈平面 ABCD. ∴ 直线 DP ? 平面 ABCD. 又∵ O∈直线 DP, ∴ O∈平面 ABCD. 同理可证,O∈平面 BCC1B1. ∵ 平面 ABCD∩平面 BCC1B1 = 直线 BC, ∴ O∈直线 BC. ∴ O,B,C 三点共线. 4. 证明:取 PD 的中点为 Q,连接 AQ,QN, ∵ 点 N 为 PC 的中点, ∴ QN ∴ QN
P N
1 1

1

1 DC, 2
AM,

Q D

C

∴ 四边形 AMNQ 为平行四边形, ∴ MN∥AQ, ∴ MN∥平面 PAD.
A M B


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