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2014届高三数学一轮复习 第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 理 新人教版


第19讲 同角三角函数的基本关系

与诱导公式

3 3π 1.(改编)已知 sin αcos α= ,π<α< , 8 2 则 sin α+cos α 的值为 .

3π 解析:因为 π<α< ,所以 sin α<0,cos α<0, 2 所以 sin α+cos α=- ?sin α+co

s α?2 =- 1+2sin αcos α =- 3 7 1+ =- . 4 2

2.(2012· 金华十校期末)已知 tan α=2, 6sin α+cos α 则 = 3sin α-2cos α .

解析:将原式分子、分母同时除以 cos α, 6tan α+1 13 得原式= = . 3tan α-2 4

2014π 3.(原创)sin(- )的值是( C ) 3 1 A. 2 3 C. 2 1 B.- 2 3 D.- 2

2014π 4π 解析:sin(- )=-sin(670π+ ) 3 3 π π 3 =-sin(π+ )=sin = . 3 3 2

3 4.(2012· 河南省驻马店市 5 月)已知 cos(π+x)= , 5 x∈(π,2π),则 sin x 等于( B ) 3 A.- 5 3 C. 5 4 B.- 5 4 D. 5

3 3 解析:由 cos(π+x)= ,得 cos x=- , 5 5 4 又因为 x∈(π,2π),所以 sin x=- 1-cos x=- . 5
2



诱导公式的应用
【例 1】(改编) 29π 29π 25π (1)sin +cos(- )+tan(- )=__________; 6 3 4 3π sin? -α?tan?π+α? 2 (2)已知 f(α)= , tan?π-α? 31π 则 f (- )的值为( ) 3 1 1 A.- B. 2 2 3 3 C. D.- 2 2

5π π π 解析:(1)原式=sin(4π+ )+cos(10π- )-tan(6π+ ) 6 3 4 5π π π =sin +cos -tan =0. 6 3 4 3π sin? -α?tan?π+α? -cos αtan α 2 (2)f(α)= = =cos α, tan?π-α? -tan α 31π 31π 31π π 所以 f(- )=cos(- )=cos =cos(10π+ ) 3 3 3 3 π 1 =cos = . 3 2

【拓展演练 1】 1 已知 cos(75° +α)= ,其中 α 为第三象限角, 3 求 cos(105° -α)+sin(α-105° )的值.

解析:cos(105° -α)=cos [180° -(75° +α)] 1 =-cos(75° +α)=- , 3 sin(α-105° )=-sin(105° -α) =-sin [180° -(75° +α)] =-sin(75° +α).

1 因为 cos(75° +α)= ,且 α 为第三象限角, 3 所以角 75° +α 为第三或四象限角. 所以 sin(75° +α)=- 1-cos2?75° +α? =- 12 2 2 1-? ? =- , 3 3

1 2 2 2 2 -1 则 cos(105° -α)+sin(α-105° )=- + = . 3 3 3



利用同角公式进行弦切转化
1 1 【例 2】(1)(改编)化简:(tan x+ )· 等于( tan x tan2x+1 A.tan x C.cos x B.sin x 1 D. tan x )

(2)如果 f(tan x)=sin2x-5sin xcos x, 那么 f(5)=________.

sin x cos x 1 解析:(1)( + )· cos x sin x sin2x +1 cos2x sin2x+cos2x cos2x 1 = · = ,故选 D. sin xcos x sin2x+cos2x tan x
2 sin x-5sin xcos x 2 (2)f(tan x)=sin x-5sin xcos x= sin2x+cos2x

tan2x-5tan x = , tan2x+1 52-5×5 所以 f(5)= 2 =0. 5 +1

【拓展演练 2】 tan α 已知 =-1,求 sin2α+sin αcos α+2 的值. tan α-1

tan α 1 解析:由 =-1,得 tan α= , 2 tan α-1
2 2 3sin α + sin α cos α + 2cos α 2 所以 sin α+sin αcos α+2= sin2α+cos2α

3tan2α+tan α+2 = tan2α+1 12 1 3×? ? + +2 2 2 13 = = . 12 5 ? ? +1 2



公式sin2α+cos2α=1的巧用
1 【例 3】已知 sin θ-cos θ= ,求: 2 (1)sin θcos θ; (2)sin3θ-cos3θ; (3)sin4θ+cos4θ.

1 1 解析:(1)sin θ-cos θ= ,平方得 1-2sin θcos θ= , 2 4 3 sin θcos θ= . 8 (2)sin3θ-cos3θ=(sin θ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos2θ) 1 3 11 = (1+ )= . 2 8 16 (3)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ 9 23 =1-2× = . 64 32

【拓展演练 3】 (1)已知 cos x-sin x=1, 求(cos2013x+sin2013x)2; 1-sin6x-cos6x 3 (2)证明: 4 4 = . 1-sin x-cos x 2

分析:遇到条件 cos x-sin x=1,可运用平方法, 求得 sin xcos x,代入求解. 解析:(1)由 cos x-sin x=1,可得 1-2sin xcos x=1, 则 sin xcos x=0,即 sin x=0 或 cos x=0. 当 sin x=0 时,cos x=1+sin x=1, 得(cos2013x+sin2013x)2=1; 当 cos x=0 时,sin x=cos x-1=-1, 得(cos2013x+sin2013x)2=1. 综上可知,(cos2013x+sin2013x)2=1.

(2)证明:因为 sin2x+cos2x=1, 所以 1=(sin2x+cos2x)3,1=(sin2x+cos2x)2, 1-sin6x-cos6x 1-sin4x-cos4x ?sin2x+cos2x?3-sin6x-cos6x = ?sin2x+cos2x?2-sin4x-cos4x 3sin4xcos2x+3cos4xsin2x = 2sin2xcos2x 3?sin2x+cos2x? = 2 3 = . 2

5π 1 1.(2013· 广东卷)已知 sin( +α)= ,那么 cos α=( C ) 2 5 2 A.- 5 1 C. 5 1 B.- 5 2 D. 5

5π π 1 解析:sin( +α)=sin( +α)=cos α= ,故选 C. 2 2 5

2.(2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π), 则 tan α=( A ) A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.1

解析:由 sin α-cos α= 2,得 1-2sin αcos α=2, 1 所以 sin αcos α=- , 2 sin αcos α 1 tan α 1 所以 2 =- , 2 =- ,所以 2 2 2 sin α+cos α tan α+1 所以 tan α=-1.

3.(2013· 全国新课标卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角, π 1 若 tan(θ+ )= ,则 sin θ+cos θ= 4 2 .

tan θ+1 1 π 1 解析:(方法一)因为 tan(θ+ )= ,即 = . 4 2 1-tan θ 2 1 所以 tan θ=- ,所以 cos θ=-3sin θ,① 3 又 sin2θ+cos2θ=1,② 且 θ 是第二象限角,③ -3 10 10 由①②③得 sin θ= ,cos θ= , 10 10 10 所以 sin θ+cos θ=- . 5

π 1 1 (方法二)由 tan (θ+ )= ,得 tan θ=- , 4 2 3 cos θ 1 9 所以 cos θ= 2 = . 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1 10
2

3 10 2 10 又 θ 是第二象限角,所以 cos θ=- ,sin θ= , 10 10 10 所以 sin θ+cos θ=- . 5

π π 3 7 4.(2012· 山东卷)若 θ∈[ , ], sin 2θ= , 则 sin θ=( D ) 4 2 8 3 A. 5 7 C. 4 4 B. 5 3 D. 4

π π 3 7 解析:(方法一)因为 θ∈[ , ],sin 2θ= , 4 2 8 所以 cos 2θ=- 3 解之得 sin θ= . 4
? 3 7 ?2sin θcos θ= 8 (方法二)联立? ? 2 2 ?sin θ+cos θ=1

3 72 1-? ? =1-2sin2θ, 8



3 解之得 sin θ= . 4


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