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河南省实验中学2015届高三上学期期中考试数学理试题


河南省实验中学 2014——2015 学年上期期中试卷 数学理
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? {x | x | ? 2, x ? R } , B ? {x | A.(0,2) B.[0,2] 【知识点】集合及其运算 A1 故选 D. 【思路点拨】先求出 A

,B 再求结果。 2.记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? ( A.

【题文】5.设 {an }(n ? N ? ) 是等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S5 ? S 6 , S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列 结论错误的是( A. d ? 0 ) B. a 7 ? 0 C. S9 ? S5 D. S6 和 S7 均为 Sn 的最大值

x ? 4, x ? Z} ,则 A ? B ? (
D.{0,1,2}

)

C.(0,2]

【答案解析】D A={ x ?2 ? x ? 2 },B={ x 0 ? x ? 16, x ? z },则 A ? B ? {0,1,2}

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案解析】C 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+…+a5<a1+a2++a5+a6,即 a6>0, 又∵S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故 B 正确; 同理由 S7>S8,得 a8<0, ∵d=a7-a6<0,故 A 正确;而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0,可得 2(a7+a8)>0,由结论 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的.∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6 与 S7 均为 Sn 的最大值,故 D 正确;故选 C. 【思路点拨】利用结论:n≥2 时,an=sn-sn-1,易推出 a6>0,a7=0,a8<0,然后逐一分析各选项, 排除错误答案. 【题文】6.在△ABC 中, a ? 2, A ? 45? ,若此三角形有两解,则 b 的范围为( ) A. 2 ? b ? 2 2 B.b > 2 C.b<2 D. 1 ? b ? 2 2

) C.

1? k k

2

B.-

1? k k

2

k 1? k2

D.-

k 1? k2

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2 【答案解析】B ∵sin80° =

【知识点】解三角形 C8 【答案解析】A ∵在△ABC 中,a=2,A=45° ,且此三角形有两解,

1 ? cos 2 80? ? 1 ? cos 2 ( ?80? ) =

1? k 2 ,

∴由正弦定理

a b ? =2 2 ,∴b=2 2 sinA,B+C=180° -45° =135° , sin A sin B

所以 tan100° =-tan80° =-

sin 80? 1? k 2 sin 80? ? =.故答案为:B. cos80? k cos(?80? )

【思路点拨】 先利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式求 sin80° , 然后化切为弦, 求解即可. 3.已知集合 A ? {1, 2,3, 4}, B ? {a, b, c} , f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,那么该函数 的值域 C 的不同情况有( ) A.7 种 B.4 种 C.8 种 D.12 种 【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】A 值域 C 可能为:只含有一个元素时,{a},{b},{c}3 种; 有两个元素时,{a,b},{a,c},{b,c}3 种;有三个元素时,{a,b,c}1 种; ∴值域 C 的不同情况有 3+3+1=7 种.故选 A. 【思路点拨】值域 C 只可能是集合 B 的真子集,求出 B 的真子集的个数即可. 4.设向量 a ? ?1,?2? ,向量 b ? ?? 3,4? ,向量 c ? ?3,2? ,则向量 a ? 2b ? c ? ( A. (-15,12) B.0 C.-3 D.-11 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3

由 B 有两个值,得到这两个值互补, 若 B≤45°,则和 B 互补的角大于等于 135° ,这样 A+B≥180°,不成立; ∴45° <B<135° ,又若 B=90,这样补角也是 90° ,一解, ∴

2 <sinB<1,b=2 2 sinB,则 2<b<2 2 ,故选:A. 2

【思路点拨】利用正弦定理列出关系式,把 a,sinA 的值代入,表示出 b,B+C,根据 B 为两值, 得到两个值互补,确定出 B 的范围,进而求出 sinB 的范围,即可确定出 b 的范围.

?? ? 【题文】 7.已知函数 y ? 3 sin ?x (? ? 0) 的周期是 ? , 将函数 y ? 3 cos? ?x ? ? (? ? 0) 的图象沿 x 轴 2? ?
向右平移

?
8

?

?

个单位,得到函数 y ? f ?x ? 的图象,则函数 f ? x ? ? (

) D. ?3sin ? 2 x ?



A. 3sin ? 2 x ?

? ?

??
? 8?

B. 3sin ? 2 x ?

? ?

??
? 4?

C. ?3sin ? 2 x ?

? ?

??
? 8?

? ?

??
? 4?

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案解析】B ∵函数 y=3sinωx(ω>0)的周期是

【答案解析】C 依题意:∵ a =(1,-2) , b =(-3,4) , a +2 b =(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6) ∵ c =(3,2) ,∴( a +2 b )? c =(-5,6)?(3,2)=-5×3+6×2=-3 故答案为 C 【思路点拨】利用向量的坐标运算求出相应向量的坐标,在进行数量积的运算. 将函数 y=3cos(ωx-

? ) (ω>0)的图象沿 x 轴向右平移 个单位, 2 8

? =π,∴ω=2. ? ?
-1-

得到函数 y=f(x)=3cos[2(x-

? ? ? ? ? )- ]=3cos(2x- - )=3sin(2x- )的图象故选 B. 8 2 4 2 4

【答案解析】B

由 题 意 知 (OB ? OC) ? (OB ? OC -2 OA )= CB( AB ? AC) ? 0 , 如 图 所 示

【思路点拨】由条件根据诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得结论. 【题文】8.设△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,sinA 、sinB、 sinC 成等比数列,则这个三角 形的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形 C8 【答案解析】D ∵△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列∴∠B=60° ,∠A+∠C=120° ①; 又 sinA、sinB、sinC 成等比数列,∴sin2B=sinA?sinC=

3 ,② 4

1 3 由 ① ② 得 : sinA?sin ( 120° -A ) =sinA? ( sin120° cosA-cos120° sinA ) = sin2A+ ? 2 4 1 ? cos 2 A 1 1 1 1 3 3 = sin2A- cos2A+ = sin(2A-30° )+ = ,∴sin(2A-30° )=1, 2 4 4 2 4 4 4
又 0° <∠A<120° ∴∠A=60° .故选 D. 【思路点拨】先由△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,求得∠B=60° ,∠A+∠C=120° ①;再 2 由 sinA、sinB、sinC 成等比数列,得 sin B=sinA?sinC,②,①②结合即可判断这个三角形的形状. 【题文】9.函数 y ? ln cos x ? ? y

其中 AB ? AC ? 2 AD (点 D 为线段 BC 的中点) ,所以 AD⊥BC,即 AD 是 BC 的中垂线, 所以 AB=AC,即△ABC 为等腰三角形.故答案为“B. 【思路点拨】首先把 2 OA 拆开分别与 OB, OC 组合,再由向量加减运算即可整理,然后根据 ,并结合图形得出结论. AB ? AC ? 2 AD (点 D 为线段 BC 的中点)

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2
y

) y O y

? ?) 内单调递增,q: m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 【题文】11.设 p: f ( x) ? e x ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0, ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】导数的应用 B12
【答案解析】B 由题意得 f′(x)=ex+

1 +4x+m, x

π ? 2

O A.

π x π ? 2 2

O B.

π x π ? 2 2

π x π ? 2 2

O

π x 2

∵f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1 在(0,+∞)内单调递增,∴f′(x)≥0,

C.

D.

【知识点】函数的图像 B8 【答案解析】A ∵令 f(x)=lncosxf(-x)=lncos(-x)=lncosx=f(x) , 所以 f(x)是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,当 x=60° 时,y=lncos60° =ln

1 <0,故选 A. 2

1 1 1 1 +4x+m≥0 在定义域内恒成立,由于 +4x≥4,当且仅当 =4x 即 x= 时等号成立, x x x 2 1 1 故对任意的 x∈(0,+∞) ,必有 ex+ +4x>5∴m≥-ex- -4x 不能得出 m≥-5 x x 1 但当 m≥-5 时,必有 ex+ +4x+m≥0 成立,即 f′(x)≥0 在 x∈(0,+∞)上成立 x
ex+ ∴p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件,即 p 是 q 的必要不充分条件故选 B. 【思路点拨】首先求出函数的导数,然后根据导数与函数单调性的关系求出 m 的范围. 【题文】12.已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 :y=

【思路点拨】利用偶函数的定义判断出函数是偶函数,据偶函数的图象关于 y 轴对称排除选项 B, D;令 x=60° 时函数值小于 0 得到选项. 【 题 文 】 10.O 为 平 面 上 的 一 个 定 点 , A 、 B 、 C 是 该 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 若
(OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则△ABC 是(

8 (m>0), l1 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相 2m ? 1

) B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

交于点 A,B, l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于 C,D.记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度 分别为 a,b,当 m 变化时,

A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3

b 的最小值为( a

)来源%&:中国~教育#出版]

A.16 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 8 2 【知识点】函数与方程 B9 【答案解析】D 设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD,
-2-

则-log2xA=m,log2xB=m;-log2xC= ∴xA=2 ,xB=2 ,xC= 2
-m m
? 8 2 m ?1

8 8 ,log2xD= ; 2m ? 1 2m ? 1
8 2 m ?1

∵ pOA ? qOB ? rOC ? 0 ∴P=λ-1,q=1,r=-λ∴p+q+r=0 故选 B 【思路点拨】将三个点共线转化为两个向量共线,利用向量共线的充要条件列出方程,利用向量的 运算法则将方程的向量用以 O 为起点的向量表示,求出 p,q,r 的值,进一步求出它们的和. 【题文】15 设 x、 a 1 、 a 2 、y 成等差数列,x、 b1 、 b 2 、y 成等比数列,则
(a1 ? a 2 ) 2 的取值范围 b1b2

,xD= 2



∴a=|xA-xC|,b=|xB-xD|,
8 8 m? b xB ? xD 2 m ? 2 2 m ?1 m 2 m ?1 2 m ?1 + 2 2 ∴ = =| |=2 ? = . 8 ? a xA ? xC ?m 2 m ?1 2 ?2

8

是 . 【知识点】等差数列等比数列 D3 D4 【答案解析】[4,+∞)或(-∞,0] ∴
(a1 ? a 2 ) 2 ( x ? y ) = = b1b2 xy
2

在等差数列中,a1+a2=x+y;在等比数列中,xy=b1?b2.

又 m>0,∴m+

8 2m?1

1 1 1 1 7 3 1 8 = (2m+1)+ 2m?1 - ≥2 ? 8 - - = (当且仅当 m= 时取“=”) 2 2 2 2 2 2 2

x 2 ? 2 xy ? y 2 x y = + +2. . y x xy



7 b ≥ 2 2 =8 2 .故选 D. a

当 x?y>0 时,

x y x y (a ? a ) 2 (a ? a ) 2 + ≥2,故 1 2 ≥4;当 x?y<0 时, + ≤-2,故 1 2 ≤0. b1b2 b1b2 y x y x

【思路点拨】设 A,B,C,D 各点的横坐标分别为 xA,xB,xC,xD,依题意可求得为 xA,xB,xC, xD 的值,a=|xA-xC|,b=|xB-xD|,利用基本不等式可求得当 m 变化时,

故答案为:[4,+∞)或(-∞,0] 【思路点拨】由题意可知
(a1 ? a 2 ) 2 ( x ? y ) = = b1b2 xy
2

b 的最小值. a

【题文】二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分) . 【题文】13.计算

x 2 ? 2 xy ? y 2 x y = + +2. y x xy

?

?1

?3

1 ? ( x ? 2) 2 =



【知识点】定积分与微积分基本定理 B13 【答案解析】

由此可知

(a1 ? a 2 ) 2 的取值范围. b1b2

? 2

因为被积函数表示以(-2,0)为圆心,1 为半径的半圆,所以

?

?1 ?3

1 ? ( x ? 2) 2

2 表示圆 (x+2) +y2=1 与 x 轴围成的上半圆的面积, 所以

?

?1 ?3

1 ? ( x ? 2) 2 =

? . 2

1 ? π×1 2 = ; 故答案为: 2 2

【题文】16.已知函数 f ( x) ? ?

?ax ? 1,( x ? 0) ,若函数 y=f(f(x))+1 有 4 个不同的零点,则实数 a ?log2 x,( x ? 0)

【思路点拨】因为被积函数表示以(-2,0)为圆心,1 为半径的半圆,所以 表示(x+2) +y =1 与 x 轴围成的上半圆的面积.
2 2

?

的取值范围是 . 【知识点】函数与方程 B9 【答案解析】 (0,+∞) 函数 y=f(f(x) )+1 的零点, 即方程 f[f(x)]=-1 的解个数, (1)当 a=0 时,f(x)= ?

?1 ?3

1 ? ( x ? 2) 2

【题文】14.已知 A,B,C 三点在同一条直线 l 上,O 为直线 l 外一点,若 pOA ? qOB ? rOC ? 0 ,其 中 p,q,r ? R,则 p ? q ? r ? . 【知识点】平面向量基本定理 F2 【答案解析】0 ∵A、B、C 三点在同一条直线 l 上∴存 在 实 数 λ 使 AB ? ? AC ∴ OB ? OA ? ? (OC ? OA) 即 (λ -1) OA + OB - λ OC = 0

? 1, x ? 0 , ?log 2 x, x ? 0

-3-



1 1 <x≤0 时,0<f(x)≤1,∴f(f(x) )=-1 有 1 解,当 x≤ - 时,f(x)<0, a a

∴f(f(x) )=-1 有 1 解,故,f(f(x) )=-1 有 4 解, (3)当 a<0 时,

当 x>1 时,x= 2 ,f(f(x) )=-1 成立,∴方程 f[f(x)]=-1 有 1 解 当 0<x<1,log2x<0,∴方程 f[f(x)]=-1 无解, 当 x≤0 时,f(x)=1,f(f(x) )=0,∴,∴f(f(x) )=-1 有 1 解,故 a=0 不符合题意, (2)当 a>0 时, 当 x>1 时,x=

1 ,f(f(x) )=-1 成立,∴f(f(x) )=-1 有 1 解, a

当 0<x≤1 时,f(x)≤0.f(f(x) )=-1,成立∴f(f(x) )=-1 有 1 解, 当 x≤0 时,f(x)≥1,f(f(x) )=-1,成立∴f(f(x) )=-1 有 1 解, 故 f(f(x) )=-1 有 3 解,不符合题意,综上;a>0 故答案为: (0,+∞) 【思路点拨】函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数,即为方程 f[f(x)]=-1 的解的个数,结合函数 f(x) 图象,分类讨论判断,求解方程可得答案. 【题文】三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 70 分). 【题文】 17.( 本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? lg

q : 5 ? A ,若 p ? q 真, p ? q 假,求实数 a 的取值范围.
【知识点】基本逻辑联结词及量词 A3

ax ? 5 的定义域为 A ,命题 p : 3 ? A 与命题 x2 ? a

,? 【答案解析】 a ? ?1
当 x>1 时,x= 2 ,f(f(x) )=-1 成立,当 0<x<1,log2x<0,∴方程 f[f(x)]=-1 有 1 解,

? 5? ? 3?

25 ? ?9,

? ax ? 5 ? A ? ?x | 2 ? 0? . ? x ?a ?
-4-

若 3 ? A ,则

3a ? 5 5 ? 0 ,即 ? a ? 9 ; 9?a 3

若 5 ? A ,则

5a ? 5 ? 0 ,即 1 ? a ? 25 . 25 ? a

∴ S?ABC ?

?5 ? ? a ? 9, 若 p 真 q 假,则 ? 3 a 无解; ? ?a ≤1或a ≥ 25, 5 ? 5 ?a ≤ 或a ≥ 9, 若 p 假 q 真,则 ? 解得 1 ? a ≤ 或 9 ≤ a ? 25 . 3 3 ? ?1 ? a ? 25,
? 5? 综上, a ? ?1 ,? ? 3? 25 ? . ?9,

1 3 bcsin A ? 2 2

【思路点拨】根据三角函数的周期性求出参数范围,根据余弦定理求出边再求面积。

( x 2 ? 1) cos? ? x(cos? ? 5) ? 3 【题文】19.(本小题满分 12 分)若对任意 x∈R,不等式 >sinθ x2 ? x ?1
-1 恒成立,求θ 的取值范围. 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】 (2kπ -

3? ? ,2kπ + ) k∈Z 4 4
2

原不等式变形为:(cosθ -sinθ +1)x -(cosθ -sinθ -4)x+cosθ -sinθ +4>0 令 t=cosθ -sinθ 得:(t+1)x -(t-4)x+t+4>0? ?
2

?t ? 1 ? 0
2 ?(t ? 4) ? 4(t ? 1)(t ? 4) ? 0

?t ?0

【思路点拨】根据逻辑联结词的关系以及定义域求出参数的范围。
? ? ?

【题文】 18.( 本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? m? n ,其中 m ? sin ?x ? cos?x, 3 cos?x ,
?

?

n ? ?cos?x ? sin ?x,2 sin ?x ? ,且 ? ? 0 ,若 f ?x ? 相邻两对称轴间的距离不小于
(1)求 ? 的取值范围. 大时, f ? A? ? 1,求 ?ABC 的面积.

? 。 2

?

∴cosθ -sinθ >0 ? cosθ >sinθ ? 2kπ 所以 ? 得范围是(2kπ -

3? ? ,2kπ + ) k∈Z 4 4

3? ? <θ <2kπ + 4 4

k∈Z

(2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 3 , b ? c ? 3 ,当 ? 最 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】 (1) 0 ? ? ? 1 (2)

【思路点拨】根据三角函数的性质求出参数范围 【题文】 20.( 本小题满分 12 分)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为

f '( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 整数 m. 【知识点】数列求和 D4 【答案解析】 (Ⅰ)an=6n-5 ( n ? N ) (Ⅱ)10 (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) , 则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x -2x.
? 又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2 2 2

3 2

f ?x? ? ?sin ?x ? cos?x? ? ?cos?x ? sin ?x? ? 2 3 sin ?x ? cos?x

?? ? ? 3 sin 2?x ? cos2?x ? 2 sin ? 2?x ? ? 6? ? ? ? k? ? k?z ? 对称轴为 2?x ? ? k? ? , k ? z ∴x ? 6 2 2? 6? 2? ?? (1)由 T ? ? 得 得0 ? ? ? 1 2? ?? ? (2)由(1)知 ? ? 1 ∴ f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? ? ? ?? ? ∵ f ? A? ? 1 ∴ 2 sin ? 2 A ? ? ? 1 ∵ A ? ?0,? ? ∴A? 3 6? ? 2 2 2 b ?c ?a 1 9 ? 2bc ? 3 ? bc ? 2 由 cos A ? 得 ? 2 2bc 2bc

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正 20 a n a n ?1

?

-5-

x

1 (0, ) p
+ 递增

1 p
0 极大值 -

1 ( , ??) p

当 n≥2 时, an=Sn 2 - Sn - 1 = ( 3n - 2n ) -

f / ( x)
[来 f ( x) 源。科。 Z。X -5 ( n ? N )
?

?( 3 n ? 1)
递减

2

? 2(n ? 1)

?

=6n-5. 当 n=1 时, a1=S1 2 =3×1 -2=6×1 -5, 所以, an=6n 从上表可以看出:当 p>0 时,f(x)有唯一极大值点 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

1 . p

(2)由(1)可知,当 p>0 时,f(x)在 x ?

1 1 1 处却极大值 f ( ) ? ln ,此极大值也是最大值。要使 p p p

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

f(x) ? 0 恒成立,只需 f ( ) ? ln

1 p

1 ? 0.解得 p ? 1 ,故 p 的取值范围为 [1, ??) 。 p

因此,要使

1 1 m 1 m ? (1- )< ( n ? N )成立的 m,当且仅当 ≤ , 2 2 20 6n ? 1 20

(3)令 p=1,由(2)可知,lnx-x+1 ? 0,即 lnx ? x-1.( n ? 2, n ? N )

即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 【思路点拨】根据数列求和公式求出通项公式,再根据裂项求和求出 m 的最小值。 【题文】21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 (1)求函数 f ( x ) 的极值点; (2)当 p ? 0 时,若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围;

ln n2 ? n2 ? 1 ?

ln n2 n2 ? 1 ln 22 ln 32 ? 2 ? 2 ? 2 ? n2 n 2 3

?

ln n 2 1 1 ? 1? 2 ?1? 2 ? 2 n 2 3

?1?

1 n2

= (n ? 1) ? (

ln 22 ln 32 ln 42 ln n2 2n2 ? n ?1 (3)证明: 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? (n ? N , n ? 2) 2 3 4 n 2(n ? 1)
【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 (1)极大值点 x ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ) ? (n ? 1) ? ( ? ? ??? ? ) 2 2 3 n 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ??? ? ? ) ? (n ? 1) ? ( ? )? . 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 2(n ? 1)

= (n ? 1) ? ( ?

1 .(2) [1, ??) (3)略 p

(1)∵ f ( x) ? ln x ? px ? 1 ,∴ f ( x) 的定义域为 (0, ??)

f / ( x) ?

1 1 ? px / ?p? ,当 p ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上无极值点. x x
'

当 p ? 0时 ,令 f ( x) ? 0,? x ?

1 ? (0, ??), f ' ( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下表: p

【思路点拨】根据导数的单调性求出极值,再根据求和证明结果。 【题文】请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清楚题号. 【题文】22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

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?x ? 2 cos ? ? ?2 ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2

从而 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?

(2)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案解析】答案略 射线 ? ?

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . 3 3

射线 ? ?

【思路点拨】根据等量关系求出参数方程,根据极坐标求出长度。 【题文】24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 , (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; 证明: (1)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E; (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE 为等边三角形 【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出,证明三角相等证明等边三角形。 【题文】23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数 (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围. 【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4 【答案解析】 (1){x x ? 1或x ? 4 }(2)- 3 ? a ? 0 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

? x ? 2cos ? 方程为: ? ( ? 为参数) ,M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 ? y ? 2 ? 2sin ?
C2.
(1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3 【答案解析】 (1) ?

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? 或? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ?1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A,

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0
【思路点拨】利用零点分段求出解集,求出最值求出参数 a。

? x ? 4cos ? (2)2 3 ? y ? 4 ? 4sin ?
x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

(1)设 P(x,y),则由条件知 M(

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