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高中数学复习学(教)案(第40讲)简单的线性规划及实际应用

时间:2012-12-08


题目 第七章直线和圆的方程 简单的线性规划及实际应用 高考要求 1 了解二元一次不等式表示平面区域 2 了解线性规划的意义 并会简单的应用 知识点归纳 1 二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中,已知直线 Ax+By+C=0,坐标平面内的点 P(x0,y0)
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B>0 时,①Ax0+By0+C>0,则点 P(x0,y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C <0,则点 P(x0,y0)在直线的下方 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0) ,无论 B 为正值还是 负值,我们都可以把 y 项的系数变形为正数 当 B>0 时,①Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域;② Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 2 线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线 性规划问题 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合 叫做可行域(类似函数的定义域) ;使目标函数取得最大值或最小值的可行 解叫做最优解 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y) ; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) ; (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数) ; (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的 位置,以确定最优解,给出答案 题型讲解 例 1 求不等式|x-1|+|y-1|≤2 表示的平面区域的面积 分析:依据条件画出所表达的区域,再根据区域的特点求其面积 解:|x-1|+|y-1|≤2 可化为
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?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? ? ? 或?y ?1 或?y ?1 或?y ?1 ?y ?1 ? x ? y ? 4 ? x ? y ? 2 ?? x ? y ? 2 ? x ? y ? 0 ? ? ? ?
其平面区域如图
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∴面积 S=

1 ×4×4=8 2

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点评:画平面区域时作图要尽量准确,要注意边界 例 2 某人上午 7 时,乘摩托艇以匀速 v n mile/h(4≤v≤20)从 A 港 出发到距 50 n mile 的 B 港去,然后乘汽车以匀速 w km/h(30≤w≤100)自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去 应该在同一天下午 4 至 9 点到达 C 市 设乘汽车、 摩托艇去所需要的时间分别是 x h、y h (1)作图表示满足上述条件的 x、y 范围; (2)如果已知所需的经费 p=100+3×(5-x)+2×(8-y) (元) , 那么 v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元? 分析:由 p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影响花费的是 3x+2y 的 取值范围
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解: (1)依题意得 v=

50 300 ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100 y x
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∴3≤x≤10,

5 25 ≤y≤ 2 2

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y

由于乘汽车、 摩托艇所需的时间和 x+y 应在 14 9 至 14 个小时之间, 9 即 9≤x+y≤14 ② 因此,满足①②的点(x,y)的存在范围是 2.5 图中阴影部分(包括边界) 3 9 10 14 o (2)∵p=100+3· (5-x)+2· (8-y) , ∴3x+2y=131-p 设 131-p=k,那么当 k 最大时,p 最小 在通过图中的阴影部分区域(包括
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x

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边界)且斜率为-

3 的直线 3x+2y=k 中,使 k 值最大的直线必通过点(10,4) , 2
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即当 x=10,y=4 时,p 最小 此时,v=12 5,w=30,p 的最小值为 93 元 点评:线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式 然后分析要求量的几何意义 例 3 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车, 9 名驾驶员 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂 已知甲 有 型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往返 8 次 甲型卡车每辆 每天的成本费为 252 元,乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元 问每天派出 甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低? 分析:弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它
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们的约束条件,列出目标函数,用图解法求其整数最优解 解:设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆,车队所花成本费为 z 元,那 么
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?x ? y ? 9 ?10 ? 6 x ? 6 ? 8 y ? 360 ? ? ? x ? 4, x ? N ? y ? 7, y ? N ?

y

7 5x+4y=30

z=252x+160y, 作出不等式组所表示的平面区域, 即可行域,如图 x+y=9 作出直线 l0:252x+160y=0,把直线 l o x 4 向右上方平移,使其经过可行域上的整 点, 且使在 y 轴上的截距最小 观察图形, 可见当直线 252x+160y=t 经过点(2,5)时,满足上述要求 此时,z=252x+160y 取得最小值,即 x=2,y=5 时,zmin=252×2+160× 5=1304 答:每天派出甲型车 2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低 点评:用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度 要求较高,平行直线系 f(x,y)=t 的斜率要画准,可行域内的整点要找准, 最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点
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例 4 设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x, y 满足条件
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?4 ? x ? y ? 6 ? ?2 ? x ? y ? 4

求 z 的最大值和最小值 解:由已知,变量 x, y 满足的每个不等式都表示一个平面区域,因此①所表
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示的区域为如图中的四边形 ABCD

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? 当 z ? 2 x ? y 过点 C 时, z 取最小值,当 z ? 2 x ? y
过点 A 时, z 取最大值
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即当 x ? 3, y ? 1时, zmin ? 7 , 当 x ? 5, y ? 1时, zmax ? 11
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例 5 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付 3000 元的 固定费用,它生产 1 千克糖果的成本是 10 元,而销售价是每千克 15 元,试 问:每天应生产并销售多少糖果,才能使收支平衡,即它的盈亏平衡点是多 少?

解:设生产 x 千克的糖果的成本函数为 y( x) ? 3000 ? 10 x ,销售 x 千 克的糖果的收益函数为 R( x) ? 15x ,在同一坐标系中画出它们的图像,交 点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量, 令 y( x) ? R( x) ,得 3000 ? 10 x ? 15x得x ? 600. , 即每天必须生产并销售 600 千克糖果, 这条流水线才能做到盈亏平衡, 从图 中可以看出,当 x ? 600 时, R( x) ? y ( x) ,表示有盈利,反之则表示亏本
2
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例 6 某人有楼房一幢,室内面积共 180m ,拟分隔成两类房间作为旅 游客房,大房间每间面积为 18,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元,小房间每间面积为 15,可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元, 装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需要 600 元,如果他们只能 筹 8000 元用于装修,且游客能住满客房,它应隔出大房间和小房间各多少 间,能获最大利益? 解:设应隔出大房间 x 间和小房间 y 间,则

18x ? 15 y ? 180 且 1000 x ? 600 y ? 8000 , x, y ? N

y
目标函数为 z ? 5 ? 40 x ? 3 ? 50 y , 作出约束条件可行域: 根据目标函数 z ? 200 x ? 150 y , 作出一组平行线 200 x ? 150 y ? t 当此线经过直线 18 x ? 15 y ? 180 和直线 1000 x ? 600 y ? 8000 的交点 C ( 此直线方程为 200 x ? 150 y ? 由于 (
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5

20 60 , ), 7 7

o

5

x

13000 , 7

20 60 , ) 不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是他们的最优解, 7 7
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同时经过整点(0,12)也是最优解 即应隔大房间 3 间,小房间 8 间,或者隔大房间 0 间,小房间 12 间,所获 利益最大 如果考虑到不同客人的需要,应隔大房间 3 间,小房间 8 间
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小结: 简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛,主要解决的问题是: 在资源的限制下, 如何使用资源来完成最多的生产任务; 或是给定一项任务, 如何合理安排和规划,能以最少的资源来完成 如常见的任务安排问题、配 料问题、下料问题、布局问题、库存问题,通常解法是将实际问题转化为数 学模型,归结为线性规划,使用图解法解决 图解法解决线性规划问题时,根据约束条件画出可行域是关键的一步 一般地, 可行域可以是封闭的多边形, 也可以是一侧开放的非封闭平面区域 第二是画好线性目标函数对应的平行直线系,特别是其斜率与可行域边界 直线斜率的大小关系要判断准确 通常最优解在可行域的顶点(即边界线的 交点)处取得,但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值 它应是目标函数 所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标 学生练习 1 下列命题中正确的是 A 点(0,0)在区域 x+y≥0 内 B 点(0,0)在区域 x+y+1<0 内 C 点(1,0)在区域 y>2x 内 D 点(0,1)在区域 x-y+1>0 内 解析:将(0,0)代入 x+y≥0,成立 答案:A 2 2 2 设动点坐标(x,y)满足(x-y+1) x+y-4)≥0,x≥3,则 x +y 的最小 ( 值为
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A

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5

B 10
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C

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17 2
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D 10
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解析:数形结合可知当 x=3,y=1 时,x2+y2 的最小值为 10 答案:D 3 不等式组 2x-y+1≥0,x-2y-1≤0, x+y≤1 表示的平面区域为 A 在第一象限内的一个无界区域 B 等腰三角形及其内部 C 不包含第一象限内的点的一个有界区域 D 正三角形及其内部 答案:B 4 点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是______ 解析: (-2,t)在 2x-3y+6=0 的上方,则 2×(-2)-3t+6<0,解得 t
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2 2 答案:t> 3 3
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? x ? 0, ? 5 不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
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数的点)共有____________个 解析: (1,1)(1,2)(2,1) , , ,共 3 个 答案:3
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6 (x-1)2+(y-1)2=1 是|x-1|+|y-1|≤1 的__________条件 A 充分而不必要 B 必要而不充分 C 充分且必要 D 既不充分也不必要 答案:B 7(x+2y+1) (x-y+4)≤0 表示的平面区域为
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A B C D 答案:B 8 画出以 A(3,-1) 、B(-1,1) 、C(1,3)为顶点的△ABC 的区域 (包括各边) ,写出该区域所表示的二元一次不等式组,并求以该区域为可 行域的目标函数 z=3x-2y 的最大值和最小值 分析:本例含三个问题:①画指定区域;②写所画区域的代数表达式— —不等式组;③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值 解:如图,连结点 A、B、C,则直线 AB、BC、CA 所围成的区域为所 求△ABC 区域 直线 AB 的方程为 x+2y-1=0,BC 及 CA 的直线方程分别为 x-y+2=0, 2x+y-5=0 在△ABC 内取一点 P(1,1) , 分别代入 x+2y-1,x-y+2,2x+y-5 得 x+2y-1>0,x-y+2>0,2x+y-5<0 因此所求区域的不等式组为 x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0 作平行于直线 3x-2y=0 的直线系 3x-2y=t(t 为参数) ,即平移直线
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y=

3 3 1 1 x,观察图形可知:当直线 y= x- t 过 A(3,-1)时,纵截距- t 2 2 2 2
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最小 此时 t 最大,tmax=3×3-2×
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(-1)=11;

当直线 y=

3 1 1 x- t 经过点 B(-1,1)时,纵截距- t 最大,此时 t 2 2 2
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有最小值为 tmin= 3×(-1)-2×1=-5 因此,函数 z=3x-2y 在约束条件 x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0 下的最大值为 11,最小值为-5 9 某校伙食长期以面粉和大米为主食, 面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位, 含淀粉 4 个单位,售价 0 5 元,米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7
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个单位,售价 0 4 元,学校要求给学生配制盒饭,每盒盒饭至少有 8 个单位 的蛋白质和 10 个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少? 解:设每盒盒饭需要面食 x(百克) ,米食 y(百 克) , 所需费用为 S=0 5x+0 4y,且 x、y 满足 6x+3y≥8,4x+7y≥10,x≥0,y≥0,
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由图可知,直线 y=- 时,纵截距

5 5 13 14 x+ S 过 A( , ) 4 2 15 15
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5 S 最小,即 S 最小 2 13 14 故每盒盒饭为面食 百克,米食 百克时既科学又费用最少 15 15
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10 配制 A、B 两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂 A 种药需甲 料 3 mg, 乙料 5 mg; 配一剂 B 种药需甲料 5 mg, 乙料 4 mg 今有甲料 20 mg, 乙料 25 mg,若 A、B 两种药至少各配一剂,问共有多少种配制方法? 解:设 A、B 两种药分别配 x、y 剂(x、y∈N) ,则 x≥1,y≥1,3x+5y≤20,5x+4y≤25 上述不等式组的解集是以直线 x=1, y=1, 3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界 所围成的区域,这个区域内的整点为(1,1)(1,2) (1,3) (2,1) 、 、 、 、 (2,2)(3,1)(3,2)(4,1) 所以,在至少各配一剂的情况下,共 、 、 、 有 8 种不同的配制方法. 11 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两 种产品的市场需求量非常大, 有多少就能销售多少, 因此该公司要根据实际 情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大 已 知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力, 通过调查, 得到关于这 两种产品的有关数据如下表:
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资 成

金 本

单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8

月资金供应量(百 元) 300 110

劳动力(工资) 单位利润

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利 润是多少? 解: 设空调机、 洗衣机的月供应量分别是 x、 台, y 总利润是 P,则 P=6x+8y,由题意有 30x+20y≤300,5x+10y≤110,x≥0,y≥0,x、y 均为 整数
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由图知直线 y=-

3 1 x+ P 过 M(4,9)时,纵截距最大 这时 P 也取最 4 8
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大值 Pmax=6×4+8×9=96(百元) 故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元 12 实系数方程 f(x)=x2+ax+2b=0 的一个根在 (0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:
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b?2 的值域; a ?1 2 2 (2) a-1) +(b-2) 的值域; ( (3)a+b-3 的值域
(1)
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解:由题意知 f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0 ? b>0,a+b+1<0,a+b+2>0 如图所示 A(-3,1) 、B(-2,0) 、C(-1,0)
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又由所要求的量的几何意义知, 值域分别为 (1) ( (3) (-5,-4) 课前后备注
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1 , ; (8, ; 1) (2) 17) 4

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