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指对幂函数复习


高一数学同步巩固提升系列课程

第3讲 指对幂函数整合

新学期同步提升系列课程
《赢在起跑线上》高一数学

积累必备“行囊” 热点分类“破茧”

能力成绩“齐飞”
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新学期同步提升系列课程
《赢在起跑线上》高一数学

>指数与指数函数
飞羽数学

知识梳理
1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)根式:
根式的概念
n=a x 如果____,那么x叫做a的n次方根

符号表示

备注 n>1且n∈N*

当n为奇数时,正数的n次方根是一个 正数 负数的n次方根是一个_____ 负数 _____, 当n为偶数时,正数的n次方根有 两个 它们互为_______ 相反数 _____,

n

a

零的n次方根是零
负数没有偶次方根

?n a

(a>0)

知识梳理
(2)两个重要公式: a 为奇数, __,n a ① n an ? __,a≥0, |a| n为偶数. ____= -a,a<0, (3)有理数指数幂的运算性质: n n a ②( a ) =__. ar+s ①ar·as=____(a>0,r,s∈Q); ars ②(ar)s=___(a>0,r,s∈Q);

a rb r ③(ab)r=____(a>0,b>0,r∈Q).

知识梳理
(4)分数指数幂:
n m *,n>1); ①正分数指数幂: a =_____(a>0,m,n∈N a
m n

1

②负分数指数幂: a

m ? n

*,n>1); n m =______(a>0,m,n∈N a

0 的负分数指数幂_______. 无意义 ③0的正分数指数幂是__,0

知识梳理
(5)指数函数的图象与性质: 函数 0<a<1 y=ax(a>0,且a≠1) a>1

图象

上方 过定点______ (0,1) 在x轴_____,
图象特征 当x逐渐增大时,图象逐渐 下降 当x逐渐增大时,图象逐渐 上升

知识梳理
(6)记忆口诀:指数函数记忆口诀

多个图形像束花,(0,1)这点把它扎.
撇增捺减无例外,底互倒时y轴夹. y=1为判底线,交点纵标看小大. 重视数形结合法,横轴上面图象察.

真题体验
1.思考辨析 (1)
n

1 2 3 4 静心思考 判一判 )

a n 与( n a ) n 都等于a(n∈N*).(

(2)2a·2b=2ab.(

) )

(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( (4)若am<an(a>0且a≠1),则m<n.( (5)函数y=2-x在R上为单调减函数.(
答案:(1)× (2)×

) )

(3)√ (4)× (5)√

真题体验
2、(必修1P60B组T2改编)若 x ? x =3,则 【解析】由 x ? x
1 2 ? 1 2 1 2 ? 1 2

1 2 3 4
x ?x ?2 = 2 ?2 x ?x ?3
3 2 ? 3 2

.

=3,得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7,

所以x2+x-2+2=49,x2+x-2=47. 因为 x ? x
3 2

3 2

?

3 2
3 2

? (x ? x ) ? 3(x ? x ) =27-9=18,
47 ? 3

1 2

?

1 2 3

1 2

?

1 2

所以 x 2 ? x ?2 ? 2 ? 18 ? 2 ? 2 .
x ? x ?3 5

?

答案: 2
5

真题体验
则实数a的取值范围是 .

1 2 3 4

3、(必修1P60B组T1改编)若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,

【解析】由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,得0<a2-1<1, 所以1<a2<2,即1<a< 2 或- 2 <a<-1. 答案:(- 2 ,-1)∪(1, 2 ) 4、函数y=ax与y=( A.x轴对称 C.原点对称
1 x ) (a>0,且a≠1)的图象关于 ( a

)

B.y轴对称 D.直线y=x对称

考情考向分析

热点分类突破
考点1 指数幂的化简与求值
a 3b 2 3 ab 2 (a>0,b>0)= (a b ) a b
2
1 4 1 1 ? 3 2 4 1 3

【典例1】(1)化简:

.

1 (2)计算: ( ? 27 )? 3 ? ? 0.002 ?? 2 ? 10 8

?

5 ?2

? ??
?1

3? 2 .

?

0

【规范解答】(1) ab-1 (2)原式=
1 8 3 ? ( ? ) ? 500 2 ? 10 5 ? 2 ? 1 27 4 167 ? ? 10 5 ? 10 5 ? 20 ? 1 ? ? . 9 9 2

?

?

方法规律

(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进

行计算.
(2)将负的分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的 运算性质进行计算.
提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含 有负指数,形式力求统一.

热点分类突破
考点2 指数函数的图象及应用
1 (a>0,且a≠1)的图象 a

【典例2】(1)函数y=ax可能是( D )

(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 [-1,1] .

方法规律
指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点: 1 (1,a),(0,1),(-1, ). a (2)与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图 象,通过平移、对称、翻折变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数 图象数形结合求解.

热点分类突破
2.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a,b

的取值范围分别是

.

【解析】因为函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象
0 ? a ? 1, 限,所以 ? ?

?1 ? b ? 1 ? 0,

即 ?

?0 ? a ? 1, ?b ? 0.

答案:(0,1),(-∞,0)

热点分类突破
考点3 比较大小
1

4、设y1

=40.9,y

0.48,y = ( ) ?1.5 =8 2 3 2

, 则(

)
D.y1>y3>y2

A.y3>y1>y2

B.y2>y1>y3

C.y1>y2>y3

【解题提示】利用指数幂的运算性质,分别将y1,y2,y3化为同底数的 幂,再利用单调性比较大小. 【规范解答】选D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3= ( 1 ) ?1.5 =21.5.
2

因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.

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对数与对数函数
飞羽数学

知识梳理
(1)对数的性质、换底公式与运算性质:
性质 换底 公式 0 ②log a=__; 1 ③ a log N=__. N ①loga1=__; a
a

log c b log c a logab=_______

(a,c均大于0且不等于1,b>0) 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: logaM+logaN ①log (M·N)=___________;
a

运算

性质

②loga

nlogaM ③logaMn=______(n∈R)

M log M-log N a a =___________; N

知识梳理
(2)对数函数的定义、图象与性质: 定义 y=logax(a>0,且a≠1) 函数___________________ 叫做对数函数 a>1 0<a<1

图象

知识梳理
y=logax (3)反函数:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数_______(a>0, 且 y=x对称. a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线____ 2.必备结论 教材提炼 记一记

(1)换底公式的两个重要推论
1 ; log b a ② log a m b n ? n log a b. m

①logab=

其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.

知识梳理
(2)对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底 数.

故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底 数逐渐增大.

真题体验

1 2 3 4

1.思考辨析

静心思考

判一判 ) ) )

(1)logax2=2logax.(

(2)函数y=log2(x+1)是对数函数.(
1? x

(3)函数y=ln 1 ? x 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( (4)若logam<logan,则m<n.( 答案:(1)× (2)× (3)√ ) (4)×

真题体验
1、(log29)·(log34)=(
1 A. 4 1 B. 2

1 2 3 4 ) C.2 D.4

2、函数y=

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 ? ? ? ? 4. 【解析】选D.(log29)·(log34)= lg 2 lg 3 lg 2 lg 3 ln ? x ? 1?
? x ? 3x ? 4
2

的定义域为(

)

A.(-4,-1)

B.(-4,1)

C.(-1,1) D.(-1,1]

? x ? 1 ? 0, ? x ? ?1, ?? ? ?1 ? x ? 1. 【解析】 ? 2 ? 4 ? x ? 1 ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ?

真题体验
3、(陕西高考)已知4a=2,lg x=a,则x=
【解析】由4a=2得a=

1 2 3 4

.

1 1 ,又由lg x=a得 10 2 =x,即x= 10 . 2

答案: 10

考情考向分析

热点分类突破
考点1 对数的运算

【典例1】(1)若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= 12
(2)计算:①lg25+lg2·lg50+(lg2)2=

.

2
5 4
? 3 4

;

②(log32+log92)·(log43+log83)=
【变式训练】 (安徽高考)计算:( 【加固训练】若2a=5b=m,且
16 ) 81

.
? log3 5 4 ? log3 = 4 5
27 8

.

1 1 + =2,则实数m的值为( 10. ) a b

热点分类突破
考点2 对数函数的图象及应用
【典例2 (2014·山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数. 其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( D )

A.a>1,c>1

B.a>1,0<c<1

C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1

热点分类突破
【变式训练】(2014·福建高考)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如 图所示,则下列函数图象正确的是( B )

热点分类突破
x ?x e ? e 【加固训练】1.函数y= ln x ? x 的图象大致为( C e ?e

)

热点分类突破
考点3 比较大小 )

1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23,则(
A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b

热点分类突破
考点4 复合函数

3已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1), 若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为 【解析】当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)>1,
8 解之得1<a< , 3

.

若0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数,

由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)>1,
故8-2a>0,所以a>4,又因为0<a<1,故不存在. 综上可知,实数a的取值范围是(1, 8 ). 答案:(1, 8 )
3 3


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