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上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(理)试卷


2014 学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷(理科)
考生注意: 1、本试卷考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分。 2、答题前,考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。 3、考试结束只交答题卡和答题纸。

物线焦点的距离为 3,则 OM ?

. .

1

1. 在正 ?ABC 中, D 是 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ?

12.已知奇函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,数列 { xn } 是一个公差为 2 的等差数列,满足

f ( x8 ) ? f ( x9 ) ? f ( x10 ) ? f ( x11 ) ? 0 ,则 x2014 的值为
13.过点 (2 ?



1 , 0)( n ? N * ) 且方向向量为 (2,1) 的直线交双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 于 An , Bn 两点,记 n
n ??

原点为 O , ?OAn Bn 的面积为 Sn ,则 lim S n ? ____ 14. 设 1 ? a1 ? a2 ?

____.

一、填空题: (本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. ) 1.已知 P ( ?3, 4) 为角 ? 终边上的一点,则 cos(? ? ? ) ? 2.已知向量 a ? (1, ?2), b ? ( x, 2) ,若 a ? b ,则 b =________.
2 3.已知集合 M ? {x y ? lg( 2 x ? x ), x ? R} , N ? x ? x ? a ,若 M ? N ,则实数 a 的取值

? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6 成公差为 1 的

等差数列,则 q 的最小值是____ ____. 二、选择题: (本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案 纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.) 15.已知命题 ? : x ? 1 ? 2 ,命题 ? : A.充分不必要条件



?

?

x?3 ? 0 ,则命题 ? 是命题 ? 成立的( x ?1
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



范围是


?1

4.已知幂函数 f ( x ) 过点 (2, 2) ,则 f ( x ) 的反函数为 f
n ??

( x) ?

. .

C.充分必要条件 确的是( )

5.若无穷等比数列 {an } 满足: lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 4 ,则首项 a1 的取值范围为

16.已知直线 l1 : y ? x sin ? (? ? R) 和直线 l 2 : y ? 2 x ? c ,则下述关于直线 l1 , l 2 关系的判断正 A. 通过平移可以重合 C. 可能与 x 轴围成等腰直角三角形 B. 不可能垂直 D. 通过绕 l1 上某点旋转可以重合

2 2 6 . 若 直 线 l : ax? y? 1 ? 0 平 分 圆 x ? y ? 2 x? 6 y? 5 ? 0 的 面 积 , 则 直 线 l 的 倾 斜 角



. (用反三角函数值表示)

x1 ? x2 7. 已知偶函数 f ? x ? 在 ? ??,0? 上满足: 当 x1, x2 ? ? ??,0? 且 x1 ? x2 时, 总有 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 )
则不等式 f ? x ?1? ? f ? x ? 的解集为 .

17.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大 于 6 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数

8.如图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0,

?
2

? ? ? ? )的部

A

y
2 1

y ? [ x] (其中 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为(
A. y ? ? ? ? 10 ? x

) D. y ? ?

分图象,其中 AB ? 5 ,那么 f ? ?1? ? ___________.

? ? x 2 ? x, x ? 1 ? 9. 已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 ,若对任意的 x ? R ,不等式 1 ? ? 3
3 f ( x) ? m2 ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 4
.

O B (第 8 题图)
?2

?x? ? ? 10 ? ?a , a ? b ? b, a ? b 18. 设 a , b ? R ,定义运算“ ? ”和“ ? ”如下:a ? b ? ? ,a ? b ? ? . 若 ? b, a ? b ?a , a ? b
B. y ? ? ? ? 10 ? C. y ? ? ? ? 10 ? 正数 a , b, c , d 满足 ab ? 4, c ? d ? 4 ,则( A. a ? b ? 2, C. a ? b ? 2, ) B. a ? b ? 2, D. a ? b ? 2,

? x ? 5?

? x ? 4?

? x ? 3?

c?d ? 2
c?d ? 2

c?d ? 2
c?d ? 2

10. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) ,若点 M 到该抛 2014 年五校联合教学调研数学试卷(理科) 第 1 页 共 4 页

三、解答题: (本大题满分 74 分,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤 .) 19.(本题满分 12 分)第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? cos ? A ? B ? ,sin ? A ? B ? ,
?
?

22.(本题满分 16 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 若函数 f ( x ) 在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为“局部奇函数” . (1)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( x ? R, 0 ? ? ? 说明理由; (2)设 f ( x) ? 2 x ? m 是定义在 ??1,1? 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围; (3)若 f ( x) ? 4x ? m2x?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围.
[来源:

?
2

?

?

) ,试判断 f ( x) 是否为“局部奇函数”?并

3 n ? ? cos B, ? sin B ? ,且 m ? n ? ? . 5
? ?

(1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 4 2, b ? 5 ,求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影.

20.(本题满分 14 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 E 长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点,且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是 1. (1)求椭圆 E 的标准方程; 23.(本题满分 18 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分. 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项, 将每个图形的层数增加可得到这四个数 列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列” 、 “四边形数列”?,将构图 边数增加到 n 可得到“ n 边形数列” ,记它的第 r 项为 P(n, r ) .

O 为原点,P 是椭圆 E 上异于 A 、B 的任意一点, (2) 若 A 、B 是椭圆 E 的左右端点, 直线 AP 、
BP 分别交 y 轴于 M 、 N ,问 OM ? ON 是否为定值,说明理由.

21.(本题满分 14 分)第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 等差数列 ?? n ? 的前 n 项和 S n ? 发现以下六个等式均成立: ① sin ③ sin ⑤ sin
2 2

?
36

n2 , 数列 ??n ? 满足 ? n ?
2 2

? 7 ? 2n ? ? .同学甲在研究性学习中
36

1,3,6,10

1,4,9,16

1,5,12,22

1,6,15,28

(1)求使得 P(3, r ) ? 36 的最小 r 的取值; (2)试推导 P(n, r ) 关于 n 、 r 的解析式; (3)是否存在这样的“ n 边形数列” ,它的任意连续两项的和均为完全平方数.若存在,指出所 有满足条件的数列,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

?1 ? cos ?1 ? sin ?1 cos ?1 ? m ; ② sin ?2 ? cos ?2 ? sin ?2 cos ?2 ? m ;
?3 ? cos2 ?3 ? sin ?3 cos ?3 ? m ;④ sin2 ?4 ? cos2 ?4 ? sin ?4 cos ?4 ? m ; ?5 ? cos2 ?5 ? sin ?5 cos ?5 ? m ;⑥ sin2 ?6 ? cos2 ?6 ? sin ?6 cos ?6 ? m .

2

2

(1)求数列 ?? n ? 的通项公式,并从上述六个等式中选择一个,求实数 m 的值; (2)根据(1)计算结果,将同学甲的发现推广为关于任意角 ? 的三角恒等式,并证明你的结论.

2014 年五校联合教学调研数学试卷(理科)

第 2 页 共 4 页

2014 学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 (理科)
一、填空题 1、

故椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

?6 分

3 5
2

2、 2 5 5、 (0,4) ? (4,8) 8、 2

3、 ? 2, ?? ? 6、 ? ? arctan 2 9、 ( ?? , ? ] ? [1, ?? ) 12、 4009

2 2 (2)设 P( x0 , y0 ) ,则 5x0 ? 9 y0 ? 45 ,且 A(?3,0), B(3,0)

4、 x ( x ? 0) 7、 ( , ?? ) 10、 2 3

1 2

1 4

y0 y0 ( x ? 3) ,直线 PB : y ? ( x ? 3) x0 ? 3 x0 ? 3 3 y0 ?3 y0 令 x ? 0 ,得: OM ? (0, ), ON ? (0, ) x0 ? 3 x0 ? 3
又直线 PA : y ? 故 OM ? ON ?
2 2 ?9 y0 5 x0 ? 45 ? ? 5 为定值. 2 2 x0 ? 9 x0 ? 9

?10 分

15 11、 2
14、 3 3

?14 分

13、

8 3
16、 D

21、 (1)当 n ? 1 时, ?1 ?

?
36

?1 分

二、选择题 15、 B 三、简答题 19、 (1)由 m ? n ? cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos A ? ? 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? 0 ? sin A ? (2)由 17、 C 18、 B 当 n ? 2 时, ? n ? S n ? S n ?1 ?

?
36

n2 ?

?
36

? n ? 1?

2

?

?
18

n?

?
36

?3 分

3 5

?3 分 ?6 分

∵当 n ? 1 时, ?1 适合此式 ∴数列 ?? n ? 的通项公式为 ? n ?

?
18

n?

?
36

?5 分

4 5

选择②,计算如下: ? 2 ?

?
12

?6 分

a b b 2 ?7 分 ? ? sin B ? sin A ? sin A sin B a 2 ? 又a ? b ? A ? B ? B ? ?8 分 4 3 2 2 2 由余弦定理,得 (4 2) ? 5 ? c ? 2 ? 5c ? ? c ? 1 或 ?7 (舍) ?10 分 5 ?? ? ?? ? 2 则 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? c ? cos B ? ?12 分 2

m ? sin2 ?2 ? cos2 ?2 ? sin ?2 cos ?2 = sin 2
=1 ?

?
12

? cos 2

?
12

? sin

?
12

cos

?
12
?8 分

1 ? 3 sin = 2 6 4

(2)由(1)知, ? n ? ? n ?

(2n ? 1)? (7 ? 2n)? ? ? ? , 36 36 6
2

因此推广的三角恒等式为 sin

? ? cos 2 ?

?? ? ?? ? 3 ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? ?6 ? ?6 ? 4

?10 分

20、 (1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且 a ? 3 , 又 a ? c ? 1 ? c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 5
2 2 2

?2 分

证明: sin

2

? ? cos2 ?

?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ?6 ? ?6 ?

2014 年五校联合教学调研数学试卷(理科)

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= sin 2 ? ? ? cos

? ?

?
6

cos? ? sin
1 4

?

? ? ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? 6 6 6 ? ? ?
3 3 1 cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 2 2 2
?14 分

2

综上,所求 m 的取值范围为 [1 ? 3, 2 2] . 23、 (1) P(3, r ) ? 1 ? 2 ?

?16 分 ?3 分

?r ?

= sin

2

? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?

3 4

=

3 3 3 cos 2 ? ? sin 2 ? = 4 4 4

?5 分 (2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar ,则 P(n, r ) ? a1 ? a2 ? ??? ? ar 从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则 ar ?1 ? ar ? n ? 2 , a1 ? 1 得 {ar } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列

r ( r ? 1) ? 36 , 2 所以,最小的 r ? 9 .
由题意得

r (r ? 1) 2

22、 (1) f ( x ) 为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f (? x) ? f ( x) ? 0 有解. 即 sin(? x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ? 2cos x sin ? ? 0 有解 因0 ?? ? ?2 分

?
2

? sin ? ? 0 ,得 cos x ? 0 ? x ? k? ?

?
2

(k ? Z )
?4 分

. ? f ( x) 为“局部奇函数” (2)存在实数 x 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,即 2
?x

? 2x ? 2m ? 0 在 [?1,1] 有解

r (n ? 2) r ( r ?1) [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] .(或 r ? 等) ? 12 分 2 2 (3) P(n, r ? 1) ? P(n, r ) ? (n ? 2)r 2 ? 2r ? 1 ?14 分 显然 n ? 3 满足题意, ?15 分 而结论要对于任意的正整数 r 都成立,则 (n ? 2)r 2 ? 2r ? 1 的判别式必须为零 所以 4 ? 4( n ? 2) ? 0 ,得 n ? 3
则 P(n, r ) ? 故满足题意的数列为“三角形数列”. ?18 分

1 令 t ? 2 , x ? [?1,1] ? t ? [ , 2] , 2
x

则 ?2m ? t ? 在 t ? [ , 2] 上有解 因为 g (t ) ? t ? 在 [ ,1] 上递减,在[1,2]上递增,? g (t ) ? ? 2, ? t 2 2

1 t

1 2

?7 分

1

1

? 5? ? ?
?10 分

? 5? ? 5 ? ??2m ? ? 2, ? ,故 m ? ? ? , ?1? ? 2? ? 4 ? (3)存在实数 x 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 即 4? x ? 4x ? 2m(2? x ? 2x ) ? 2m2 ? 6 ? 0 在 x ? R 有解 ?x x 2 ?x x 令 t ? 2 ? 2 , x ? R ? t ? [2, ??) ,且 4 ? 4 ? t ? 2
从而 g(t ) ? t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 (*)在 t ? [2, ?? ) 上有解
2 2

?12 分

1? . 若 g(2) ? 0 ,即 1 ? 3 ? m ? 1 ? 3 时,则方程(*)在 t ? [2, ?? ) 上有解

2? . 若 g(2) ? 0 ,即 m ? 1 ? 3 或 m ? 1 ? 3 时,结合图像,方程(*)有解,则

? ? ? 4m 2 ? 4(2m 2 ? 8) ? 0 ? m?2 ? 1? 3 ? m ? 2 2 ? ? g(2) ? 0 ?
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