nbhkdz.com冰点文库

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-9


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾 斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 63 C.32 9 3 B. 8 9 D.4 )

解析:先求直线 AB 的方程,将其与抛物线的方程联立组成方程组化

简,再 利用根与系数的关系求解. 3? 3? ?3 ? 由已知得焦点坐标为 F?4,0?,因此直线 AB 的方程为 y= 3 ?x-4?,即 4x ? ? ? ? -4 3y-3=0. 法一:联立抛物线方程化简得 4y2-12 3y-9=0. 故|yA-yB|= ?yA+yB?2-4yAyB=6. 1 1 3 9 因此 S△OAB=2|OF||yA-yB|=2×4×6=4. 21 9 21 法二:联立方程得 x2- 2 x+16=0,故 xA+xB= 2 . 21 3 根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p= 2 +2=12, 同时原点到直线 AB 的距 离为 h= 3 1 9 = ,因此 S h = △OAB= |AB|· 2 4. 42+?-4 3?2 8 |-3|

答案:D y2 2.已知点 A(0,2)和双曲线 x2- 4 =1,过点 A 与双曲线只有一个交点的直线 的条数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:设过点 A(0,2)的直线为 y=kx+2,

y=kx+2, ? ? 由? 2 y2 x - 4 =1. ? ?

得(4-k2)x2-4kx-8=0,

当 k2=4 即 k=± 2 时,方程只有一解,即直线与双曲线只有一个交点. 当 k2≠4,方程有一解时, Δ=(-4k)2-4×(4-k2)×(-8)=0. ∴k2=8,∴k=± 2 2,为切线的斜率.共有 4 条直线. 答案:D 3.(2014· 高考湖北卷)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的 π 一个公共点,且∠F1PF2=3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( ) 4 3 A. 3 C.3 2 3 B. 3 D.2

解析:法一:利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解. 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半 π 2 轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2,由(2c)2=r2 1+r2-2r1r2cos , 3
2 得 4c2=r2 1+r2-r1r2.

?r1+r2=2a1, ?r1=a1+a2, 由? 得? ?r1-r2=2a2 ?r2=a1-a2, 1 1 a1+a2 r1 ∴e +e = c = c .
1 2

r2 1 令 m=c2= =

4r2 1 2 2 r1+r2-r1r2

4 4 =r 1 , r r 2 2 ? ? 2 ? ? 3 1+?r ?2-r ?r -2?2+4 ? 1? ?1 ? 1
1

r2 1 16 当r =2时,mmax= 3 , 4 3 ?r1? ∴? c ?max= 3 , ? ?

1 1 4 3 即e +e 的最大值为 3 .
1 2

法二:利用椭圆、双曲线的定义和几何性质,柯西不等式求解.设|PF1|=r1, |PF2|=r2,|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2,椭圆、双曲线 的离心率分别为 e1,e2, π 2 2 依题意得(2c)2=r1 +r2 -2r1r2cos3,① 在椭圆中,①式化简得 4c2=4a2 1-3r1r2, 3r 1 r 2 1 则 4c2 =e2-1.② 1 在双曲线中,①式化简得 4c2=4a2 2+r1r2, r1 r2 1 则 4c2 =-e2+1.③
2

1 3 联立②③得e2+e2=4.
1 2

1?? 1 3 ? ? 1 1 3? 1 1 4 3 ? 由柯西不等式得?1+3??e2+e2?≥?1×e + × e ?2,解得e +e ≤ 3 ,当 ? ?? 1 2? ? 1 2? 1 2 3 3 且仅当 e1= 3 ,e2= 3时等号成立. 答案:A 4.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p=________. y2=2px ? ? p 解析:由题意可知过焦点的直线方程为 y=x-2,联立有? p y=x-2 ? ? p2 3px+ 4 =0, 又|AB|= ?1+1 ? 答案:2 5.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 1 1 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则p+q等于________. 1 1 1 1 解析:取特殊情况:直线 y=4a,得 p=q=2a,∴p+q=4a.
2

?x2-

p2 ?3p? -4× 4 =8?p=2.
2

答案:4a 6.(2016· 江西宜春质检)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且 → =MB →, 斜率为 3的直线与 l 相交于 A, 与 C 的一个交点为 B, 若AM 则 p=________. 解析:设直线 AB 的方程为 y= 3x- 3,代入 y2=2px 得 3x2+(-6-2p)x +3=0, → =MB → ,即 M 为 A,B 的中点, 又∵AM p p 3 xB-*4/5=1+2,即 xB=2+2,则 yB= 3xB- 3= 2 p+ 3,将(xB,yB)代 入 C:y2=2px, 得 p2+4p-12=0,解得 p=2,p=-6(舍去). 答案:2 ?p ? 7.(2016· 河南洛阳一模)已知过点 M?2,0?的直线 l 与抛物线 y2=2px(p>0) ? ? →· → =-3,其中 O 为坐标原点. 交于 A,B 两点,且OA OB (1)求 p 的值; (2)若圆 x2+y2-2x=0 与直线 l 相交于 C,D(A,C 两点均在第一象限),且 线段 AC,CD,DB 的长构成等差数列,求直线 l 的方程. p 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:x=my+2,代入抛物线方程,消去 x, →· → =-3,即 x x +y y 得 y2-2pmy-p2=0,y1+y2=2pm,y1y2=-p2,由于OA OB 1 2 1 2 =-3,
2 y2 p2 p2 2 1 y2 x1x2=2p· 2p= 4 ,即有 4 -p =-3,解得 p=2.

(2)由(1)得,y1+y2=4m,y1y2=-4, 则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(1+m2), |AB|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2 ?y1-y2?2 ? =(y1-y2) +? ? 4 ?
2 2 2

? ?y1+y2?2? ?? =(y1-y2)2?1+? ? ? 4 ?? =16(1+m2)2,即有|AB|=4(1+m2),

如图,由于线段 AC,CD,DB 的长构成等差数列,则 2|CD|=|AC|+|DB|= |AC|+|BC|-|CD|=|AB|-|CD|,

又 CD 为圆 x2+y2-2x=0 的直径,即有|CD|=2, 2 则 4(1+m2)=6,解得 m=± , 2 则直线 l 的方程是 2x+y- 2=0 或 2x-y- 2=0. 8.(2014· 高考安徽卷)如图,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2:y2 =2p2x(p2>0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点, l2 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点.

(1)证明:A1B1∥A2B2. (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点.记△A1B1C1 与 S1 △A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求S 的值.
2

解:(1)证明:设直线 l1 , l2 的方程分别为 y= k1x, y= k2x(k1 , k2≠0),由 ?y=k1x, ?2p1 2p1? ? 2 得 A1? k2 , k ?, ? 1 1 ? ?y =2p1x, ?y=k1x, ?2p2 2p2? 由? 2 得 A2? k2 , k ?. ? 1 1 ? ?y =2p2x, ?2p1 2p1? ?2p2 2p2? 同理可得 B1? k2 , k ?,B2? k2 , k ?. ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ?2p1 2p1 2p1 2p1? 所以A→ 1B1=? k2 - k2 , k - k ? ? 2 1 2 1 ?

?1 1 1 1? =2p1?k2-k2,k -k ?, ? 2 1 2 1? ?2p2 2p2 2p2 2p2? A→ 2B2=? k2 - k2 , k - k ? ? 2 1 2 1 ? ?1 1 1 1? =2p2?k2-k2,k -k ?. ? 2 1 2 1? p1 → 故A→ 1B1= A2B2,所以 A1B1∥A2B2. p
2

(2)由(1)知 A1B1∥A2B2, 同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2, 所以△A1B1C1∽△A2B2C2. ? |A→ S1 ? 1B1|?2 ? 因此S =? . → ? 2 ?|A2B2|? p1 → |A→ 1B1| p1 又由(1)中的A→ B = A B ,知 =p , 1 1 2 2 p2 → |A2B2| 2
2 S1 p1 故S =p2. 2 2

[B 级

能力突破]

1.(2015· 高考浙江卷)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直 线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△ BCF 与△ACF 的面积之比是( )

|BF|-1 A. |AF|-1 |BF|+1 C. |AF|+1

|BF|2-1 B. |AF|2-1 |BF|2+1 D. |AF|2+1

解析:选 A.由图形可知,△BCF 与△ACF 有公共的顶点 F,且 A,B,C 三

|BC| 点共线, 易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|AC|.由抛物线方程知焦点 F(1,0), 作准线 l,则 l 的方程为 x=-1.如图,∵点 A,B 在抛物线上,过 A,B 分别作 AK,BH 与准线垂直,垂足分别为点 K,H,且与 y 轴分别交于点 N,M.由抛物 |BC| |BM| 线定义, 得|BM|=|BF|-1, |AN|=|AF|-1.在△CAN 中, BM∥AN, ∴|AC|= |AN| = |BF|-1 . |AF|-1 答案:A 2.(2016· 江西兴国一模)椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点, 3 a 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 2 ,则b的值为( )

3 A. 2 9 3 C. 2

2 3 B. 3 2 3 D. 27

解析:联立椭圆方程与直线方程,得 ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+B -*4/5=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2b ,y +y =1-x1+1-x2=2- a+b 1 2

a a+b a a ? 2b 2a ? b = , AB 中点坐标为?a+b,a+b?, AB 中点与原点连线的斜率 b =b= a+b a+b ? ? a+b 3 2 ,故选 A. 答案:A 3.(2014· 高考四川卷)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上 →· → =2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之 且位于 x 轴的两侧,OA OB

和的最小值是( A.2 17 2 C. 8

) B.3 D. 10

解析:设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图),

A(x1,y1),B(x2,y2), →· → =2, ∵OA OB ∴x1x2+y1y2=2.
2 又 y1 =x1,y2 2=x2,

∴y1y2=-2.
2 ?y =x, 联立? 得 y2-ny-m=0, ?x=ny+m,

∴y1y2=-m=-2, ∴m=2,即点 M(2,0). 1 1 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO=2|OM||y1|+2|OM||y2|=y1-y2, 1 1 S△AFO=2|OF|· |y1|=8y1, 1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+8y1, 9 2 =8y1+y ≥2
1

9 2 8y1· y1=3,

4 当且仅当 y1=3时,等号成立. 答案:B x2 y2 4.(2016· 山东莱芜一模)已知圆 G:x +y -2 2x-2y=0 经过椭圆a2+b2=
2 2

2π 1(a>b>0)的右焦点及上顶点.过椭圆外一点 M(m,0)(m>a),倾斜角为 3 的直线 l

交椭圆于 C,D 两点,若点 N(3,0)在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,则 m 的取 值范围是________. 解析:∵圆 G:x2+y2-2 2x-2y=0 与 x 轴,y 轴交点为(2 2,0)和(0,2), ∴c=2 2,b=2,∴a2=b2+c2=12, x2 y2 ∴椭圆方程为12+ 4 =1, 设直线 l 的方程为 y=- 3(x-m)(m>2 3), ?y=- 3?x-m?, ? 由? x2 y2 + =1 ? ?12 4 得 10x2-18mx+9m2-12=0.

由 Δ=324m2-40(9m2-12)>0, 2 30 2 30 可得- 3 <m< 3 , 2 30 ∴2 3<m< 3 . 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 9m2-12 9m x1+x2= 5 ,x1· x2= 10 , →· → =(x -3,y )· NC ND 1 1 (x2-3,y2) =(x1-3)(x2-3)+y1y2 =4x1x2-(3m+3)(x1+x2)+9+3m2>0. 7 化简得 2m2-9m+7>0,解得 m>2. ?7 2 30? ?. ∴m 的取值范围是? , 3 ? ?2 ?7 2 30? ? 答案:? , 3 ? ?2 y2 5.(2016· 武汉模拟)设直线 l:2x+y-2=0 与椭圆 x2+ 4 =1 的交点为 A、B, 1 点 P 是椭圆上的动点,则使得△PAB 的面积为3的点 P 的个数为________. 解析:由题知直线 l 恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|= 5,要

1 1 1 2 使△PAB 的面积为3,即2· 5· h=3,所以 h= .联立 y=-2x+m 与椭圆方程 3 5 y2 x + 4 =1 得 8x2-4mx+m2-4=0,令 Δ=0 得 m=± 2 2,即平移直线 l 到 y=-
2

2x± 2 2时与椭圆相切,它们与直线 l 的距离 d= 有 4 个点符合要求. 答案:4

|± 2 2+2| 2 都大于 ,所以一共 5 3 5

8 3 6. 两条渐近线为 x+2y=0, x-2y=0, 则截直线 x-y-3=0 所得弦长为 3 的双曲线方程为________. x 解析:∵渐近线为2± y=0, b 1 x2 2 ∴a=2.设双曲线为 4 -y =λ, 即 x2-4y2=4λ. 把 y=x-3 代入得:3x2-24x+36+4λ=0, 16 ? 64 ? ∴2?64-48- 3 λ?= 3 , ? ? 解得 λ=1, x2 ∴方程为 4 -y2=1. x2 2 答案: 4 -y =1 x2 y2 7. 已知椭圆 2 + 4 =1 两焦点分别为 F1、 F2, P 是椭圆在第一象限弧上一点, →· → 并满足PF 1 PF2=1,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△PAB 面积的最大值. 解:(1)由题可得 F1(0, 2),F2(0,- 2),设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0), → =(-x , 2-y ),PF → =(-x ,- 2-y ), 则PF 1 0 0 2 0 0

→ → 2 ∴PF1· PF2=x2 0-(2-y0)=1,①
2 x2 0 y0 ∵点 P(x0,y0)在曲线上,则 2 + 4 =1,②

∴由①②得 x0=1,y0= 2.则点 P 的坐标为(1, 2). (2)证明:由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k(k> 0),则 BP 的直线方程为:y- 2=k(x-1). ?y- 2=k?x-1?, ? 由?x2 y2 + =1, ? ?2 4 得(2+k2)x2+2k( 2-k)x+( 2-k)2-4=0, 设 B(xB,yB),则 1+xB= 2k?k- 2? , 2+k2

2k?k- 2? k2-2 2k-2 xB= -1= , 2+k2 2+k2 k2+2 2k-2 同理可得 xA= , 2+k2 4 2k 则 xA-xB= 2+k2 8k yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-*4/5)= . 2+k2 所以 AB 的斜率 kAB= yA-yB = 2为定值. xA-xB

(3)设 AB 的直线方程:y= 2x+m. ?y= 2x+m, ? 由?x2 y2 + =1, ? ?2 4 得 4x2+2 2mx+m2-4=0,

由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得-2 2<m<2 2. P 到 AB 的距离为 d= 1 1 则 S△PAB=2|AB|· d=2 = 1 2 2 8m ?-m +8?≤ |m| , 3 1 ? |m| ? ?4-2m2?· 3· ? ? 3 1?m2-m2+8?2 ? ? = 2. 8? 2 ?

当且仅当 m=± 2∈(-2 2,2 2)时取等号, ∴△PAB 面积的最大值为 2.


2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-9

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-9_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2014· ...

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-8

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-8_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] 1 ?1 ? 1....

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-1

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] ) 1...

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-6

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-6_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] x2 y2 1.(...

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-4

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-4_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2016· ...

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-7

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-7_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] x2 y2 x2 ...

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-5

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-5_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] x2 y2 1.(...

课时规范训练2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练2-8

课时规范训练2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练2-8_数学_高中教育_教育...(x-1)2 恰有三个整数解,则 a 的取值范围为( ) A.[ 16 9 5, 4] ...

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-2

2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-2_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 A级 基础演练] ) 1.(2016· ...

课时规范训练2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练2-9

课时规范训练2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练2-9_数学_高中教育_教育专区。2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练 课时规范训练 [A 级 基础演练] ) ...