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综合检测第一章


综合检测(一) 第一章 空间几何体 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2013· 嘉峪关高一检测)观察图 1 中四个几何体,其中判断正确的是( )

(1)

(2) 图1

(3)

/>
(4)

A.(1)是棱台

B.(2)是圆台

C.(3)是棱锥 D.(4)不是棱柱 【解析】 结合柱、锥、台、球的定义可知(3)是棱锥,(4)是棱柱,故选 C. 【答案】 C 2.下列几何体中,正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是( )

(1)

(2) 图2

(3)

(4)

A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 【解析】 正方体的三视图都相同都是正方形,球的三视图都相同都为圆面. 【答案】 D 3.下列说法中正确的是( )

A.有两个面平行,其余各面都是三角形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C.有一个面是多边形,其余各面都是五边形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 【解析】 A 不正确,棱柱的各个侧面为四边形;B 不正确,棱台是由平行于棱锥底面 的平面截棱锥而得到的,其侧棱的延长线必交于一点,故 D 正确.C 不正确,不符合棱锥 的定义. 【答案】 D 4.(2012· 西安高二检测)如果两个球的体积之比为 8∶27,那么两个球的表面积之比为

(

) A.8∶27 B.2∶3 C.4∶9 D.2∶9 【解析】 设两个球的半径分别为 r1,r2,则由题意可知 V1∶V2=8∶27,∴r1∶r2=2∶

3. ∴S 表 1∶S 表 2=4∶9. 【答案】 C 5.已知某空间几何体的三视图如图 3 所示,则此几何体为( )

图3 A.圆台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.四棱台 【解析】 结合此几何体的三视图可知,该几何体为四棱台. 【答案】 D 6.(2012· 江西高考)若一个几何体的三视图如图 4 所示,则此几何体的体积为( )

图4 11 A. 2 9 B.5 C. 2 D.4

【解析】 由三视图可知,此几何体为直六棱柱,且底面的面积为 4,高为 1,则体积 V=Sh=4.

【答案】 D 7.(2013· 武汉高二检测)已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图 5 所示的 直观图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= 3 ,那么原△ABC 的面积是( 2 )

图5 A. 3 B.2 2 C. 3 2 D. 3 4

【解析】 依据斜二测画法的原则可得, BC=B′C′=2,AO=2A′O′=2× 由图易得 AO⊥BC, 1 ∴S= ×2× 3= 3,故选 A. 2 【答案】 A 8.(2013· 潍坊高一检测)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图 6 所示,则相 应的侧视图可以为( ) 3 = 3, 2

图6

【解析】 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其 侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形,故应选 D. 【答案】 D 9.(2012· 黄冈高二检测)圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形

的圆心角为(

)

A.120° B.150° C.180° D.240° 【解析】 设圆锥底半径为 R,母线长为 L. 由题意,πR2+πRL=3(πR2),∴L=2R, 圆锥的底面圆周长 l=2πR, 展开成扇形后,设扇形圆心角为 n, nπL nπ·2R 扇形的弧长 l= = , 180° 180° 2nπR ∴2πR= ,∴n=180° , 180° 即展开后扇形的圆心角为 180° . 【答案】 C 10.一个空间几何体的三视图如图 7 所示,则该几何体的体积为( )

图7 6 A. π cm3 5 2 C. π cm3 3 B.3π cm3 7 D. π cm3 3

【解析】 由三视图可知,此几何体为底面半径为 1 cm、高为 3 cm 的圆柱上部去掉一 2 2 7 个半径为 1 cm 的半球,所以其体积为 V=πr2h- πr3=3π- π= π(cm3). 3 3 3 【答案】 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上) 11.一个球的大圆面积为 9π,则该球的体积为________. 4 【解析】 由题意可知该球的半径 r=3,故 V= πr3=36π. 3 【答案】 36π 12.底面直径和高都是 4 cm 的圆柱的侧面积为_____cm2. 1 【解析】 圆柱的底面半径为 r= ×4=2(cm). 2

∴S 侧=2π×2×4=16π(cm2). 【答案】 16π 13. (2012· 辽宁高考)一个几何体的三视图如图 8 所示, 则该几何体的表面积为________.

图8

【解析】 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,所以 S=2×(4+3+12) +2π-2π=38. 【答案】 38

图9 14. (2013· 深圳高一检测)如图 9, 在正方体 ABCDA′B′C′D′中, E、 F 分别是 A′A、 C′C 的中点,则下列判断正确的是________. ①四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影是正方形; ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是菱形; ③四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影与在面 ABB′A′内的投影是全等的平行四 边形. 【解析】 ①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是点 B、 C、 D、 A, 故投影是正方形,正确;②设正方体的边长为 2,由 AE=1,取 D′D 的中点 G,则四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E,由 AE∥D′G,且 AE=D′G,所以 四边形 AGD′E 是平行四边形,但 AE=1,D′E= 5,故四边形 AGD′E 不是菱形;对于 ③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确. 【答案】 ①③ 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤)

图 10 15.(本小题满分 12 分)如图 10 所示,四棱锥 V-ABCD 的底面为边长等于 2 cm 的正方 形,顶点 V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高,侧棱长 VC=4 cm,求这个正四棱锥的体 积. 【解】 连 AC、BD 相交于点 O,连 VO,

∵AB=BC=2 cm,在正方形 ABCD 中, 求得 CO= 2 cm, 又在直角三角形 VOC 中, 求得 VO= 14 cm, 1 ∴VV-ABCD= SABCD· VO 3 1 4 = ×4× 14= 14(cm3). 3 3 4 故这个正四棱锥的体积为 14 cm3. 3 16.(本小题满分 12 分)(2013· 郑州高一检测)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全 等的长方形,边长分别是 4 cm 与 2 cm,如图 11 所示,俯视图是一个边长为 4 cm 的正方形. (1)求该几何体的全面积; (2)求该几何体的外接球的体积.

图 11

【解】 (1)由题意可知,该几何体是长方体, 底面是正方形,边长是 4,高是 2, 因此该几何体的全面积是:2×4×4+4×4×2=64(cm2), 即几何体的全面积是 64 cm2. (2)由长方体与球的性质可得, 长方体的体对角线是球的直径, 记长方体的体对角线为 d, 球的半径是 r, d= 16+16+4= 36=6(cm), 所以球的半径为 r=3(cm). 4 4 因此球的体积 V= πr3= ×27π=36π(cm3), 3 3 所以外接球的体积是 36π cm3.

图 12 17.(本小题满分 12 分)(2013· 嘉兴高二检测)如图 12 在底面半径为 2,母线长为 4 的圆 锥中内接一个高为 3的圆柱,求圆柱的表面积. 【解】 设圆锥的底面半径为 R,圆柱的底面半径为 r,表面积为 S, 则如图所示 R=OC=2,AC=4, AO= 42-22=2 3.

易知△AEB∽△AOC, ∴ AE EB 3 r = ,即 = , AO OC 2 3 2

∴r=1, S 底=2πr2=2π,S 侧=2πr· h =2 3π. ∴S=S 底+S 侧=2π+2 3π=(2+2 3)π.

18.(本小题满分 14 分)(2012· 临沂高一检测)如图 13,正方体 ABCD-A′B′C′D′的 棱长为 a,连接 A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:

图 13

(1)三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥 A′-BC′D 的体积. 【解】 (1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体, ∴六个面都是正方形, ∴A′C′=A′B=A′D=BC′=BD=C′D= 2a, ∴S 三棱锥=4× ∴ S三棱锥 3 = . S正方体 3 3 ×( 2a)2=2 3a2,S 正方体=6a2, 4

(2)显然,三棱锥 A′-ABD、C′-BCD、D-A′D′C′、B-A′B′C′是完全一样 的, ∴V 三棱锥 A′-BC′D=V 正方体-4V 三棱锥 A′-ABD 1 1 1 =a3-4× × a2×a= a3. 3 2 3


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