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第3届国际物理奥林匹克竞赛试题


第 3 届国际物理奥林匹克竞赛试题
1、右图的力学系统由三辆车组成,质量分别为 mA=0.3kg,mB=0.2kg,mC=1.5kg。 (a)沿水平方向作用于 C 车的力 F 很大。使 A、B 两车相对 B C 车保持静止。求力 F 及绳子的张力。 F C A (b)C 车静止,求 A、B 两车的加速度及绳子的张力。 (忽略阻力和摩擦力,忽略滑轮和车轮的转动惯量)

/>
2、在质量为 m1 的铜量热器中装有质量为 m2 的水,共同的温度为 t12;一块质量为 m3、温度 为 t3 的冰投入量热器中(如右图所示) 。试求出在各种可能情形下 m3 c3 t3 0 的最终温度。计算中 t3 取负值。铜的比热 c1=0.1kcal/kg· C, 0 0 水的比热 c2=1kcal/kg· C,冰的比热 c3=0.5kcal/kg· C,冰的 熔解热 L=80kcal/kg。 m2 c2 t2
m1 c1 t1

1

3、在竖直平面内有半径 R=5cm 的线圈(如图) 。质量 m=1g 的小球系在长度为 l 的绝缘轻 绳上,从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球两者都带 l -8 有 Q=9×10 C 的相同电量时,发现小球在垂直线圈平 R Fn α 面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。 α
mg
F

4、一块平板玻璃放置在边长为 2cm 的玻璃立方体上,两者之间有一层平行的薄空气隙。 波长在 0.4μm 到 1.15μm 之间的电磁波垂直入射到平板上,经空气隙的两边表面反射而发 生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强,其一是?1=0.4μm。求空气隙的厚度。 5、给定一闭合电路,它是由已知电阻 R、未知电阻 X 以及内阻可以忽略的电源组成的。 电阻 X 是可调电阻器,由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池和零点在中 心的电流计组成, 它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。 试测定电阻 X 及端电压 之比。

d

2

届国际物理奥林匹克竞赛试题 第 3 届国际物理奥林匹克竞赛试题
1、解: a)A、B 两车相对 C 车保持静止,A 车在竖直方向没有加速度,因此它对绳的 ( 拉力为 mAg。这个力使 B 车得到加速度 a B =

mA g 。又三车系统以相同的加速度运动,则: mB

F = ( m A + m B + mC )

mA g mB
2

由给定的数值得:aB=aC=aA=1.5g=14.7m/s 绳中的张力为:T=mAg=2.94N 水平推力为:F=29.4N (b)如果 C 车静止,则力 mAg 使质量 mA+mB 加速,加速度为:

a AB =

mA g =0.6g=5.88N m A + mB
/

绳中的张力为:T =mAg-mA×0.6g=1.176N

2、解:可能存在三种不同的终态: a)只有冰; b)冰水共存; ( ( (c)只有水。 (a)冰温度升高,但没有熔化,达到某一(负)温度 ta; 放出的热量和吸收的热量相等: c3 m3(ta-t3)=(c1 m1+c2 m2) t12-ta)+m2L ( 得出最终的温度为 t a =

(m1c1 + m2 c 2 )t12 + m3 c3t 3 + m2 L m1c1 + m2 c3 + m3 c3
0

(1)

情况(a)的条件是 ta<0(注:指 0 C) ,如果上式的分子为负值,我们得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3―m2L (2) (c)现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为 tc,冰块吸收的热量 ( 等于量热器和水放出的热量:c3 m3(0-t3)+m3 L+c2 m3tc=(c1 m1+c2 m2) t12-tc) 得出最终的温度为 t c = (m1c1 + m 2 c 2 )t12 + m3 c3t 3 ? m3 L (3) m1c1 + m2 c 2 + m3 c 2 这种情况只有在 tc>0时才能发生。取上式的分子为正值,得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12>―c3 m3t3+m3L (4) 0 (b)冰水共存这种情况是冰和水混合后都以 0 C 共存于量热器中。根据(2)式和(4) 式,条件为:―c3 m3t3―m2L<(c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3+m3L 如果混合后有 x 克冰熔化了,则―c3 m3t3+x L=(c1 m1+c2 m2)t12 故冰熔化了的质量为 x =

(m1c1 + m2 c2 )t12 + m3 c3 t 3 L 于是混合后,在量热器中有质量为(m3―x)的冰和质量为(m2+x)的水。x 为负值意

味着有水结为冰,冰的质量增加。对于给定的数值,我们可以从公式容易得到最终的结果。

3

3、解:如果线圈上的全部电荷集中与一点,则库仑力为 F = k

Q2 l2

线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为?, 它们在轴上的投影为 Fn=Fcos?。 小球的 重量为 mg。由上图可得: sin α = mg = R = mg F l Q2 k 2 l 所以: l = 3

RkQ 2 9 2 2 =7.2cm(k=9×10 N m /C ) mg
l

(注:以上解答为原解,可能有错) R 另解: 如解答图 3.3.1, 在线圈上取一电荷微元, 长为 d ,电荷量为?d ,?为线电荷密度,2πR ? =Q。则微元电荷对小球的作用力为:

α

α
Fti

Fni

Fi

Fi = k

λdQ
l2

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解:Fni=Fi cos? 解答图????? Fti=Fi sin? 在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元,如 解答图 3.3.2。对称的电荷微元,长也为 d ,电荷 量为?d ,它对小球的作用力为: Fi = k
/

?

Fti

Fi

λdQ
l2

R

α
l

α

Fni

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解: Fn/i=Fi /cos? 解答图 3.3.2 Ft/i=Fi /sin? Fni 与 Fn/i 方向相同,合力为大小相加,Fti 与 Ft/i 方向相反,合力为大小相减,等于零。 所以线圈对小球作用的库仑力为:

2πλQ Q2 Fn=∑Fni= k cos α = k 2 cos α l2 l
对小球受力分析,小球受三力作用:重力 mg、 库仑力 Fn、拉力 T,如解答图 3.3.3。则:

T R l

α

α

Fn

mg
解答图 3.3.3

F

F l cos α = n R mg Q2 RkQ 2 3 把 Fn= k 2 cos α 代入上式解得: l = =7.2cm mg l

(k=9×10 N m /C )

9

2

2

4、 解: 光在厚度为 d 的空气隙中往返, 经过的距离为 2d。 光被玻璃反射时, 还经受 180 的相位改变。于是对波长为?1 的光,增强的条件为:

0

4

2d= k1λ1 +

λ1
2

(k1=0,1,2,3,……)

类似地,对其它波长的光,产生极大增强的条件是: 2d= k 2 λ 2 +

λ2
2

(k2=0,1,2,3,……)

比较这两个条件,得到:

2k1 + 1 λ 2 = 2k 2 + 1 λ1

根据波长给定的范围,得到:

λ2 1.15 = = 2.875 λ1 0.4

这个比值的最小可能值为 1,最大可能值为 2.875。因此我们得到关于 k1 和 k2 的下列条 件:1<

2k1 + 1 <2.875 2k 2 + 1

(1)

对不同的 k1 和 k2,我们算出上述分数值,得到下表:

k1 k2
0 1 2 3 4 5

0 1 0.33 0.2 0.14 0.11 0.09

1 3 1 0.6 0.43 0.33 0.27

2 5 1.67 1 0.71 0.56 0.45

3 7 2.33 1.4 1 0.78 0.64

4 9 3 1.8 1.29 1 0.81

5 11 3.67 2.2 1.57 1.22 1

只有分数值满足条件(1)式的各个 k1 和 k2 对才是合格的,我们已在表格中算出。但 其中只有一对是允许的。这就是说,我们应当找出这样的一列,其中只能有一对是允许的 k1 和 k2。从表中看出,仅有的是 k1=2,k2=1 这一对,其分数值是 1.67,这就是解答。 对于 k1=0.4μm 的光,根据 2d=2×0.4+0.2=1μm,得到空气隙的厚度为 d=0.5μm 由 2×0.5= λ 2 +

λ2
2

得到第二个波长为 k2=0.667μm 把 X = R(

1 E xX E x ) 代入 = 得: = x? y U R+ X U 1+ x ? y

5


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