nbhkdz.com冰点文库

线面垂直互动解题

时间:2017-09-24


线面垂直互动解题
山东 孙中权 例 1.如下图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°, ∠BSC=90°,求证:平面 ABC⊥平面 BSC. 剖析:本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路,即先证明其中一个平面 经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线,故作辅助线.根据已知条件 的特点,取 BC 的

中点 O,连结 AO、SO,既可证明 AO⊥平面 BSC,又可证明 SO⊥平面 ABC.另一条是从定义出发的思路, 即证明两个平面所成的二面角是直二面角, 注意到∠AOS 是二面角 A—BC—S 的平面角,转化为证明∠AOS 是直角. 证法一:取 BC 的中点 O,连结 AO、SO.∵AS=BS=CS,SO⊥BC, 又∵∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC,从而 AO⊥BC. 设 AS=a,又∠BSC=90°,则 SO=

A

2 1 a.又 AO= AB 2 ? BO 2 = a 2 ? a 2 = 2 2
B O S C

2 a, 2 ∴AS2=AO2+SO2,故 AO⊥OS. 从而 AO⊥平面 BSC,又 AO ? 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BSC. 证法二:同证法一证得 AO⊥BC,SO⊥BC, ∴∠AOS 就是二面角 A—BC—S 的平面角.再同证法一证得 AO⊥OS,即∠AOS=90°. ∴平面 ABC⊥平面 BSC. 点评:本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外,本题中证明∠AOS=90°的方法 较为特殊,即通过“算” ,定量地证得直角,而不是通过位置关系定性地推理出直角,这也 是立体几何中证明垂直的一种重要方法. S 例 2.如图,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC. (1)求证:AB⊥BC; (2)若设二面角 S—BC—A 为 45°,SA=BC,求二面 角 A—SC—B 的大小. A (1)证明:作 AH⊥SB 于 H, ∵平面 SAB⊥平面 SBC,∴AH⊥平面 SBC. 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC. SA 在平面 SBC 上的射影为 SH,∴BC⊥SB.又 SA∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. (2)略 点评:证明两个平面垂直的常见方法: (1)根据定义,证其二面角的平面角是直角; (2)根据判定定理,证明一个平面经过另一个平面的垂线. 例 3.已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过 A 点作 AE⊥PC 于点 E,求证:AE⊥平面 PBC. P 证明:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC.而 PC∩AC=C,∴BC⊥平面 PAC. 又∵AE 在平面 PAC 内,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE,且 PC∩BC=C, E ∴AE⊥平面 PBC.
A C

E H C

B

.
O

B


2012年新课标版高考题精选--直线、平面垂直的判定及其...

平面PAB . 【解题指南】 (1)证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直,本题易证: AB ? PH , PH ? AD .(2)由 E 是 PB 的中点知,V 三棱锥 E-BCF= V...

...案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面垂直的判...

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、...1.在证明线面垂直、面面垂直时,一定 要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线...

2016届二轮 直线、平面垂直的判定及其性质 专题训练(全...

平面 BEG D C G E F B F D C H A B 【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题(2)利用线线平行证明线面平行(3) 构造等腰三角形, 找出高垂直于...

...直线、平面垂直的判定及其性质(含详解)

解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线 面垂直;借助线线平行去证明线面平行 ,再由面面 平行的性质得到线面平行。 【证明】 (?) 由 AB 是圆的直径,...

考点36 直线、平面垂直的判定及其性质

平面PAB . 【解题指南】 (1)证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直,本题易证: AB ? PH , PH ? AD .(2)由 E 是 PB 的中点知,V三棱锥 E-BCF = V...

考点33 直线、平面垂直的判定及其性质

平面 BEG D C G E F B F D C H A B 【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题(2)利用线线平行证明线面平行(3) 构造等腰三角形,找出高垂直于...

考点36 直线、平面垂直的判定及其性质

平面PAB . 【解题指南】 (1)证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直,本题易证: AB ? PH , PH ? AD .(2)由 E 是 PB 的中点知,V 三棱锥 E-BCF= V...

2012年新课标版高考题库考点36 直线、平面垂直的判定及...

平面PAB . 【解题指南】 (1)证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直,本题易证: AB ? PH , PH ? AD .(2)由 E 是 PB 的中点知,V三棱锥 E-BCF = V...

考点35 直线、平面垂直的判定及其性质

圆学子梦想 铸金字品牌 【解题提示】( 1 )利用线面垂直的判定定理证明;( 2 )根据二面角的平面角的定义, 及线线角的定义解。 【解析】 (1) 如图, 因为 ...

考点35 直线、平面垂直的判定及其性质

圆学子梦想 铸金字品牌 【解题提示】( 1 )利用线面垂直的判定定理证明;( 2 )根据二面角的平面角的定义, 及线线角的定义解。 【解析】 (1) 如图, 因为 ...