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线面垂直互动解题


线面垂直互动解题
山东 孙中权 例 1.如下图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°, ∠BSC=90°,求证:平面 ABC⊥平面 BSC. 剖析:本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路,即先证明其中一个平面 经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线,故作辅助线.根据已知条件 的特点,取 BC 的

中点 O,连结 AO、SO,既可证明 AO⊥平面 BSC,又可证明 SO⊥平面 ABC.另一条是从定义出发的思路, 即证明两个平面所成的二面角是直二面角, 注意到∠AOS 是二面角 A—BC—S 的平面角,转化为证明∠AOS 是直角. 证法一:取 BC 的中点 O,连结 AO、SO.∵AS=BS=CS,SO⊥BC, 又∵∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC,从而 AO⊥BC. 设 AS=a,又∠BSC=90°,则 SO=

A

2 1 a.又 AO= AB 2 ? BO 2 = a 2 ? a 2 = 2 2
B O S C

2 a, 2 ∴AS2=AO2+SO2,故 AO⊥OS. 从而 AO⊥平面 BSC,又 AO ? 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BSC. 证法二:同证法一证得 AO⊥BC,SO⊥BC, ∴∠AOS 就是二面角 A—BC—S 的平面角.再同证法一证得 AO⊥OS,即∠AOS=90°. ∴平面 ABC⊥平面 BSC. 点评:本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外,本题中证明∠AOS=90°的方法 较为特殊,即通过“算” ,定量地证得直角,而不是通过位置关系定性地推理出直角,这也 是立体几何中证明垂直的一种重要方法. S 例 2.如图,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC. (1)求证:AB⊥BC; (2)若设二面角 S—BC—A 为 45°,SA=BC,求二面 角 A—SC—B 的大小. A (1)证明:作 AH⊥SB 于 H, ∵平面 SAB⊥平面 SBC,∴AH⊥平面 SBC. 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC. SA 在平面 SBC 上的射影为 SH,∴BC⊥SB.又 SA∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. (2)略 点评:证明两个平面垂直的常见方法: (1)根据定义,证其二面角的平面角是直角; (2)根据判定定理,证明一个平面经过另一个平面的垂线. 例 3.已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过 A 点作 AE⊥PC 于点 E,求证:AE⊥平面 PBC. P 证明:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC.而 PC∩AC=C,∴BC⊥平面 PAC. 又∵AE 在平面 PAC 内,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE,且 PC∩BC=C, E ∴AE⊥平面 PBC.
A C

E H C

B

.
O

B


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