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数学3.2《导数的计算》教案(新人教A版选修1-1)

时间:2015-04-02


§3.2
【高效预习】 (核心栏目)

导数的计算

“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶 【关注.思考】 1.阅读课本第 81——82 页,总结四个常用 函数的导数公式, 认真阅读导数公式的推导 过程,这四个常用函数有什么共同的特征, 其导数有什么意义? 细节提示:利用导数的定义求解四种函 数的导数,对照函数图象,把握住导数的物 理意义和几何意义; 四种常用函数实际上都 是幂函数,探讨规律时,应把导函数的系数 与幂指数与原函数进行对比. 【领会.感悟】 1.这四种函数实质上都是特殊的幂函 数,它们的导函数的系数为幂函数的指 数,指数为幂函数的指数减去 1 所的数 值; 函数的导数的几何意义是函数图象在 该点处的切线的斜率

【精读·细化】 2.认真阅读教材 83 页,记住基本初等 函数的导数公式, 注意各公式之间的联 系, 特别注意对数函数与指数函数的导 函数. 细节提示:前面四个常见函数的导函数 实际上就是公式 1、2 所对应公式,对 数函数的导函数与指数函数的导函数 形式不同,应注意两者之间的区别.

【领会·感悟】 2. 基本初等函数的导数公式是我 们求解函数导数的基础,要记准 确,记牢,才可能在运算过程中不 出现错误。 例 1 是导数的简单应用.

【精读·细化】 3.认真阅读教材 84——85 页,识记到 数的运算法则,两个函数的和(差)与 积的导数的形式一致吗?两函数的商 的导数有什么特征?它们成立的前提 条件是什么. 细节提示:两个函数和(差)与积的导 数的形式是不一致的, 特别要注意两函 数积的导数, 两函数上的导数的特征非 常明显, 注意法则成立的前提是两函数 的导数都存在.

【领会·感悟】 3. 深刻理解和掌握到数的运算法 则,在结合给定函数自身的特点, 才能有效地进行求导运算;理解和 掌握求导法则与公式的结构规律 是灵活进行求导的前提。

第 1 页 共 15 页

【学习细节】 (核心栏目)

A.基础知识
导数的计算 知识点 1 几个常用函数的导数 【情景引入】化学中常用 PH 表示不同液体的酸碱性。 PH 与液体中氢离子的浓度 x (单位:mol/L)的关系是 PH ? ? lg x 。当 PH ? 3 时,氢离子浓度的瞬时变化率是多少? 由前面所学知识可知, 导数的几何意义是曲线在某一点处切线的斜率, 物理意义是运动 物体在某一时刻的瞬时速度。根据瞬时变化率的意义,上述问题就是要求函数 y ? ? lg x 在

x ? 3 处的导数。那么对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数?
【探究】根据导数的定义,求函数 y ? f ( x) 的导数,就是求出当 ?x 趋近于 0 时, 所趋于的那个定值。求函数的导数的流程图: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;

?y ?x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim 但是由导数的定义去求太复杂了。所以我们要 ?x ?0 ?x
(2)求平均变化率
王新敞
奎屯 新疆

去寻求一种能够简单求出函数导数的方法。 【思考】对于几个常见的函数常数函数、一次函数、二次函数以及倒数函数,如何求解 它们的导数? 【引导】 显然要根据导数的定义来求.求函数的导数的流程图: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)
王新敞
奎屯 新疆

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim ?x ?0 ?x
(2)求平均变化率 【探究 1】函数 y ? f ( x) ? c 的导数

王新敞
奎屯

新疆

y
王新敞
奎屯 新疆

y=c

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
因为

O 图1

x

第 2 页 共 15 页

知识拓展 常数函数的导数为 0,其几何意义为 f ( x) ? c 在任意点的切线平行于 x 轴,其斜率为零。 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即一直处于 静止状态。 (如图 1) 【探究 2】 函数 y ? f ( x) ? x 的导数

y y=x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0
因为 知识拓展

O 图2

x

y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率都为 1.任意一点处的切线都是函数图象本身.
若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体作瞬时速度为 1 的匀速运动。 (如 图 2)

【例题 1】在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据 导数定义,求它们的导数。 (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关? 【解析】结合函数图象,从导数的几何意义分析。 【答案】函数 y ? 2 x 的导数

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) 2( x ? ?x) ? 2 x ? ? ?2 ?x ?x ?x ?y ? lim 2 ? 2 ; 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
因为 同理可求得函数 y ? 3x 的导数 y? ? 3 ; 函数 y ? 4 x 的导数

y=4x y y=3x

y=2x

y? ? 4 。
如图,画出它们的图象, (1)从图象上看,它们的导数分别表示各条直线的斜率; (2)在这三个函数中, y ? 5 x 增加得最快, y ? 2 x 增加得最 慢;
O x

第 3 页 共 15 页

(3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与 k 有关,当 k ? 0 时, k 越大,增加得就越快;当

k ? 0 时, k 越小,减小的就越慢.
【探究 3】 函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

y

因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x
2 2

?

x ? 2 x ?x ? ?x ? x ? 2 x ? ?x ?x
2

y=x2

所以

y? ? lim

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0

x O 图3

知识拓展

y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图象上点 ( x, y ) 处切线的斜率为 2 x ,说明随着 x 的变化,切线的斜率也
在变化。另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看, y? ? 2 x 标明: 当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 减少得越来越慢; 当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 增加得越来越快。 若函数 y ? x2 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释 为某物体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x 。 (如图 3) 【探究 4】函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x
y

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)2 ? x 2 x ? ?x x 因为 ? ? ? ?x ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ?x
所以

y=

1 x

y? ? lim

?x ?0

?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ? x ? 0 ?x x ? x ?x x

O 图4

x

第 4 页 共 15 页

知识拓展

1 的图象是双曲线,所以图象上点 ( x, y ) 处的切线的斜率随着 x 的变化而变化。 x 1 当 x ? 0 时,随着 x 的不断增加,切线的斜率由负值不断增大,函数 y ? 的值减少得越来越慢; x 1 随着 x 的不断减小,切线的斜率由负值不断减小,函数 y ? 的值增加得越来越快; x 当 x ? 0 时,与上面情况正好相反.(如图 4)
因为 y ? 【例题 2】 y ? x2 的斜率等于 2 的切线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 )

B. 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 0

【解析】 先求出导函数,然后令导数值等于 2 便可求得点的横坐标。 【答案】 设切点为 ( x0 , y0 ) , ∵ y? ? ( x )? ? 2 x
2

∴ y? |x? x0 ? 2x |x? x0 ? 2x0 令 2x0 ? 2 ,解得 x0 ? 1 ∴切点为 (1,1) ∴切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,故选 C.

知识点 2 知识归纳

基本初等函数的导数

1.若 f ( x) ? c ,则 f ?( x) ? 0 ; 2.若 f ( x) ? x ( n ? Q ),则 f ?( x) ? nx
n * n?1



3.若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x ; 思维拓展 1.以上几个常用函数的导数在求导数时,可直接应用不必再用定义去求导; 4.若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 2.有些式子不能直接应用导数的公式,可以变形之后应用导数公式; 知识归纳
2 n * x ?( f ln ( xa ) ? ( a? ?x 0 ); xx 3. 、 是函数 f ( x) ? x ( n ? Q )的特殊情况,它们的 f (f x ? x? f) ?、 5 .若 f ( x) ? a ,则 ?( c xx )) 0a 1函数 ,则 ;
?1

1 x

?( x) ?( e f?( ?1e 6 ,则 导数也是 n ,则 ? Q* )f的导数特殊情况 f ( xf )( ? xn x xx ))? 2.若 ;; ;
x x

1 x ln a 1 的特殊情况,在记忆或应用是要注意对照。 1 x ,则 f ?( x) 1页 第 5 共 15 页 f( (x x) )? ? ln 8 。 ? 4.若 .若 f ,则 f ?( x ) ? ? 。 2 从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 x x x
x

2 是函数 ?( 1x )? ?a 7 .若 (a ? 0且a ? )) ; f( ? ln x 是 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) log 4. 的特殊情况;函数 fx ( xx ) f ?( ) ? 2 x; a ,则 3函数 .若 f ,则 f( (x x) )? ?e x

x

x

【例题 3】求下列函数的导数 (1) y ? x7 ; (2) y ? x10 ; (3) y ?

1 ; (4) y ? 3 x . x2

【解析】先把函数化成幂函数的形式,然后由基本初等函数的导数公式可解。 【答案】 (1) y? ? 7 x6 ; (2) y? ? 10 x9 ; (3)∵ y ? x ?2 ,∴ y? ? ?2 x?3 ; (4)∵ y ? x 3 ,∴ y? ?
1

1 ?2 x 3. 3

【例题 4】假设国家在 20 年期间的年通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与时间 t (单 位:年)有如下函数关系: p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的

p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01 )?
【解析】在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度即为函数在 t ? 10 时的导数值. 【答案】 根据基本初等函数导数公式表,有

p?(t ) ? 1.05t ln1.05 .
所以, p?(10) ? 1.05 ln1.05 ? 0.08 (元/年)
10

因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨. 知识点 3 导数运算法则 函数的差、积、商的求导法则: (1) (2) (3)

? f (x) ? g(x)?' ? f '( x) ? g '( x)

?cf (x)?' ? cf (x)' ? f (x)g(x)?' ? f '( x) g( x) ? f ( x) g '( x)
'

? f ( x) ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) (4) ? ? ? g ( x) 2 ? g ( x) ?

( g ( x) ? 0)

导数运算法则的实质是可把加、减、乘、除的运算转化为导数的加、减、乘运算,从而 降低了运算难度,加快了运算速度,简化了计算方法.以上法则,称为可导函数四则运算的求 导法则; 说明: 牢记公式的形式 ? f ( x) g ( x)? ' ? f ?( x) g?( x) , 避免与 ? f ( x) ? g ( x)? ' ? f '( x) ? g '( x)

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的混淆; 知识拓展 1.和或差的导数运算,可推广到多个; 2.若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导;若两个函数不可导,则它 们的和、差、积、商不一定可导. 如,设函数 f ( x) ? sin x ?

1 1 , g ( x) ? cos x ? ,则 f ( x), g ( x) 在 x ? 0 处均不可导,但它们的和 x x

f ( x) ? g ( x) ? sin x ? cos x 在 x ? 0 处可导.
【例题 5】求函数 y ? x3 ? 2 x ? 3的导数。 【解析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则便可求出。 【答案】因为 y? ? ( x3 )? ? (2 x)? ? (3)? ? 3x2 ? 2 所以函数 y ? x3 ? 2 x ? 3的导数为 y? ? 3x2 ? 2 【例题 6】日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不 断 增 加 . 已 知 将 1 吨 水 净 化 为 纯 净 度 为 x% 时 所 需 费 用 ( 单 位 : 元 ) 为

c( x) ?

5284 (80 ? x ? 100) . 100 ? x

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% ; (2) 98% . 【解析】所需净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. 【答案】 c?( x) ? (

5284 )? 100 ? x

?

5284? ? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)? (100 ? x)2 0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) (100 ? x)2 5284 (100 ? x) 2 5284 ? 52.84 ,所以,纯净度为 90% 时,费用的瞬时变化率是 (100 ? 90) 2

?

?

(1)因为 c?(90) ?

52.84 元/吨;
(2) 因为 c?(98) ?

5284 ? 1321, 所以, 纯净度为 98% 时, 费用的瞬时变化率是1321 (100 ? 98)2

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元/吨. 函 数 f ( x ) 在 某点 处导 数的 大小 表示 函数 在此 点附 近变 化的 快慢 . 有上述 计算可 知,

c?(98) ? 25c?(90) ,他表示纯净度为 98% 左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为 90%
是净化费用变化的 25 倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用 增加的速度也越快.

B.综合拓展
例 1 求下列函数的导数. (1) y ? 5 ? 4 x3 ; (2) y ? 3x2 ? x cos x ; (3) y ? tan x ; (4) y ? e x ln x ; (5) y ? lg x ?

1 . x2

解析:仔细观察和分析各函数表达式的结构特征,利用求导运算法则,联系基本函数的 求导公式,对不直接具备求导法则条件的,可先进行适当的恒等变形。 答案:(1) y? ? ?12 x 2 ; (2) y? ? (3x ? x cos x)? ? 6x ? cos x ? x sin x ;
2

(3)∵ y ? tan x ?
x

sin x sin x cos 2 x ? sin 2 x 1 )? ? ? ,∴ y? ? ( ; 2 cos x cos x cos x cos 2 x
x x

(4) y? ? (e ln x)? ? e ? ln x ? e ? (5) y? ? (lg x ?

1 1 ? e x (ln x ? ) ; x x

1 ? 1 1 1 3 ? ? ? ) ? (lg x ) ? ( ) ? ? 2 x x2 x2 x ln10

例 2 求下列函数的导数: (1) y ? x( x ?
2

1 1 1 ? 3); ? 1) . (2) y ? ( x ? 1)( x x x

解析:先把函数进行化简,然后再利用导函数的运算法则求解. 答案: (1)∵ y ? x( x ?
2

1 1 1 ? 3 ) ? x3 ? 1 ? 2 , x x x

∴ y? ? 3 x ?
2

2 ; x3

(2)∵ y ? ( x ? 1)(

1 1 1 ? 1) ? x ? ? x? ?1 x x x

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? ?x ? x
∴ y? ? ?

1 2

?

1 2

1 ?1 1 ?3 1 1 x 2 ? x 2 ?? (1 ? ) 2 2 x 2 x

思维技巧 求函数导数,必须熟记基本导数公式,并掌握各种求导法则,会化繁为简,用简单的方法求出复 杂函数的导数.在可能的情况下,求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则.所以在求导之前,应对 函数进行化简,然后再求导,这样可减少运算. 例 3 (1)求曲线 y ? sin x 在点 P( (2)物体运动方程为 s ?

? 3 , )处切线的斜率 k; ? 2

1 4 t ? 3 ,求当 t ? 5 时物体运动的瞬时速率 v. 4

解析: 答案本题带有导数应用的味道,必须从导数的概念、 几何意义入手.函数在某点处的导 数为曲线的切线的斜率。运动方程在某点处的导数为物体运动的瞬时速度。 答案: (1) k ? y? |
?
3

x?

? cos x |

x?

?
3

?

1 ; (2) v ? s? |t ?5 ? t 3 |t ?5 ? 125 . 2

思维技巧 1.利用公式求得的导数实际上是导数通式,即导函数,而不是某点处的具体导数,要把某点横坐 标 x0 代入,方可求得此点处的导数 f ?( x0 ) 。 2.求曲线上某点的切线的斜率,方法有很多种,可以利用函数 f ( x ) 在 x ? x0 处的导数的定义求, 可以用导数的定义求,也可以用常见函数的导数公式求,但在这些方法中,以后者为最佳方法,所以, 要熟记常见函数的导数公式.
2 例 4. 已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 通过点 P(1,1) ,且在点 Q(2, ?1) 处与直线 y ? x ? 3 相

切,求实数 a, b, c 的值. 分析:解决问题的关键在于理解题意,转化、 沟通条件与结论,将二者统一起来.题中 涉及三个未知数,题设中有三个独立条件,因此,通过解方程组来确定参数 a 、 b 、 c 的 值是可行的途径. 解:∵曲线 y ? ax ? bx ? c 通过点 P(1,1)
2

∴a ?b ? c ?1 ∵ y? ? 2ax ? b , ∴ y? |x?2 ? 4a ? b . ∴ 4a ? b ? 1 .





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又曲线过 Q(2, ?1) 点,∴ 4a ? 2b ? c ? ?1 . 联立①②③解得 a ? 3, b ? ?11, c ? 9 .



例 5: 已知 P(?1, ?1) 、 求与直线 PQ 平行的曲线 y ? x2 Q(2, 4) 是曲线 y ? x2 上的两点, 的切线方程. 解析:此题的关键问题是求切点的坐标,方法就是利用 y ? xn 的导数求解,做题时要 注意总结. 答案: y ? x2 的导数为 y? ? 2 x ,设切点 M ( x0 , y0 ) ,则 y? |x? x0 ? 2x0 . ∵直线 PQ 的斜率 k ? ∴ k ? y? |x? x0 ? 2x0 ? 1

4 ?1 ? 1 ,又切线平行于直线 PQ , 2 ?1

1 2 1 1 ∴切点为 M ( , ) 2 4 1 1 ∴切线方程为 y ? ? x ? ,即 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 . 4 2 ? 1 例 6.求过曲线 y ? cos x 上点 P ( , ) 且与过该点的切线垂直的直线方程。 3 2 解析: 可直接利用求导数的导数求过 P 的切线的斜率,再根据垂直关系得到所求直
解得: x0 ? 线斜率. 答案: ∵ y ? cos x ∴ y? ? ? sin x ∴ y? |

x?

?
3

? ? sin

?
3

??

3 2
2 , 3

∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为

所求直线方程为 y ?

1 2 ? 2? 3 ? ( x ? ) ,即为 2 x ? 3 y ? ? ? 0. 2 3 3 2 3

易错点:注意 (cos x)? ? ? sin x 中符号为负. 例 7 已知函数 y ? a sin x ? b 的图象过点 A(0, 0) 、 B (

3? , ?1) ,试求函数过原点的切 2

线方程. 解析:因为函数的图象经过点 A 和 B ,所以 A 和 B 的坐标满足函数的方程,从而求出

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参数 a , b ,得到函数解析式.这一过程体现了方程思想,在解题时,要注意思考、体会. 答案:∵ y ? a sin x ? b 的图象过点 A(0, 0) 、 B (

3? , ?1) , 2

?0 ? a sin x ? b ?a ? 1 ? ∴? ,解得 ? 3? ?1 ? a sin ?b ?b ? 0 ? ? 2
∴ y ? sin x 又∵ y? ? cos x ,所以 y? |x ?0 ? 1 . ∴切线方程为 y ? x .

【作业】
□ 课堂作业
1. (知识点 3)下列运算正确的是 A. (ax2 ? bx ? c)? ? a( x2 )? ? b(? x)? B. (sin x ? 2 x2 )? ? (sin x)? ? (2)?( x2 )? C. (cos x sin x)? ? (sin x)? cos x ? (cos x)? cos x

cos x (cos x)? ? ( x 2 )? D. ( 2 )? ? )′ x x2
2. (知识点 2,3)若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A. sin ? B. cos ? C. sin ? ? cos ? ) D. 2 sin ? )

3. (知识点 2,3) f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.

19 3 1 sin 2 x

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3 1 sin 2 x

4. (知识点 2,3) y ? cot x 的导数是 A. y ? ? B. y? ? ?

1 cos 2 x

C. y ? ? ?

D.

y? ?

1 cos 2 x


3 5. (知识点 2,3)曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点

的坐标为(

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A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4)

B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)

6. (知识点 2)若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 7. (知识点 2,3)曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 8. (知识点 2,3)求函数 y ? (1 ? cos 2 x)3 的导数。 □ 课后作业 9.(知识点 2,3)设 y ? ?2e x sin x ,则 y? 等于( A. ?2e cos x
x

) C. 2e sin x
x

B. ?2e sin x
x

D.

?2ex (sin x ? cos x)
10. (知识点 2,3)若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x) 的图 象是( )

11.(知识点 2,3)已知曲线 y ? 线方程只能是 A. 5x ? 5 y ? 4 ? 0

1 5 x 上一点 M 处的切线与直线 y ? 3 ? x 垂直,则此切 5
C. 5x ? 5 y ? 4 ? 0 D.

B. 5x ? 5 y ? 4 ? 0

5x ? 5 y ? 4 ? 0
12. (知识点 2, 3) 抛物线 y ? x 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为__________.
2

第 12 页 共 15 页

13.(知识点 2,3) y ?

x 的导数是__________. 4x

14. (知识点 1, 2, 3) 已知 f ( x) ? x2 ? ax ? b , g ( x) ? x2 ? cx ? d , 又 f (2 x ? 1) ? 4 g ( x) , 且 f ?( x) ? g ?( x) , f (5) ? 30 ,求 g (4) . 15. (知识点 1,2,3)求函数 y ? (2 x ? 3)( x ? 2) ? (3x ? 1)(1 ? x) 在 x0 ? 3 处的导数. □ 家庭作业

16.(知识点 1,2,3)曲线 y ? x2 ? 1 上点 P 处的切线与曲线 y ? ?2 x 2 ? 1 也相切,求 点 P 的坐标.

【作业参考答案】
课堂作业答案: 1.A 分析:本题主要考查导数的运算公式和运算法则。熟记公式和法则可见 A 正确。 2. A 3.D 4. C

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ?
f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? 10 3 cos x ,再用 sin x

分析:本题要把 y ? cotx 变形为可用公式和法则的结构。 cot x ?

除法的运算法则求其结果。 5.C 设切点为 P 0 (a, b) , f ( x) ? 3x ? 1, k ? f (a) ? 3a ? 1 ? 4, a ? ?1 ,
' 2 ' 2

把 a ? ?1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? ?4 ;把 a ? 1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得

b ? 0 ,所以 P0 (1, 0) 和 (?1, ?4)
6. ?1 7.

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1
3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t ?a n ? ? ? 1 , ?? 4

3 ? 4

8.解: y ? (1 ? cos 2 x)3 ? (2cos2 x)3 ? 8cos6 x

y' ? 48cos5 x ? (cos x)' ? 48cos5 x ? (? sin x)
? ?48sin x cos5 x 。
□ 课后作业 x x x 9.D 分析:y′=-2(e sinx+e cosx)=-2e (sinx+cosx). 10.A 对称轴 ?

b ? 0, b ? 0, f ' ( x) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限 2

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1 ? 5 ? x 4 ? x 4 ,∴ x4 ? 1 ,解得 x ? ?1 . 5 1 1 ∴ M (1, ) 或 M (?1, ? ) . 5 5 1 1 ∴切线方程为 y ? ( x ? 1) ? 或 y ? ( x ? 1) ? ,即 5x ? 5 y ? 4 ? 0 或 5x ? 5 y ? 4 ? 0 . 5 5
11.D ∵ y? ? 12.

7 2 8

∵ y ? x2 ,∴ y? ? 2 x , 而抛物线 y ? x2 与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的切线

只 有 一 条 , 且 k ? 1 , 也 就 是 2x ? 1 , 这 个 切 点 坐 标 为 (

1 1 , ), 该 点 到 直 线 的 距 离 为 2 4

1 1 ? ?2| 7 7 2 4 d? = = 2 4 2 8 |
13.y′=

2.
直接利用公式及运算法则,可得.

1 ? x ln 4 4x

14. 题设中有四个参数 a, b, c, d ,为确定它们的值需要四个方程. 解:由 f (2 x ? 1) ? 4 g ( x) ,得

4x2 ? 2(a ? 2) x ? (a ? b ? 1) ? 4x2 ? 4cx ? 4d
于是有 ?

?a ? 2 ? 2c, ?a ? b ? 1 ? 4d ,

① ②

由 f ?( x) ? g ?( x) ,得 2 x ? a ? 2 x ? c , ∴a ?c. ③ 由 f (5) ? 30 ,得 25 ? 5a ? b ? 30 . ④ ∴由①③可得 a ? c ? 2 . 由④得 b ? ?5 , 再由②得 d ? ?
2

1 . 2

1 . 2 1 47 故 g (4) ? 16 ? 8 ? ? . 2 2
∴ g ( x) ? x ? 2 x ? 15.解析:先求函数的导数,再将 x0 ? 3 代入即可. 答案: y? ? [(2 x ? 3)( x ? 2) ? (3x ? 1)(1 ? x)]?

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? [(2 x ? 3)( x ? 2)]? ? [(3x ? 1)(1 ? x)]? ? (2 x ? 3)?( x ? 2) ? (2 x ? 3)( x ? 2)? ? (3x ? 1)?(1 ? x) ? (3x ? 1)(1 ? x)? ? 2( x ? 2) ? (2 x ? 3) ? 3(1 ? x) ? (3x ? 1)
? ?2 x ? 3
∴ y? |x0 ?3 ? ?2 ? 3 ? 3 ? ?3 □ 家庭作业

16 设出 P 点坐标,利用导数的几何意义和与曲线 y ? ?2 x 2 ? 1 也相切,求出 P 点坐标即可 解:设 P 点坐标为 (a, a2 ? 1) ,由 y ? x2 ? 1 ,得 y? ? 2 x . 过 P 点的切线方程为 y ? (a2 ? 1) ? 2a( x ? a) ,即 y ? 2ax ? a2 ? 1 , 由?
2 ? ? y ? 2a ? a ? 1 ? 2 x2 ? 2ax ? a2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? ?2 x ? 1

由相切知Δ =0,即 a ? ?

2 3 , 3

∴ P 点为(

2 3 7 2 3 7 , ),(- , ). 3 3 3 3

【教材习题参考答案】

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