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高中数学公式对数的性质及其公式

时间:2013-10-03


高中数学公式对数的性质及其公式
来源:网络资源 2009-10-10 16:55:04 [标签:数学公式 公式]高考热点资讯 免费订阅

用^表示乘方,用 log(a)(b)表示以 a 为底,b 的对数 *表示乘号,/表示除号 定义式: 若 a^n=b(a>0 且 a≠1) 则 n=log(a)(b) 基本性质: 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 推导 1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入 a^n=b) 2. MN=M*N 由基本性质 1(换掉 M 和 N) a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 3.与 2 类似处理 MN=M/N 由基本性质 1(换掉 M 和 N) a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 4.与 2 类似处理 M^n=M^n 由基本性质 1(换掉 M) a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 其他性质: 性质一:换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 推导如下

N=a^[log(a)(N)] a=b^[log(b)(a)] 综合两式可得 N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因为 N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 性质二:(不知道什么名字) log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下 由换底公式[lnx 是 log(e)(x),e 称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n) 由基本性质 4 可得 log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导完) 公式三: log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下: 由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以 b 为底的对数,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)*log(b)(a)=1 三角函数的和差化积公式 sinα +sinβ =2sin(α +β )/2·cos(α -β )/2 sinα -sinβ =2cos(α +β )/2·sin(α -β )/2 cosα +cosβ =2cos(α +β )/2·cos(α -β )/2 cosα -cosβ =-2sin(α +β )/2·sin(α -β )/2 三角函数的积化和差公式 sinα ·cosβ =1/2[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ·sinβ =1/2[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ·cosβ =1/2[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ·sinβ =-1/2[cos(α +β )-cos(α -β )]


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