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2015年高中数学新课标一轮复习10




函数的图象
则 f(x)的图象

? 1 ? ,x≠2, 1.(2014· 铁岭模拟)定义在 R 上的函数 f(x)=?|x-2| ? ?1,x=2,

与直线 y=1 的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),且 x1<x2<x3,则下列说法错误 的是( ) B.1+x2-x3

=0 D.x1+x3>2x2

2 2 A.x2 1+x2+x3=14

C.x1+x3=4 [答案] [解析] D

1 当 x≠2 时,令 =1,解得 x=3 或 1. |x-2|

当 x=2 时,由 f(x)=1,解得 x=2. 易知,x1=1,x2=2,x3=3,故 D 错误. 故应选 D. 2.(2014· 济南模拟)函数 y=ln ex-e-x 的图象大致为( ex+e-x )

[答案] C [解析] ex-e-x 由 x -x>0 得 ex-e-x>0, e +e

即 ex>e-x, 所以 x>-x,解得 x>0,排除 A,B. ex-e x 又因为 x -x<1. e +e


ex-e-x 所以 y=ln x -x<0. e +e 故应选 C.
2 ?x +2x-1,x≥0, 3.已知函数 f(x)=? 2 则对任意 x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|, ?x -2x-1,x<0,

下列不等式成立的是( A.f(x1)+f(x2)<0 C.f(x1)-f(x2)>0 [答案] [解析] D

) B.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0

函数 f(x)的图象如图所示,且 f(-x)=f(x),

从而函数 f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数. 又 0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0. 故应选 D. ?m 1-x2,x∈?-1,1], 4.已知以 T=4 为周期的函数 f(x)=? 其中 m>0. ?1-|x-2|,x∈?1,3], 若方程 3f(x)=x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( ? 15 ? ? A.? , 3 ? 3 ? ?4 8? C.?3,3? ? ? [答案] B ? 15 ? ? B.? , 7 ? 3 ? D.(2, 7) )

y=f?x?, ? ? x [解析] f(x)=3有 5 个解, 利用函数与方程思想可转化为? x y= ? ? 3 有 5 个的问题,如图所示.

的交点

y=f(x)为分段函数,每个周期都是由半个椭圆和一个折线组成的.取极限, 当 a 取得最小值在图中第二个周期中半个椭圆(相当于第一个周期中椭圆向右平 x 移 4 个单位即 y=m 1-?x-4?2)与 y=3相切,此时恰有 4 个交点,这是最小的 ?y=m 1-?x-4?2, ? 边界值? x y= , ? ? 3 15 0,得 m=± 3 , 15 15 x ∵m>0,∴m= 3 ,即 m> 3 ;当 a 值变大时,在第三个周期与 y=3相切 ?y=m 1-?x-8?2, ? 时有 6 个交点, 同理? x y= , ? ? 3 1 ? ? 消去 y 得到?1+9m2?x2-16x+63=0, ? ? 1 ? ? 消去 y 得到?1+9m2?x2-8x+15=0,令判别式 Δ= ? ?

15 解得 m= 7,即 m< 7,所以 3 <m< 7, 故应选 B. ?a,a-b≤1, 5.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x)=(x2 b , a - b >1 , ? -2)?(x-1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( ) B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]

A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2] [答案] [解析] B

由 x2-2-(x-1)≤1,得-1≤x≤2;则由 x2-2-(x-1)>1,得 x<

2 ?x -2?-1≤x≤2?, ? -1 或 x>2,所以根据新定义函数知 f(x)= ?x-1?x<-1或x>2?,

其函数图象如图所示,

当-2<c≤-1 或 1<c≤2 时,函数 y=f(x)的图象与 y=c 有两个交点,所以 此时函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 故应选 B. 6.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x) ? 1 3? =x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为 ? ? ( A.5 C.7 [答案] [解析] B ? 1 3? 在同一坐标系内画出函数在?-2,2?上的简图,图象交点的个数即 ? ? B.6 D.8 )

是 h(x)零点的个数. ∵f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. ∵f(x)=f(2-x), ∴f(-x+2)=f(-x), ∴f(x)=f(x+2), ∴f(x)是周期函数,且周期为 2. ∵当 x∈[0,1]时,f(x)=x3, ∴当 x∈[-1,0]时,f(x)=-x3, 3? ? ∴x∈?1,2?时,f(x)=f(x-2)=-(x-2)3. ? ?

∵g(x)=|xcos(πx)|, 1? π? ? ? ∴g(-x)=g(x),即 g(x)是偶函数,x∈?0,2?时,πx∈?0,2?,cos πx>0,g(x) ? ? ? ? ?1 3? ?π 3π? =xcos πx,x∈?2,2?时,πx∈?2, 2 ?,cos πx<0,g(x)=-xcos πx.在同一坐标系 ? ? ? ? ? 1 3? 内画出函数在?-2,2?上的简图,观察交点个数为 6 个. ? ? ? 1 3? ∴h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数有 6 个. ? ?

故应选 B. 7.已知函数 f(x)满足 f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8. 设 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max(p,q)表示 p,q 中的较大 值,min(p,q)表示 p,q 中的较小值),记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B=( ) B.a2+2a-16 D.16

A.a2-2a-16 C.-16 [答案] C [解析] -8x+4.

本选择题宜采用特殊值法.取 a=-2,则 f(x)=x2+4,g(x)=-x2

结合图象从而得出 H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大 值为两图象左边交点的纵坐标, 再将两函数图象对应的方程组成方程组,求解即 得. ? ?x=0, ?x=-4, ?x +4=y, 由? 2 解得? 或? ?y=4 ?y=20, ?-x -8x+4=y, ? ∴A=4,B=20,A-B=-16. 故应选 C.
2

8.已知两条直线 l1:y=a 和 l2:y=

18 (其中 a>0),l1 与函数 y=|log4x| 2a+1

的图象从左至右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log4x|的图象从左至右相交于点 C, n D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 m,n.当 a 变化时,m的最小值为 ( ) A.4 C.211 [答案] C [解析] 难度较大. 设 A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则 xA= 本题主要考查函数的图象与性质和推理论证能力与运算求解能力, B.16 D.210



36 36 =2a+1+ -1≥2 2a+1 2a+1

? 36 ? ?2a+1??2a+1?-1=11,当且仅当 2a+1 ? ?

5 n =6,即 a=2时“=”成立,所以m的最小值为 211, 故应选 C. 1 ? ?x+ ,x>0, 9.已知函数 f(x)=? x ? ?x3+3,x≤0, 的个数不可能为( A.3 [答案] [解析] A 1 因为 2x2+x≥-8,设 y=2x2+x, ) B.4 C.5 D.6 则关于 x 的方程 f(2x2+x)=a(a>2)的根

问题变成 f(y)=a(a>2)的根的个数问题. 1 1 当 y=-8时 x 只有一个根, y>-8时 x 有两个根,不同的 y 对应不同的 x, 1 ? 1 ? 因为 y+y (y>0)的最小值是 2,y3+3?-8≤y≤0?的最大值是 3, ? ?

所以当 2<a≤3 时,y 有 2 个或者 3 个根,此时 x 可以有 4,5,6 个根. 当 a>3 时 y 有 2 个根,x 有 4 个根.所以根的个数不可能是 3, 故应选 A. 1 ?π ? 10. 已知 f(x)=4x2+sin?2+x?, f′(x)为 f(x)的导函数, 则 f′(x)的图象是( ? ? )

[答案]

A

1 1 ?π ? 1 [解析] f(x)=4x2+sin?2+x?=4x2+cos x,f′(x)=2x-sin x. ? ? π π π ?π? 1 π 易知该函数为奇函数, 所以排除 B, D.当 x=6时, f′?6?=2×6-sin6=12- ? ? 1 2<0,可排除 C. 故应选 A. 11.函数 f(x)= 2-x 的图象大致为( 2-x-1 )

[答案] [解析]

A 本题考查函数的图象,通过研究函数的性质明确其图象特征是解答

此类题目的关键,难度中等. 2-x-1+1 1 1 将解析式变形整理, f(x)= -x =1+ -x , 当 x>0 时, f(x)=1+ -x 2 -1 2 -1 2 -1 ∈(-∞,0),当 x<0 时,f(x)=1+ 故应选 A. 1 ∈(1,+∞),只有 A 选项符合题意, 2 -1
-x

1 π 12.已知函数 f(x)=2x-cos x,则方程 f(x)=4所有根的和为( A.0 [答案] C [解析] 本题考查函数的图象与性质,难度较大. π π 3π B.4 C.2 D. 2

)

π 1 π 依题意,方程 f(x)=4,即 cos x=2x-4,在同一坐标系下画出函数 y=cos x 1 π 3π 1 π π 与 y=2x-4的大致图象,注意到当 x≥ 2 时,y=cos x≤1,y=2x-4≥2>1,即 1 π π 1 此时 y=cos x 与 y=2x-4的图象必无交点;当 x<-2时,y=cos x≥-1,y=2x π π 1 π -4≤-2<-1,即此时 y=cos x 与 y=2x-4的图象必无交点,结合图象可知, 1 π π ?π ? 它们的图象只有唯一公共点?2,0?, 即方程 cos x=2x-4有唯一解 x=2, 方程 f(x) ? ? π π =4所有的实根的和等于2, 故应选 C. 13.函数 f(x)=x· ecos x(x∈[-π,π])的图象大致是( )

[答案] [解析]

A 易知函数 f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,只有 A,C 正确,

π π π π ?π? π 又 f?2?=2e0=2,f(π)=πe-1= e,而2>e , ? ? ?π? ∴f?2?>f(π),只有 A 符合要求. ? ? 故应选 A.

14.用 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值.若函数 f(x)=min{|x|,|x+t|} 1 的图象关于直线 x=-2对称,则 t 的值为( A.-2 B.2 )

C.-1 [答案] [解析] D

D.1

本题考查数形结合思想及对知识的迁移应用能力.

据题意由 min{a,b}的定义,在同一坐标系内分别作出函数 y1=|x|,y2=|x +t|的图象,则在相同的 x 取值范围内,图象在下方的构成函数 y=f(x)的图象, 如图,

? 1 1? 将函数 y2=|x+t|的图象进行平移至点 A?-2,2?处时,粗线部分即为函数 y ? ? 1 ? 1 1? =f(x)的图象,此时图象关于直线 x=-2对称,易知点 A?-2,2?在直线 y=x+t ? ? 上,代入求得 t=1. 易错点:本题若考生没有数形结合的意识及通过运动变化的角度去分析,思 维易受阻. 15.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性. (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根, 求实数 a 的取值 范围.
2 ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, [解析] f(x)=? 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?,

作出图象如图所示.

(1)递增区间为[1,2),[3,+∞),递减区间为(-∞,-1),[2,3). (2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a, 设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象,

则当直线 y=x+a 过点(1,0)时,a=-1; 当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时, ?y=x+a, 由? 2 ?y=-x +4x-3, 得 x2-3x+a+3=0. 由 Δ=9-4(a+3)=0, 3 得 a=-4. 3? ? 由图象知,当 a∈?-1,-4?时,方程至少有三个不等实根. ? ?


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