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讲义11含绝对值的一次不等式


第十五讲 含绝对值的一次不等式
思考:联系你所学习的知识,试试你能解决下面的问题吗? (1)解关于 x 的不等式 x ? a ( a ? 0 ) 例 1 .解下列不等式(1) x ? 5 (2)解关于 x 的不等式 x ? a ( a ? 0 )

(2) x ? 2

解: (1)当 x>0 时, x≤5 ,此时不等式的解

集为 0<x≤5; 当 x=0 时, 0≤5 ,此时 x=0 当 x<0 时, x≥-5 ,此时不等式的解集为-5≤x<0 综上所述,不等式解集为: ? 5 ? x ? 5 (2)当 x>0 时, x>2 ,此时不等式的解集为 x>2

当 x=0 时, 0>2 ,此时不等式无解 当 x<0 时, x<-2 ,此时不等式的解集为 x<-2 综上所述,不等式解集为: x ? 2或x ? ?2 另解:我们还可以利用绝对值的几何意义得出上两题的解集。 (1)

不等式解集为: ? 5 ? x ? 5 (2)

不等式解集为 x ? 2或x ? ?2 说明:一般地,如果 a>0,不等式 x ? a 的解集为 x>a 或 x<-a, x ? a 的解集为- a<x<a;如果 a<0,不等式 x ? a 的解为有任意解, x ? a 的解集为无解。 例 2.解下列含绝对值的不等式。 (1) 2x ?1 ? 3 (2)

2x ?1 ?4 3

(3)

3 1 ? 3x ? 1 ?2 4

解: (1)当 2x-1>0,即 x>

1 1 时, 2x-1<3 ,x<2 , 此时不等式的解集为 <x<2 2 2 1 1 当 2x-1=0 , 即 x= 时,0 <3 ,此时 x= 2 2 1 当 2x-1<0, 即 x< 时, -(2x-1)<3 ,x>-1 , 2
-1-

此时不等式的解集为-1<x< 综上所述,不等式解集为-1<x<2

1 2

另解: 因为 2x ?1 ? 3 ,所以 ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3

,解得 ? 1 ? x ? 2

说明:显然方法 1 较繁,方法 2 利用了绝对值的几何意义来解则十分简单。 (2) 当

2x - 1 1 2x - 1 13 13 ? 0, ? 4, x? 即 x> 时, , 此时不等式的解集为 x ? 3 2 3 2 2 2x - 1 1 ? 0 ,即 x= 时, 0 ? 4 ,此时不等式无解, 当 3 2 2x - 1 1 2x - 1 11 ? 0 ,即 x< 时, ? ? 4,x ? 当 , 3 2 3 2 11 此时不等式的解集为 x ? ? 2 11 13 综上所述,不等式解集为 x ? ? 或 x ? 2 2

另解: 因为 或x ?

2x - 1 2x - 1 11 2x ?1 ?4 或 ? ?4 , 所以 解得不等式解集为 x ? ? ? 4, 3 3 2 3

13 2

(3)由

3 1 ? 3x ? 1 ?2 4



1 ? 3x ? 3

1 2 时, 1 ? 3x ? 3 , x ? ? , 3 3 2 1 此时不等式的解集为 ? ? x ? 3 3 1 1 当 1 ? 3x ? 0 ,即 x ? 时, 0 ? 3 ,此时 x ? 3 3 1 4 当 1 ? 3x ? 0 ,即 x ? 时, ? ?1 ? 3x ? ? 3 , x ? , 3 3 1 4 此时不等式的解集为 ? x ? 3 3 2 4 综上所述,不等式解集为 ? ? x ? 3 3
当 1 ? 3x ? 0 ,即 x ? 另解:由

3 1 ? 3x ? 1 ?2 4



1 ? 3x ? 3 ,
2 4 ?x? 3 3

所以 ? 3 ? 1 ? 3x ? 3 解得不等式解集为 ? 例 3. x ? 2 ? 3x ?14

-2-

解:当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时, x ? 2 ? 3x ? 14 , x ? ?6 , 此时不等式的解集为 x ? ?2 当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时, 0 ? 8 ,此时 x ? ?2 当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时, ? ?x ? 2? ? 3x ? 14 , x ? ?4 , 此时不等式的解集为 ? 4 ? x ? ?2 综上所述,不等式解集为 x ? ?4

另解:由题意 ?

3x ? 14 ? 0 ? ?? ?3x ? 14? ? x ? 2 ? 3x ? 14

14 ? x?? ? ? 3 解得 ? x ? ?6 ? ? ? x ? ?4

所以不等式解集为 x ? ?4 例 4. x ? 2 ? 3x ? 14 解:当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时, x ? 2 ? 3x ? 14 , x ? ?6 ,此时不等式无解 当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时, 0 ? 8 ,此时不等式无解 当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时, ? ?x ? 2? ? 3x ? 14 , x ? ?4 , 此时不等式的解集为 x ? ?4 综上所述,不等式解集为 x ? ?4 例 5. x ? 5 ? x ? 2 ? 1 (利用“零点”分段法求解) 解:当 x ? ?2 时, ? ?x ? 5? ? ?x ? 2? ? 1 , 7 ? 1 ,此时不等式无解 当 ? 2 ? x ? 5 时, ? ?x ? 5? ? ?x ? 2? ? 1 , x ? 1 ,此时不等式解集为 1 ? x ? 5 当 x ? 5 时, ?x ? 5? ? ?x ? 2? ? 1 , ? 7 ? 1 ,此时不等式解集为 x ? 5 综上所述,不等式解集为 x ? 1 例 6. x ? 1 ? x ? 2 ? 3 解:当 x ? ?1 时, ? ?x ? 1? ? ?x ? 2? ? 3 , x ? ?1 ,此时不等式解集为 x ? ?1
-3-

当 ? 1 ? x ? 2 时, x ? 1 ? ?x ? 2? ? 3 , 3 ? 3 ,此时不等式无解 当 x ? 2 时, x ? 1 ? ?x ? 2? ? 3 , x ? 2 ,此时不等式解集为 x ? 2 综上所述,不等式解集为 x ? ?1 或 x ? 2 另解:利用绝对值与距离的关系

x ? 2 即 x 与 2 的差的绝对值,它可以表示数轴上 x 与 2 之间的距离。 x ? 1 即 x 与-1 的差的绝对值,它可以表示数轴上 x 与-1 之间的距离。
因为-1 与 2 之间的距离为 3,所以当 x ? ?1 或 x ? 2 时,x 与 2 之间的距离加上 x 与 -1 之间的距离大于 3,即原不等式的解集为 x ? ?1 或 x ? 2 例 7.解不等式组 ?

? x ?1 ? 2 ? x?2 ?0

⑴ ⑵

解:由(1)得: ? 2 ? x ? 1 ? 2 ,即 ? 3 ? x ? 1 ; 由(2)得: x ? ?2 或 x ? ?2 所以,原不等式组可化为两个不等式组:

?? 3 ? x ? 1 ? ? x ? ?2



?? 3 ? x ? 1 ? ? x ? ?2

解得原不等式组的解集为: ? 2 ? x ? 1 或 ? 3 ? x ? ?2 例 8. x ? x ? 3 解: x ? x ? 3 ? 0 当 x ? 0 时, ? x ? ?x ? 3? ? 0 , ? 3 ? 0 ,此时不等式无解 当 0 ? x ? 3 时, x ? ?x ? 3? ? 0 , x ?

3 3 ,此时不等式解集为: ? x ? 3 2 2

当 x ? 3 时, x ? ?x ? 3? ? 0 , 3 ? 0 ,此时不等式解集为 x ? 3 综上所述,不等式解集为 x ?

3 2

-4-


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