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初中数学竞赛辅导:代数式、恒等式、恒等变形

时间:2012-09-03


初中数学竞赛:代数式、恒等式、恒等变形
1.某商店经销一批衬衣,进价为每件 m 元,零售价比进价高 a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售 价的 b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是( C ) A.m(1+a%) (1﹣b%)元 B.m?a%(1﹣b%)元 C.m(1+a%)b%元 D.m(1+a%b%)元 解答:解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件 m(1

+a%)元,因调整后的零售价为原零售价的 b%, 所以调价后每件衬衣的零售价为 m(1+a%)b%元. 点评:考查列代数式,得到调价后的价格的等量关系是进价本题的关键. 2.如果 a、b、c 是非零实数,且 a+b+c=0,那么 A.0 B.1 或﹣1 C.2 或﹣2 D.0 或﹣2 解答:解:由已知可得:a,b,c 为两正一负或两负一正. ①当 a,b,c 为两正一负时: ②当 a,b,c 为两负一正时: 由①②知 所有可能的值为 0. ; . 的所有可能的值为( A )

点评:本题考查了分式的化简求值,涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点,注意分情况讨论未知数的取值,不 要漏解. 3.在△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若∠B=60°,则 A. B. C.1 D. 的值为( C )

解答:解:过 A 点作 AD⊥BC 于 D,在 Rt△ BDA 中,由于∠B=60°, ∴DB= ,AD=
2 2 2

,在 Rt△ ADC 中,DC =AC ﹣AD ,∴(a﹣ ) =b ﹣ C ,

2

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2

即 a +c =b +ac,∴



点评: 本题考查了特殊角的三角函数值、 勾股定理的内容. 在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方. 注 意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法. 4.设 a<b<0,a +b =4ab,则
2 2

的值为( A )

A. B. C.2 D.3 2 2 2 2 2 解答:解:∵a +b =4ab,∴a +b +2ab=(a+b) =6ab① ,得 =

∴a +b ﹣2ab=(a﹣b) =2ab②

2

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2

∵a<b<0,∴ab>0,a+b<0,a﹣b<0,



=

=3,∴

=


2 2

点评: 本题考查了完全平方公式及代数式的求值, 属于基础题, 关键利用已知条件 a +b =4ab 与完全平方公式 (a±b)
2

=a ±2ab+b 的联系找到与所求比值

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2

的关系.
2 2 2

5.已知 a=2002x+2003,b=2002x+2004,c=2002x+2005,则多项式 a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ca 的值为( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 解答:解:∵a=2002x+2003,b=2002x+2004,c=2002x+2005, ∴a﹣b=﹣1,b﹣c=﹣1,a﹣c=﹣2,

∴a +b +c ﹣ab﹣bc﹣ca= (2a +2b +2c ﹣2ab﹣2bc﹣2ca) , = [(a ﹣2ab+b )+(b ﹣2bc+c )+(a ﹣2ac+c )],= [(a﹣b) +(b﹣c) +(a﹣c) ], = ×(1+1+4) ,=3. 点评:本题主要考查公式法分解因式,达到简化计算的目的,对多项式扩大 2 倍是利用完全平方公式的关键. 6.设 a、b、c 为实数, A.大于 0 B.等于 0 C.不大于 0 D.小于 0 2 2 2 解答:解:因 x+y+z={(a﹣1) }+{(b﹣1) }+{(c﹣1) }+π﹣3>0, 则 x、y、z 中至少有一个大于 0, 点评:此题考查的知识点是完全平方公式,关键是把 x、y、z 相加,运用完全平方公式得出 x+y+z={(a﹣1) }+{(b 2 2 ﹣1) }+{(c﹣1) }+π﹣3>0. 7.已知 abc≠0,且 a+b+c=0,则代数式 的值是( A )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

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2

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,则 x、y、z 中,至少有一个值(A)

A.3 B.2 C.1 D.0 解答:解:把 a=﹣(b+c) ,b=﹣(a+c) ,c=﹣(a+b)代入, 原式= = ,= ,=﹣( . )﹣( )﹣( ) ,

点评:本题考查了分式的化简求值,属于基础题,主要是由已知条件先变形后再代入化简. 2 2 8.若 M=3x ﹣8xy+9y ﹣4x+6y+13(x,y 是实数) ,则 M 的值一定是( C ) A.零 B.负数 C.正数 D.整数 解答:解:M=3x ﹣8xy+9y ﹣4x+6y+13, 2 2 2 2 2 2 2 =(x ﹣4x+4)+(y +6y+9)+2(x ﹣4xy+4y )=(x﹣2) +(y+3) +2(x﹣2y) ≥0. 点评:本题主要考查了非负数的性质,将 M 的表达式根据完全平方公式的特点进行变形是解答本题的关键. 9.某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,降价幅度不得超过 d%,若用 p 表示 d,则 d= . 解答:解:设成本价是 1,则(1+p%) (1﹣d%)=1.1﹣d%= d%=1﹣ d= . ,
2 2

点评:解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.保证不亏本,即让售价和成本价持平. 10.已知﹣1<a<0,化简 得 ﹣ .

解答:解:∵﹣1<a<0,∴a+ <0,a﹣ >0;

∴ =(a﹣ )[﹣(a+ )]=﹣ .

=

点评:解决本题的关键是根据已知条件确定 a+ ,a﹣ 的符号. 11.已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z =xy+y﹣9,则 x+2y+3z=
2

8 .

解答:解:∵x+y=5,z =xy+y﹣9,∴(x+1)+y=6, (x+1)?y=z +9, 2 2 ∴x+1,y 是 t ﹣6t+z +9=0 的两个实根.∵方程有实数解, 2 2 2 2 2 ∴△=(﹣6) ﹣4(z +9)=﹣4z ≥0,∴4z ≤0,∴z ≤0, 2 2 又∵z ≥0,∴z=0.解方程 t ﹣6t+9=0,得 x+1=3,y=3,∴x=2,y=3.∴x+2y+3z=2+2×3+3×0=8. 2 点评:本题主要考查了一元二次方程的解法,根的判别式(△ =b ﹣4ac)与方程的根的对应关系,根与系数的关系, 平方的非负性及代数式求值的方法,综合性较强,有一定难度.解题关键在于能够通过观察将两个已知等式改写, 从而发现 x+1,y 是方程 t ﹣6t+z +9=0 的两个实根. 2 2 2 12.已知 x1、x2、…、x40 都是正整数,且 x1+x2+…+x40=58,若 x1 +x2 +…+x40 的最大值为 A,最小值为 B,则 A+B 的值等于 494 . 解答:解:因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种, 2 2 2 故 x1 +x2 +…+x40 的最小值和最大值是存在的. 2 2 2 2 不妨设 x1≤x2≤…≤x40,若 x1>1,则 x1+x2=(x1﹣1)+(x2+1) ,且(x1﹣1) +(x2+1) =x1 +x2 +2(x2﹣x1)+2> 2 2 2 2 2 x1 +x2 ,所以,当 x1>1 时,可以把 x1 逐步调整到 1,这时 x1 +x2 ++x40 将增大; 2 2 2 同样地,可以把 x2,x3,x39 逐步调整到 1,这时 x1 +x2 ++x40 将增大. 于是,当 x1,x2,x39 均为 1,x40=19 时,x1 +x2 ++x40 取得最大值,即 A=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

+19 =400.
2 2

2

若存在两个数 xi,xj,使得 xj﹣xi≥2(1≤i≤j≤40) ,则(xi+1) +(xj﹣1) =xi +xj ﹣2(xj﹣xi﹣1)<xi +xj , 这说明在 x1,x3,x39,x40 中, 2 2 2 如果有两个数的差大于 1,则把较小的数加 1,较大的数减 1,这时,x1 +x2 ++x40 将减小. 2 2 2 所以,当 x1 +x2 ++x40 取到最小时,x1,x2,x40 中任意两个数的差都不大于 1. 2 2 2 于是当 x1=x2=x22=1,x23=x24=x40=2 时,x1 +x2 +…+x40 取得最小值, 即 ,故 A+B=494.

点评:本题考查的是整数问题的综合运用,能根据完全平方公式得出其最大、最小值是解答此题的关键,此题难度 较大. 13.计算
4 2 2 2 2 2

=
2


2

解答:解:x +4=(x +2) ﹣(2x) =(x +2x+2) ﹣2x+2)=[(x+1) +1][(x﹣1) +1], (x ∴原式=
4 2 2


2 2

点评: 本题考查因式分解的应用. 解决本题的关键是找到题目中蕴含的共性规律 x +4= (x +2) ﹣ (2x) = (x +2x+2) 2 2 2 (x ﹣2x+2)=[(x+1) +1][(x﹣1) +1]. 3 2 14.已知多项式 ax +bx ﹣47x﹣15 可被 3x+1 和 2x﹣3 整除,则 a+b= 26 . 解答:解:由已知可知, 得

,解得

,∴a+b=24+2=26.

点评:本题考查的是多项式除以多项式,注意理解整除的含义,比如 A 被 B 整除,另外一层意思也就是说,B 是 A 的公因式,使公因式 B 等于 0 的值,必是 A 的一个解. 15.已知实数 a、b、c、d 互不相等,且 ,试求 x 的值.

解答:解:由已知有 a+ =x,①; b+ =x,②;c+ =x,③;d+ =x,④;

即 dx ﹣(ad+1)x ﹣(2d﹣a)x+ad+1=0⑦ 3 由④得 ad+1=ax,代入⑦得(d﹣a) ﹣2x)=0 (x 3 由已知 d﹣a≠0,∴x ﹣2x=0 若 x=0,则由⑥可得 a=c,矛盾. 故有 x =2,x=± 点评:此题主要考查了分式的等式变形,运用未知数简介代换得出两式相乘等于 0 的形式,是解决问题的关键. 2 16.如果对一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数(即整数的平方) , 证明: (1)2a,2b,c 都是整数; (2)a,b,c 都是整数,并且 c 是平方数; (3)反过来,如(2)成立,是否对一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数? 2 解答:证明: (1)∵对一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数, 2 ∴令 x=0,a?0 +b?0+c=c,c 是整数且是平方数, 2 2 令 x=1,﹣1 时 a?1 +b?1+c,a?(﹣1) +b?(﹣1)+c 是平方数, 2 2 2 2 2 ∴可设 a?1 +b?1+c=m1 ①a?(﹣1) +b?(﹣1)+c=n1 ②c=k1 (m1n1k1 均为整数) , 2 2 2 ①﹣②得:2b=m1 ﹣n1 ,∴2b 为整数(整数相减为依然为整数) ,由①得:2a=2m1 ﹣2b﹣2c, ∴2a 为整数,∴2a,2b,c 都是整数; (2) (1)中已证 c 是整数且是平方数, 令 x=2,﹣2 时,可设 a?2 +b?2+c=m2 ③a?(﹣2) +b?(﹣2)+c=n2 ④c=k1 (m2n2k1 均为整数) , 2 2 ③﹣④得:4b=m2 ﹣n2 =(m2+n2) 2﹣n2)=2(2b) (m , 2 2 ∵2b 为整数,∴2(2b)为偶数,则 m2 ﹣n2 为偶数, ∴(m2+n2)(m2﹣n2)同奇同偶, , 则可设(m2+n2)=2m, 2﹣n2)=2n(m,n 均为整数) (m , ∴4b=2m?2n=4mn,∴b=mn,∴b 为整数; (3)令 x=1,a=1,b=1,c=1,则 ax +bx+c=3,而 3 不是平方数.∴不一定成立. 点评:本题考查完全平方数的知识,综合性较强,难度较大,注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问 题一般思路都是用特殊值法. 2 2 2 2 17.若 a=1995 +1995 ?1996 +1996 ,求证:a 是一完全平方数,并写出 a 的值. 解答:解:设 x=1995,则 1996=x+1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 a=1995 +1995 ?1996 +1996 =x +x (x+1) +(x+1) 2 2 2 2 =(x+1) ﹣2x(x+1)+x +2x(x+1)+x (x+1) 2 2 2 =(x+1﹣x) +2x(x+1)+[x(x+1)] =1+2x(x+1)+[x(x+1)] 2 2 2 =[1+x(x+1)] =(1+1995×1996) =3982021 . 2 故 a 是一完全平方数,a 的值为 3982021 . 点评:本题考查了完全平方式,在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简,起到简便计算的作用. 18.设 a、b、c、d 是四个整数,且使得 一定是个合数. 解答:解:要证明|m|是合数,只要能证出|m|=p?q,p?q 均为大于 1 的正整数即 可. = = = 是一个非零整数,求证:|m|
2 2 2 2 2 2 2 2

3

2

= 因为 m 是非零整数,则 是非零整数.

由于四个数 a+b+c﹣d,a+b﹣c+d,a﹣b+c+d,﹣a+b+c+d 的奇偶性相同,乘积应被 4 整除, 所以四个数均为偶数. 所以可设 a+b+c﹣d=2m1, a+b﹣c+d=2m2, a﹣b+c+d=2m3, ﹣a+b+c+d=2m4, 其中 m1, 2, 3, 4 均为非零整数. m m m 所 以 m= (2m1) (2m2) (2m3) (2m4)=4m1m2m3m4, 所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0,所以|m|是一个合数. 点评:本题考查的是质数与合数的定义、因式分解、奇数与偶数的定义、绝对值的性质,涉及面较广,难度较大. 19.若 a 的十位数可取 1、3、5、7、9.求 a 的个位数. 2 解答:解:设 a=10b+c,其中 c 取自 0,1,2,3,4,9,将 c 写成两位数的形式为 00,01,04,09,16,25,36, 2 2 2 2 2 49,64,81,其中只有 c=4、6 时其十位数为奇数,又 a =(10b+c) =2×(5b +bc)×10+c ,可见,a 的十位数是 2 2 一个偶数加上 c 的十位数,当 a 的十位数为奇数 1,2,5,7,9 时,a 的个位数只能取 4、6. 点评: 此题考查的知识点是尾数特征问题, 解答此题的关键是用列举法, 依据奇数的平方的十位数字必为偶数解答.
2


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