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2015高考复习函数的基本性质(学生)

时间:2014-08-30


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函数及其表示
基础梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的三要素: (2)相等函数:如果两个函数的 这是判断两函数相等的依据. 2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、 一个方法 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可

求出 y=f(q(x))的定义域;②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域. 两个防范 (1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 三个要素 函数的三要素是: 定义域、 值域和对应关系. 值域是由函数的定义域和对应关系所确定的. 两 个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射 f: A→B 的三要素是两个集合 A、B 和对应关系 f. 双基自测 1.函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 2.若 f(x)= ). B.[0,+∞) D.[1,+∞) 1 ,则 f(x)的定义域为( 1 log ?2x+1? 2 1 ? B. ? ?-2,0? ). . 、 和 和 . 完全一致,则这两个函数相等,

1 ? A. ? ?-2,0?

1 ? C. ? ?-2,+∞?

D.(0,+∞)

4.函数 y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只 与 x 的一个值对应的 y 值的范围是________.

考向一 【例 1】?求下列函数的定义域:

求函数的定义域

1

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(1)f(x)=

|x-2|-1 ; log2?x-1?

(2)f(x)=

ln?x+1? -x2-3x+4

.

求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的被开方式其值非负;(3)对数式中真数大于零,底数 大于零且不等于 1. 1 1? 1? ?2 【训练 1】 (1)已知 f(x)的定义域为? ?-2,2?,求函数 y=f?x -x-2?的定义域; (2)已知函数 f(3-2x)的定义域为[-1,2],求 f(x)的定义域. 考向二 2 ? 【例 2】?(1)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x); (2)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. 求函数解析式的方法主要有:(1)代入法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)解函数方程等. 【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x)的表达式. 1 (2)已知 f(x)+2f( )=2x+1,求 f(x). x 考向三
1 x ? ?2 ,x≤1, ? 【例 3】?设函数 f(x)= ? ?1-log2x,x>1,


求函数的解析式

分段函数

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( A.[-1,2] B.[0,2]

). D.[0,+∞)

C.[1,+∞)

?2x+a,x<1, ? 【训练 3】 已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为 ?-x-2a,x≥1. ?

________. 1 函数的定义域: 【示例】? 求函数 y=log (x2-3x)的单调区间. 3 【试一试】 求函数 f(x)=log2(x2-2x-3)的单调区间.

函数的单调性与最值
基础梳理 1.函数的单调性 增函数
2

减函数

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一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时, 都有 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 , 当 x1<x2 时,都 有



,那么就

说函数 f (x )在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右图象是下降的

自左向右图象是上升的 2.函数的最值 前提 ① 条件

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; ② =M x0∈I,使得 f(x0) ① 对于任意 x∈I,都 有 ②存在 x0∈I,使得 M 为最小值 ;

结论 一个防范

M 为最大值

1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= 分别在(-∞, x 0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调 递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 两种形式 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 ?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ?f(x)在[a,b] 上是减函数. 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端 点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

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四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 双基自测 1.设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为( A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) ). ).

2.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( A.[2- 2,2+ 2] B.(2- 2,2+ 2) C.[1,3] D.(1,3)

3.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. 2 5.若 x>0,则 x+ 的最小值为________. x 考向一 【例 1】?试讨论函数 f(x)= 函数的单调性的判断

x 的单调性. x2+1

判断(或证明)函数单调性的主要方法有: (1)函数单调性的定义;(2)观察函数的图象;(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性 的判断法则;(4)利用函数的导数等. 【训练 1】 讨论函数 f(x)= ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围) x2+a 【例 2】?已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围. x 已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间,反之已知函数的单调区 间可确定函数解析式中参数的值或范围,可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求 解. x-5 【训练 2】 函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 A.a=-3 B.a<3 C. a≤-3 D.a≥-3 ).

考向三 利用函数的单调性求最值 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件, f?x1? 对任意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 与 1 的大小.有时根据需要, f?x2?
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x1 需作适当的变形:如 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等. x2 【示例】? 已知函数 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值 范围. 注意:利用函数性质求 f(x)的最值,从而解不等式 f(x)min≥a,得 a 的取值范围.解题过程中 要注意 a 的范围的讨论. 【试一试】 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________.

函数的奇偶性与周期性
基础梳理 1.奇、偶函数的概念 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么函数 f(x)就叫做偶函数. ,那么函数 f(x)就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 调性 . ,偶函数在关于原点对称的区间上的单

(2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是 ②两个偶函数的和、积都是 ③一个奇函数,一个偶函数的积是 3.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. ,两个奇函数的积是 ; . ;

(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.
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三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则:y=f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|. 双基自测 5? 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 ). B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 ). 1 D. 2 ).

1 2.f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 C.坐标原点对称

3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________.

考向一 【例 1】?下列函数: ①f(x)= =lg 1-x2+

判断函数的奇偶性

x2-1;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+ x2+1);④f(x)= ). D.5

3x-3 x ;⑤f(x) 2


1-x .其中奇函数的个数是( 1+x B.3 C.4

A.2

判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的定义域;(2)证明 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x) 成立;或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能下任何结论的,切忌 主观臆断. 【训练 1】 判断函数的奇偶性:f(x)=x2-|x-a|+2.

考向二

函数奇偶性的应用

【例 2】?已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1 -m2)<0 的实数 m 的取值范围 方法总结:根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的

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单调性相同; 偶函数在对称区间上的单调性相反. 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究, 只需研究对称区间上的单调性即可. 考向三 函数的奇偶性与周期性 【例 3】?已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1), 则 f(2 013)+f(2 015)的值为( A.-1 B.1 ). C.0 D.无法计算

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