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高中数学必修4教案完整版新课标人教A版


第一章三角函数
4-1.1.1 任意角(1)
教学目标:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角的概念,学会在平面内建立 适当的坐标系来讨论角;并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角” 的含义。 教学重点:理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义 教学难点: “旋转”定义角 课标要求:了解任意角的概念 教学过程: 一、

引入 同学们在初中时,曾初步接触过三角函数,那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、 研究一些三角形中简单的边角关系等。 三角函数也是高中数学的一个重要内容, 在今后的学 习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容, 它能够简单地解决许多数学问题, 在中学数学 中有着非常广泛的应用。 二、新课 1.回忆:初中是任何定义角的? (从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形) 这种概念的优点是形象、 直观、 容易理解, 但它的弊端在于“狭隘” ○ ○ 师:初中时,我们已学习了 0 ~360 角的概念,它是如何定义的呢? 生:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 师:如图 1,一条射线由原来的位置 OA,绕着它的端点 O 按逆 B 时针方向旋转到终止位置 OB,就形成角α 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫α 的顶点。 o α 师:在体操比赛中我们经常听到这样的术语: “转体 720 ” (即 o O A 转体 2 周) , “转体 1080 ” (即转体 3 周) 再如时钟快了 5 分钟, ; 图1 现要校正,需将分针怎样旋转?如果慢了 5 分钟,又该如何校 正? 0 0 生:逆时针旋转 30 ;顺时针旋转 30 . 师: (1)用扳手拧螺母; (2)跳水运动员身体旋转.说明旋转第二周、第三周??,则形成 了更大范围内的角, 这些角显然超出了我们已有的认识范围。 本节课将在已掌握 ~

角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法. 2.角的概念的推广:? (1)定义: 一条射线 OA 由原来的位置 OA, 绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置 OB, 就形成了角 α。其中射线 OA 叫角 α 的始边,射线 OB 叫角 α 的终边,O 叫角 α 的顶点。 3.正角、负角、零角概念 师:为了区别起见,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,如图 2 中的角为正角,它 0 0 等于 30 与 750 ;我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,那么同学们猜猜看,负角怎 么规定呢?零角呢? 生:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成 了一个零角。 0 0 师:如图 3,以 OA 为始边的角α =-150 ,β =-660 。特别地,当一条射线没有作任何旋转时,

我们也认为这是形成了一个角,并把这个角称为零角。 师:好,角的概念经过这样的推广之后,就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说 明:为了简单起见,在不引起混淆的前提下, “角α ”或“∠α ”可简记为α . 4.象限角 师:在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论 角,为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已 经经过预习,请一位同学回答什么叫:象限角? 生:角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象 限,我们就说这个角是第几象限角。 师:很好,从刚才这位同学的回答可以知道,她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面 请大家将书上象限角的定义划好,同时思考这么三个问题: 1.定义中说:角的始边与 x 轴的非负半轴重合,如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行,为什 么? 2.定义中有个小括号,内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字? 3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么? 处理:学生思考片刻后回答,教师适时予以纠正。 答:1.不行,始边包括端点(原点) ; 2.端点在原点上; 3.不是,一些特殊角终边可能落在坐标轴上;如果角的终边落在坐标轴上,就认为这 个角不属于任一象限。 师:同学们一定要学会看数学书,特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句,每个字 都要弄清楚,这样的预习才是有效果的。 0 0 0 0 0 师生讨论:好,按照象限角定义,图中的 30 ,390 ,-330 角,都是第一象限角;300 ,-60 0 角,都是第四象限角;585 角是第三象限角。 师:很好,不过老师还有几事不明,要请教大家: (1)锐角是第一象限角吗?第一象限角是 锐角吗?为什么? 生:锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角; 0 师: (2)锐角就是小于 90 的角吗? 0 生:小于 90 的角可能是零角或负角,故它不一定是锐角; 0 0 师: (3)锐角就是 0 ~90 的角吗? 0 0 0 0 0 0 生:锐角:{θ |0 <θ <90 };0 ~90 的角:{θ |0 ≤θ <90 }. 学生练习(口答) 已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的非负半轴上,作 出下列各角,并指出它们是哪个象限的角? 0 0 0 0 (1)420 ; (2)-75 ; (3)855 ; (4)-510 . 答: (1)第一象限角; (2)第四象限角; (3)第二象限角; (4)第三象限角. 5.终边相同的角的表示法 师:观察下列角你有什么发现? 390? ?330? 30? 1470? ?1770? 生:终边重合. 0 师:请同学们思考为什么?能否再举三个与 30 角同终边的角? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 生:图中发现 390 ,-330 与 30 相差 360 的整数倍,例如,390 =360 +30 ,-330 =-360 +30 ; 0 0 0 与 30 角同终边的角还有 750 ,-690 等。 0 师:好!这位同学发现了两个同终边角的特征,即:终边相同的角相差 360 的整数倍。例 0 0 0 0 0 0 0 如:750 =2?360 +30 ;-690 =-2?360 +30 。那么除了这些角之外,与 30 角终边相同的角 还有:

3?360 +30 -3?360 +30 0 0 0 0 4?360 +30 -4?360 +30 ??, ??, 0 0 0 由此,我们可以用 S={β |β =k?360 +30 ,k∈Z}来表示所有与 30 角终边相同的角的集合。 师:那好,对于任意一个角α ,与它终边相同的角的集合应如何表示? 0 生:S={β |β =α +k?360 ,k∈Z},即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整数 个周角的和。 6.例题讲评 例 1 设 E ? {小于90o 的角}  ? {锐角}, = 第一象限的角} , F G { ,那么有( D ) . A. 例 2 用集合表示: (1)各象限的角组成的集合.
o

0

0

0

0

B.

C.





D.

(2)终边落在
o o

轴右侧的角的集合.

解:(1) 第一象限角: {α|k360 π<α<k360 +90 ,k∈ Z} o o o o 第二象限角: {α|k360 +90 <α<k360 +180 ,k∈ Z} o o o o 第三象限角: {α|k360 +180 <α<k360 +270 ,k∈ Z} o o o 第四象限角:{α |k360 +270o<α<k360 +360 ,k∈Z} (2)在 后,得 . 说明:一个角按顺、逆时针旋转 内的角,按顺逆时针旋转 例 3 (1)如图,终边落在 =k360 +120o ,k∈Z };终边落在
o



中,

轴右侧的角可记为 , ,故

,同样把该范围“旋转” 轴右侧角的集合为

( (

)后与原来角终边重合,同样一个“区间” )角后,所得“区间”仍与原区间重叠.

位置时的角的集合是__{α|α 位置,且在

内的角的集合是_{-45o,225o}_ ; 终边落在阴影 部分(含边界)的角的集合 o o o 是_{α |k360 -45o<α<k360 +120 ,k∈Z}. 练习: (1)请用集合表示下列各角. ① ~ 间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角.

解答(1)① ③ (2)分别写出: ①终边落在

; ;

② ④



轴负半轴上的角的集合;

②终边落在

轴上的角的集合;

③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合; ④终边落在四象限角平分线上的角的集合. 解答(2)① ③ ; ; ② ④ ; .

说明:第一象限角未必是锐角,小于 课本约定它包括 例4在 (1) 解:(1)∵ ∴与 (2)∵ ∴与 (3) 所以与 角终边相同的角是 终边相同的角是 角终边相同的角是 ~ ,但不包含 .

的角不一定是锐角,



间的角,根据

间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角 ; (2) ; (3) .

角,它是第三象限的角;

,它是第四象限的角;

,它是第二象限角.

总结: 草式写在草稿纸上, 正的角度除以

, 按通常除去进行; 负的角度除以



商是负数,它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大 1,以使余数为正值. 练习: (1)一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
o

_.

(2)集合 M={α =k ? 90 ,k∈Z}中,各角的终边都在(C ) A. 轴正半轴上, C. (3)设 C={α |α = k180 +45 ,k∈Z} ,
o o

B.

轴正半轴上, 轴正半轴或 , 轴正半轴上

轴或

轴上,

D.

则相等的角集合为_B=D,C=E__. 三.本课小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念,象限角的概念,要注意如果角的终边在坐标轴 上,就认为这个角不属于任何象限,本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。 判断一个角 么 是第几象限角,只要把 改写成 与角 , 适合关系: , ,那 , ,

在第几象限, ,则 、

就是第几象限角,若角 终边相同;若角 与

适合关系:





终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系,可首先把 , 这种模式( ) ,然后只要考查 的相关

它们化为:

问题即可.另外,数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 四.作业:

4-1.1.1 任意角(2)
教学目标:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角的概念,学会在平面内建立 适当的坐标系来讨论角;并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角” 的含义。 教学重点:理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义 教学难点: “旋转”定义角 课标要求:了解任意角的概念 教学过程: 一、复习

师:上节课我们学习了角的概念的推广,推广后的角分为正角、负角和零角;另外还学习了 象限角的概念,下面请一位同学叙述一下它们的定义。 生:略 师:上节课我们还学习了所有与α 角终边相同的角的集合的表示法,[板书] 0 S={β |β =α +k?360 ,k∈Z} 这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广,解决一些简单问题。 二、例题选讲 0 0 例 1 写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360 ≤β <720 的元素β 写出来: 0 0 0 , (1)60 ; (2)-21 ; (3)363 14 0 0 0 0 解: (1)S={β |β =60 +k?360 ,k∈Z}S 中适合-360 ≤β <720 的元素是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60 +(-1)?360 =-300 60 +0?360 =60 60 +1?360 =420 . 0 0 0 0 (2)S={β |β =-21 +k?360 ,k∈Z} S 中适合-360 ≤β <720 的元素是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -21 +0?360 =-21 -21 +1?360 =339 -21 +2?360 =699 0 0 0 0 说明:-21 不是 0 到 360 的角,但仍可用上述方法来构成与-21 角终边相同的角的集合。 0 , 0 0 0 (3)S={β |β =363 14 +k?360 ,k∈Z} S 中适合-360 ≤β <720 的元素是 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 363 14 + (-2) ?360 =-356 46 363 14 + (-1) ?360 =3 14 363 14 +0?360 =363 14 说明:这种终边相同的角的表示法非常重要,应熟练掌握。 例 2.写出终边在下列位置的角的集合 (1)x 轴的负半轴上; (2)y 轴上 分析:要求这些角的集合,根据终边相同的角的表示法,关键只要找出符合这个条件的一个 0 角即α ,然后在后面加上 k?360 即可。 ○ ○ 0 解: (1)∵在 0 ~360 间,终边在 x 轴负半轴上的角为 180 ,∴终边在 x 轴负半轴上 0 0 的所有角构成的集合是{β |β =180 +k?360 ,k∈Z } ○ ○ 0 0 0 (2)∵在 0 ~360 间,终边在 y 轴上的角有两个,即 90 和 270 ,∴与 90 角终边相 0 0 同的角构成的集合是 S1={β |β =90 +k?360 ,k∈Z } 0 0 0 同理,与 270 角终边相同的角构成的集合是 S2={β |β =270 +k?360 ,k∈Z } 提问:同学们思考一下,能否将这两条式子写成统一表达式? 师:一下子可能看不出来,这时我们将这两条式子作一简单变化: 0 0 0 0 S1={β |β =90 +k?360 ,k∈Z }={β |β =90 +2k?180 ,k∈Z }??????(1) 0 0 0 0 0 S2={β |β =270 +k?360 ,k∈Z }={β |β =90 +180 +2k?180 ,k∈Z } 0 0 ={β |β =90 +(2k+1)?180 ,k∈Z } ???????(2) 0 师:在(1)式等号右边后一项是 180 的所有偶数(2k)倍;在(2)式等号右边后一项是 0 0 180 的所有奇数(2k+1)倍。因此,它们可以合并为 180 的所有整数倍, (1)式和(2)式 0 0 可统一写成 90 +n?180 (n∈Z) ,故终边在 y 轴上的角的集合为 0 0 0 0 S= S1∪S2 ={β |β =90 +2k?180 ,k∈Z }∪{β |β =90 +(2k+1)?180 ,k∈Z } 0 0 ={β |β =90 +n?180 ,n∈Z } 处理:师生讨论,教师板演。 提问:终边落在 x 轴上的角的集合如何表示?终边落在坐标轴上的角的集合如何表示? 0 0 (思考后)答:{β |β =k?180 ,k∈Z },{β |β =k?90 ,k∈Z } 进一步:终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示? 0 0 答:{β |β =45 +n?180 ,n∈Z } 0 推广:{β |β =α +k?180 ,k∈Z },β ,α 有何关系?(图形表示) 处理: “提问”由学生作答; “进一步”教师引导,学生作答; “推广”由学生归纳。

例1 若 ? 是第二象限角,则 2? ,

师: ? 是第二象限角,如何表示? 0 0 0 0 解: (1)∵ ? 是第二象限角,∴90 +k?360 < ? <180 +k?360 (k∈Z) 0 0 0 0 ∴ 180 +k?720 <2 ? <360 +k?720 ∴2 ? 是第三或第四象限的角,或角的终边在 y 轴的非正半轴上。 ........ (2)∵ k ? 180 ? 45 ?
? ?

? ? , 分别是第几象限的角? 2 3

?
2

? k ? 180 ? ? 90(k ? Z ) ,

处理:先将 k 取几个具体的数看一下(k=0,1,2,3?) ,再归纳出以下规律:

? 是第一象限的角; 2 2 ? ? ? ? ? ? 当 k ? 2n ? 1(n ? Z ) 时, n ? 360 ? 225 ? ? n ? 360 ? 270 (k ? Z ) , 是第三象限的 2 2
当 k ? 2n(n ? Z ) 时, n ? 360 ? 45 ?
? ?

?

? n ? 360 ? ? 90 ? (k ? Z ) ,

角。 ∴

? 是第一或第三象限的角。 2 ? 是第一或第二或第四象限的角) 3

说明:配以图形加以说明。 (3)学生练习后教师讲解并配以图形说明。 (

进一步求 ? ? 是第几象限的角( ? ? 是第三象限的角) ,学生练习,教师校对答案。 三、例题小结 1. 要注意某一区间内的角和象限角的区别,象限角是由无数各区间角组成的; 2. 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以 k 取不同的值讨论型如 0 θ =a+k?120 (k∈Z)所表示的角所在的象限。 四、课堂练习 练习 2 练习 3 若 ? 的终边在第一、三象限的角平分线上,则 2? 的终边在 y 轴的非负半轴上. 若 ? 的终边与 60 角的终边相同,试写出在(0 ,360 )内,与
0 0 0 0 0 0

? 角的终边相同的 3
1200 y

角。 (20 ,140 ,260 ) (备用题)练习 4 如右图,写出阴影部分(包括边界)的角 0 , 的集合,并指出-950 12 是否是该集合中的角。 0 0 0 0 ({α | 120 +k?360 ≤α ≤250 +k?360 ,k∈Z};是) 250
0

O x

探究活动 经过 5 小时又 25 分钟,时钟的分针、时针各转多少度? 五、作业 A 组:

1.与

终边相同的角的集合是___________,它们是第____________象限的角,其中

最小的正角是___________,最大负角是___________. 2.在 0o~360o 范围内,找出下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角: (1)-265
?

(2)-1000o

(3)-843o10’

(4)3900o

B组 3.写出终边在 x 轴上的角的集合。 4.写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-360o≤β <360o 的元素 写出来: (1)60o (2)-75o (3) -824o30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o

C 组:若

是第二象限角时,则





分别是第几象限的角?

4-1.1.2 弧度制(1)
教学目的:要求学生掌握弧度制的定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与 实数集 R 一一对应关系的概念。 教学过程:一、回忆(复习)度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题:弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是 rad 读作弧度 B r o 1rad A o C l=2 r 2rad r A 定 义: 长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 如 图:?AOB=1rad

?AOC=2rad

周角=2?rad 1. 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0 2. 角?的弧度数的绝对值 ? ?

l ( l 为弧长, r 为半径) r

3. 用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 抓住:360?=2?rad ∴180?=? rad

∴ 1?=

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?
例一 把 67 30' 化成弧度
?

? 1? 解: 67 30' ? ? 67 ? ? 2?
?

?

∴ 67 30' ?
?

?
180

rad ? 67

1 3 ? ?rad 2 8

例二 把 ?rad 化成度 解: ?rad ?

3 5

3 5

3 ? 180 ? ? 108 ? 5
如:3

注意几点:1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器” 《中学数学用表》进行; 2.今后在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 表示 3rad sin?表示?rad 角的正弦 3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住(见课本 P9 表) 4.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能 在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 正实数 零 负实数 实数集 R

正角 零角 负角 任意角的集合 四、练习(P11 练习 1 2)

例三 用弧度制表示: 1?终边在 x 轴上的角的集合 合 3?终边在坐标轴上的角的集合

2?终边在 y 轴上的角的集

解:1?终边在 x 轴上的角的集合 S1 ? ?? | ? ? k? , k ? Z ? 2?终边在 y 轴上的角的集合 S 2 ? ?? | ? ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 2 ?

3?终边在坐标轴上的角的集合 S 3 ? ?? | ? ? 五、 小结:1.弧度制定义 六、作业: 2.与弧度制的互化

? ?

k? ? ,k ? Z? 2 ?

4-1.1.2 弧度制(1)

教学目的:加深学生对弧度制的理解,逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。 教学过程:一、复习:弧度制的定义,它与角度制互化的方法。

二、由公式: ? ?

l ? r

l ?r??

比相应的公式 l ?

n?r 简单 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 例一 利用弧度制证明扇形面积公式 S ? 证: R o S

1 lR 其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径。 2 1 ?R 2 如图:圆心角为 1rad 的扇形面积为: 2? l 弧长为 l 的扇形圆心角为 rad R l l 1 1 ? ?R 2 ? lR ∴S ? ? R 2? 2

比较这与扇形面积公式 S 扇 ?

n?R 2 要简单 360


例二 直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长 解: r ? 10cm ⑴: l ? ? ? r ? ⑵

4? 40? ? 10 ? (cm ) 3 3 165 ? ?

4? 3



165?



?

11? 55? ? 10 ? (cm ) 12 6 例三 如图,已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形 l?
的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 解:设扇形的半径为 r,弧长为 l ,则有

180

? 165 (r

11? a? d r ) 12

a

d



A o

B

?2r ? l ? 6 ?r ? 2 ?l ?? ? ?1 ?l ? 2 ?r ? ? 例四 计算 sin 4
解:∵

∴ 扇形的面积 S ?

1 rl ? 2(cm ) 2 2

tan 1.5

?
4

? 45 ?

∴ sin

?
4

? sin 45? ?

2 2

1.5rad? 57.30? ? 1.5 ? 85.95? ? 85? 57'
∴ tan1.5 ? tan85 57' ? 14.12
?

例五 将下列各角化成 0 到 2? 的角加上 2k? (k ? Z ) 的形式

19 ? ⑵ 3 19 ? 解: ? ? ? 6? 3 3


? 315?

? 315 ? ? 45 ? ? 360 ? ?

?
4

? 2?
60 R=45

例六 求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1m) 图中长度单位为:m 解: ∵ 60 ?
?

?
3

∴ l ? ? ?R ? 三、练习: 四、作业:

?
3

? 45 ? 3.14 ? 15 ? 47 (m)

4-1.2.1 任意角的三角函数(1)
教学目的: 知识目标: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一) 。 能力目标: (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分 析、探究、 解决问题的能力。 德育目标: (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与 比值(函数值)的一种联系方式; (2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ,以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重 点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依 次为 sinA ?

a b a , cosA ? , tanA ? . c c b

角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义

在直角坐标系中, 设α 是一个任意角, 终边上任意一点 P (除了原点) α 的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

y y 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x x x (4)比值 叫做α 的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y r r (5)比值 叫做α 的正割,记作 sec? ,即 sec ? ? ; x x r r (6)比值 叫做α 的余割,记作 csc? ,即 csc ? ? . y y 说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α
(1)比值 的大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,六个比值不以点 P( x, y ) 在α 的终边上 的位置的改变而改变大小; ③当 ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等 y r x 与 sec ? ? 无意义;同理,当 ? ? k? (k ? Z ) 时, coy? ? 与 x x y

于 0 ,所以 tan ? ?

csc ? ?

r 无意义; y
x r y y x r 、 、 、 、 、 分别是一 r x r x y y

④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值

个确定的实数,所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量,一比值为 函数值的函数,以上六种函数统称为三角函数。 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ? y ? cos ?
y ? tan ?

R R

[?1,1] [?1,1]
R

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非 负半轴重合.? (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角形

的性质,“r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角 函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定 义.实质上,由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研 究过程. (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面 直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用 我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.? 3.例题分析 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的六个函数制值。 解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 r ?

22 ? (?3) 2 ? 13 ,于是

sin ? ?

y ?3 3 13 x 2 2 13 ; cos ? ? ? ; ? ?? ? r 13 r 13 13 13 y 3 x 2 tan ? ? ? ? ; cot ? ? ? ? ; x 2 y 3
r 13 ; ? x 2

sec? ?

csc? ?

r 13 . ?? y 3
3? . 2

例 2.求下列各角的六个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (3)

解: (1)因为当 ? ? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以

cos 0 ? 1 , cot 0 不存在, csc 0 不存在。 (2)因为当 ? ? ? 时, x ? ?r , y ? 0 ,所以 sin ? ? 0 , cos ? ? ?1 , cot ? 不存在, tan ? ? 0 , sec ? ? ?1 , csc? 不存在。 3? (3)因为当 ? ? 时, x ? 0 , y ? ? r ,所以 2 3? 3? sin ? ?1 , cos ? 0, 2 2 3? 3? tan cot ? 0, 不存在, 2 2 3? 3? sec csc ? ?1 . 不存在, 2 2
例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的六个三角函数值。 解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , 当 a ? 0时, ? ? sin

sin 0 ? 0 , tan 0 ? 0 , sec 0 ? 1 ,

x ? a, y ? 2a

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ? r 5 5|a| 5a

cos ? ?

1 5 x a 5a ; tan ? ? 2;cot ? ? ;sec ? ? 5;csc ? ? ; ? ? 2 2 r 5 5a

当 a ? 0时, ? ? sin

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a


cos? ?

x a 5a ? ?? r ? 5a 5

1 5 . tan ? ? 2;cot ? ? ;sec? ? ? 5;csc ? ? ? 2 2
4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y 对于第一、 二象限为正 y ? 0, r ? 0 ) 对于第三、 ( , 四象限为负 y ? 0, r ? 0 ) ( ; r x ②余弦值 对于第一、 四象限为正 x ? 0, r ? 0 ) 对于第二、 ( , 三象限为负 x ? 0, r ? 0 ) ( ; r y ③正切值 对于第一、三象限为正( x , y 同号) ,对于第二、四象限为负( x , y 异号) . x
①正弦值 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

sin ? 为正 csc ? t an? 为正 cot?

全正

正弦 、余割 余弦 、正割 正切 、余切
y y y

cos? 为正 sec ?

+ o -

+ x

o

+ + x

- + o x + -

5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。 即有: sin(? ? 2k? ) ? sin ? ,

cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问 题. 三、巩固与练习 1 确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250 ; 2 求函数 y ?
?

(2) sin( ?

?
4

);

(3) tan(?672 ) ;
?

(4) tan

11? . 3

cos x cos x

?

tan x 的值域 tan x

解: 定义域:cosx?0 ∴x 的终边不在 x 轴上 又∵tanx?0 ∴x 的终边不在 y 轴上 ∴当 x 是第Ⅰ象限角时, x ? 0, y ? 0 cosx=|cosx| tanx=|tanx|
x ????ⅢⅣ???, x ? 0, y ? 0 ? 0, y ? 0

∴y=2

????Ⅱ????, x ? 0, y ? 0 |cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2 |cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.任意角的三角函数的定义; 2.三角函数的定义域、值域; 3.三角函数的符号及诱导公式。 五、课后作业: 补充:1 已知点 P (3r , -4r ) (r ? 0) ,在角 ? 的终边上,求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值。 2 已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值 解:由定义 : r ? 5 六、板书设计: sin?=?

3 5

cos?=

4 5

∴2sin?+cos?=?

2 5

4-1.2.1 任意角的三角函数(2)
教学目的: 知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、 值域有更深的理解。 德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.三角函数的定义及定义域、值域: 练习 1:已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ?

2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4

解:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r 2 ?| OP |2 ? (? 3)2 ? m2 ,得 r ? 3 ? m2 , 从而 sin ? ?

m 2m m 2 ,解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m ? m ? ? 5 . ? ? 2 4 r 3? m 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , x y cos ? ? ? ?1, tan ? ? ? 0 ; r x 当 m ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , x 6 y 15 ?? , tan ? ? ? ? ; r 4 x 3 当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , x 6 y 15 ?? , tan ? ? ? . r 4 x 3

cos ? ?

cos ? ?

2.三角函数的符号: 练习 2:已知 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,

(1)求角 ? 的集合; (2)求角 号。 3.诱导公式: 练习 3:求下列三角函数的值: (1) cos

? ? ? ? 终边所在的象限; (3)试判断 tan ,sin cos 的符 2 2 2 2

9? 11? ), , (2) tan( ? 4 6

(3) sin

9? . 2

二、讲解新课:
2 2 当角的终边上一点 P( x, y ) 的坐标满足 x ? y ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切

值的几何表示——三角函数线。 1.单位圆:圆心在圆点 O ,半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 3.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向 延 长线交与点 T .

y P
M

y P

T

o
(Ⅱ)

A

x
T

o

A
M
(Ⅰ)

x

y

T

y

M

o
(Ⅲ)

A

x

o

M A
(Ⅳ) T P

x

P

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

y y x x ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT . x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin ? ?
说明: ①三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦 线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单 位 圆内,一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向

垂 足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 ③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向 的 为负值。 ④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

5? ? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3 2? 4? 与 sin 3 5

(4) ?

13? . 6

解:图略。 例 2.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1?

sin

2? tan

2? 4? 与 tan 3 5
S2

3? cot

2? 4? 与 cot 3 5

解: 如图可知:

sin

2? 4? ? sin 3 5
M2 M1

S1 B P2 P1 o S1 A T2 T1

2? 4? ? tan 3 5 2? 4? cot ? cot 3 5
tan 例 3.利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角 1? 解: 1? P2 o sin?≥ y P1 x 210? 30?≤?≤150? 30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? o

1 2

2? tan? ?

3 3
2? y 30? T x

A

例 4.利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围。 (1) sin x ? ?

1 ; 2

(2) cos x ?

1 ; 2

(3) 0 ? x ? ? ,sin x ? (4) | cos x |? 答案: (1)

1 1 且 cos x ? ; 2 2
(5) sin x ?

7? 11? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; (2) ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 6 6 6 6 ? 5? ? ? ? ? ,k ?Z ; (3) ? x ? (4) ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ; 3 6 6 2 6 2

1 ; 2

1 且 tan x ? ?1 . 2

(5)

?
2

? 2k? ? x ?

3? ? 2k? , k ? Z . 4

三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 补充:1.利用余弦线比较 cos 64? ,cos 285? 的大小; 2.若

?
4

?? ?

?
2

,则比较 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的大小;

3.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) cos? ? 六、板书设计:

3 ; 2

(2) tan ? ? ?1 ;

(3) sin ? ? ?

3 . 2

4-1.2.1 任意角的三角函数(3)
教学目的: 知识目标:1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域,三角函数线. 2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.? 3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等. 能力目标:1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域,三角函数线. 2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.? 3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 授课类型:复习课 教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1、三角函数定义. 三角函数的定义域,三角函数线,各种三角函数在各象限内的符号.诱导 公式第一组. 2.确定下列各式的符号 (1)sin100°?cos240° (2)sin5+tan5 3. .x 取什么值时,

4.若三角形的两内角?,?满足 sin?cos? ? 0,则此三角形必为??( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能 5.若是第三象限角,则下列各式中不成立的是??????( ) A:sin?+cos? ? 0 B:tan??sin? ? 0 C:cos??cot? ? 0 D:cot?csc? ? 0 6.已知?是第三象限角且 cos

sin x ? cos x 有意义? tan x

?
2

? 0 ,问

? 是第几象限角? 2

二、讲解新课: 1、求下列函数的定义域: (1) y ? 2cos x ?1 ; (2) y ? lg(3 ? 4sin 2 x)

?1? 2、已知 ? ? ?2?

sin 2?

? 1 ,则?为第几象限角?

3、 (1) 若θ 在第四象限,试判断 sin(cosθ )cos(sinθ )的符号; (2)若 tan(cosθ )cot(sinθ )>0,试指出θ 所在的象限,并用图形表示出

? 的取值范围. 2

4、求证角θ 为第三象限角的充分必要条件是 ? 证明:必要性:∵θ 是第三象限角,? ∴?

?sin ? ? 0 ?tan? ? 0

?sin ? ? 0 ?tan? ? 0

充分性:∵sinθ <0, ∴θ 是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上 ∵tanθ >0,∴θ 是第一或第三象限角.? ∵sinθ <0,tanθ >0 都成立.? ∴θ 为第三象限角.? 5 求值:sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°. 三、巩固与练习 1 求函数 y ?

cos x tan x | cot x | sin x 的值域 ? ? ? | sin x | cos x tan x cot x

2 设?是第二象限的角,且 | cos

?
2

|? ? cos

?
2

,求

?
2

的范围.

四、小 结: 五、课后作业: 1、利用单位圆中的三角函数线,确定下列各角的取值范围: (1) sinα <cosα ; (2) |sinα |<|cosα | . 2、 若0 ? x ?

?
2

, 求证: x ? x ? tan x. sin

3、角α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称 (ab ? 0) ,角β 的终边上的点 Q 与 A 关于 直线 y=x 对称.求 sinα escβ +tanα cotβ +secα cscβ 的值. 六、板书设计:

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
教学目的: 知识目标: 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式; 2.掌握三种基本关系式之间的联系; 3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标: (1)牢固掌握同角三角函数的八个关系式,并能灵活运用于解题,提高学 生分析、解决三角的思维能力; (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P( x, y ) ,
2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么:

sin ? ?

y x y r x r , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? , sec ? ? , csc ? ? . r r x x y y

2.当角α 分别在不同的象限时,sinα 、cosα 、tgα 、ctgα 的符号分别是怎样的? 3.背景:如果 sin A ?

3 ,A 为第一象限的角,如何求角 A 的其它三角函数值; 5

4.问题:由于α 的三角函数都是由 x、y、r 表示的,则角α 的六个三角函数之间有什么关 系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:

? sin ? ? csc ? ? 1 ? (1)倒数关系: ?cos? ? sec ? ? 1 ? t an? ? cot? ? 1 ?

sin ? ? ?tan? ? cos? (2)商数关系: ? cos? ?cot? ? sin ? ?
?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? 2 2 (3)平方关系: ?1 ? tan ? ? sec ? ?1 ? cot2 ? ? csc 2 ? ?
2. 给出右图,你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数 的基本关系吗? (1)在对角线上的两个三角函数值的乘积等于 1,有倒 数关系。 (2)带有阴影的三个倒置三角形中,上面两个三角函数 值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平
sinA cosA

tgA

1

ctgA

secA

cscA

方关系。 (3)六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。 可演化出商数关系。 说明: ①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 等; ② 注 意 这 些 关 系 式 都 是 对 于 使 它 们 有 意 义 的 角 而 言 的 , 如
2 2

tan ? ? cot ? ? 1(? ?

k? ,k ? Z) ; 2
sin ? 等。 tan ?

③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos? ? ? 1? sin2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos ? ?
3.例题分析: 例 1. (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5 2 2 解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , 12 2 5 2 2 2 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? ( ) , 13 13
又∵ ? 是第二象限角, ∴ cos ? ? 0 ,即有 cos ? ? ?

tan ? ?

sin ? 12 ?? , cos ? 5
2

5 ,从而 13 1 5 cot ? ? ?? . tan ? 12
∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,
2 2 2 2

(2)∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2

4 5

3 5

又∵ cos ? ? ?

3 sin ? 3 ?? ; , tan ? ? 5 cos ? 4 3 sin ? 3 ? . 当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? ? , tan ? ? 5 cos ? 4
当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值 中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解 的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方 关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例 2.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? .
2 2 解:∵ sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ?

4 ?0, 5

∴ ? 在第二或三象限角。

sin ? , cos ? 1 , 1 ? tan 2 ?

∴ (cos? ? tan ? ) ? cos
2

2

? ? cos2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1,即有 cos 2 ? ?

又∵ tan ? 为非零实数,∴ ? 为象限角。

当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 cos ? ?

1 1 ? tan 2 ? , ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

tan ? 1 ? tan 2 ? ; 1 ? tan 2 ? 1 1 ? tan 2 ? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 cos ? ? ? , ?? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? sin ? ? tan ? ? cos ? ? sin ? ? tan ? ? cos ? ? ?
例 3.已知 cot ? ? m ( m ? 0 ) ,求 cos? 解: ∵ cot ? ?

tan ? 1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ?

cos ? cos ? , 即 sin ? ? , sin ? cot ? 2 2 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , 1 cos 2 ? 1 m2 2 2 cos 2 ? (1 ? 2 ) ? 1, cos 2 ? ? ? cos ? ? cos ? (1 ? ) ? 1 ,即 ∴ , m cot 2 ? cot 2 ? 1 ? m2 又∵ m ? 0 ,∴ ? 为象限角。

当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 , cos ? ? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos ? ? 0 , cos ? ? ?

m2 ; m2 ? 1 m2 . m2 ? 1

4.总结解题的一般步骤: ①确定终边的位置(判断所求三角函数的符号) ; ②根据同角三角函数的关系式求值。 三、巩固与练习 第 27 页 练习 1,2,3,4 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 3.在以上的题型中:先确定角的终边位置,再根据关系式求值。如已知正弦或余弦, 则先用平方关系,再用其它关系求值;若已知正切或余切,则可构造方程组来求值。 五、课后作业:六、板书设计:

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(2)
教学目的: 知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明; 能力目标: (1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。 (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:

1.同角三角函数的基本关系式。 (1)倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 . (2)商数关系:

sin ? cos ? ? tan ? , cot ? ? . cos ? sin ? 2 2 2 2 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ? . 4 (练习)已知 tan ? ? ,求 cos? 3
2.tanα cosα = 二、讲解新课: ,cotα secα = , (secα +tanα )( ? )=1

例 1.化简 1 ? sin 2 440? .
2 ? ? 2 ? 解:原式 ? 1 ? sin (360 ? 80 ) ? 1 ? sin 80 ? cos2 80? ? cos80? .

例 2.化简 1 ? 2sin 40? cos 40? . 解:原式 ? sin2 40? ? cos2 40? ? 2sin 40? cos 40?

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40? .
例 3、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求 解:? sin ? ? 2 cos?

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

? tan? ? 2

?

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ?

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? 4 ? 2 6 ? ? ? 4 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

强调(指出)技巧:1?分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 2?“化 1 法”

例 4、已知 sin ? ? cos? ?

3 ,求 tan? ? cot ?及sin ? ? cos?的值。 3 3 3
两边平方,得: sin ? cos ? ? ?

解:将 sin ? ? cos? ?

1 3

? tan ? ? cot ? ?

1 ? ?3 sin ? cos ? 2 5 ? 3 3

(sin ? ? cos ?) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?
例 5、已知 tan ? ? cot ? ?

? sin ? ? cos? ? ?

15 3

25 , 12

求 tan? ? cot ?, tan2 ? ? cot2 ?, tan3 ? ? cot3 ?, sin ? ? cos?

解:由题设: tan ? ? cot ? ?
2 2

625 ? 2, 144

∴ tan? ? cot ? ? ?

625 7 ?4 ? ? 144 12
25 7 175 ? (? ) ? ? 12 12 144

tan 2 ? ? cot 2 ? ? (tan ? ? cot ?)(tan ? ? cot ?) ?

tan3 ? ? cot3 ? ? (tan? ? cot ?)(tan2 ? ? cot2 ? ? tan? cot ?) 25 337 25 193 4825 ? ?( ? 1) ? ? ? 12 144 12 144 1728

sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? ? 1 ? 2 ?
(? tan ? ? cot ? ?

12 7 ?? 25 5

1 25 12 ? ? sin ? cos ? ? ) sin ? cos ? 12 25 1 (0 ? ? ? ?) ,求 tan? 及 sin 3 ? ? cos3 ? 的值。 例 6、已知 sin ? ? cos ? ? 5 12 ? , 0 ? ? ? ?, 得: cos ? ? 0 ? ? ? ( , ?) 解:1? 由 sin ? cos ? ? ? 25 2 49 7 2 , 得: sin ? ? cos ? ? 由 (sin ? ? cos ?) ? 联 25 5





? 1 4 ? i n o s i ?s ? ? c ? ? 5 ? s ? ?n ? 5 ?t ?? ? 7 3 ?s ? ? c ? ? s ?c ? ? ? i n o o s ? 5 5 ? ?
3 3

??? a n

4 3

4 3 3 3 91 5 5 125 4 ? 2m m?3 , cos ? ? , ?是第四象限角, 求 tan? 的值。 例 7、已知 sin ? ? m?5 m?5 4 ? 2m 2 m?3 2 2 2 ) ?( ) ?1 解:∵sin ? + cos ? = 1 ∴( m?5 m?5
2? sin ? ? cos ? ? ( ) ? (? ) ? 化简,整理得: m(m ? 8) ? 0 当 m = 0 时, sin ? ?

? m1 ? 0, m2 ? 8

4 3 , cos ? ? ? , (与?是第四象限角不合) 5 5 12 5 12 当 m = 8 时, sin ? ? ? , cos ? ? , ? tan ? ? ? 13 13 5
三、巩固与练习 1:已知 12 sin? +5 cos? =0,求 sin? 、cos? 的值. 解:∵12 sin? +5 cos? =0 ∴sin? = ?

5 12

cos? ,又 sin

2

? ? cos2 ? ? 1

则( ?

5 12

cos? )2+ cos2 ? =1,即 cos2 ? =

144 169

∴cos? =±

12 13

5 ? 5 ? sin ? ? ? sin ? ? ? ? ? 13 ? 13 ∴? 或? ?cos? ? 12 ?cos? ? ? 12 ? ? ? ? 13 13
5 ;原式= 7

4 sin ? ? 2 cos ? 2.已知 tan ? ? 3 ,求(1) 5 cos ? ? 3 sin ?

9 (2) 2 sin ? ? sin ? cos? ? 3 cos ? ;原式= 5
2 2

说明: (1)为了直接利用 tan ? ? 3 ,注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、 分母同除以 cos? ,将分子、分母转化为 tan ? 的代数式; (2)可利用平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 ,将分子、分母都变为二次齐次式,再利用商数
2 2

关系化归为 tan ? 的分式求值; 3

1 (1)tg 2 A ? sin 2 A ? tg 2 A ? sin 2 A(2)设 sin x ? cos x ? , 求 sin 3 x ? cos2 x 5 1 4 cos x ? 5 sin x (3)ctgx ? , 求(1) ; (2)8 sin 2 x ? 9 cos2 x. 4 6 cos x ? 7 sin x

(4)化简(1) sec 2 30? ? 1(2) cos2 x ? 6 cos x ? 9 (3) sin 2 10? ? 2 sin 10? cos10? ? cos2 10? (4) 1 ? sin 4 x ? cos4 x ctgA ? tgA sec A (5) 2 ? 6 6 2 1 ? sin x ? cos x sin A ? cos A sin A

4.已知 secα —tgα =5,求 sinα 。 解 1:∵secα —tgα =5=5?1=5(sec2α —tg2α )=5(secα +tgα ) (secα —tgα ) ,故 sec α +tgα =1/5, 则 secα =13/5,tgα =—12/5;sinα =tgα ?cosα = ? 解 2:由已知:

1 ? sin ? ? 5,? sin ? ? 1,? cos ? ? 0 cos ? 12 2 则 1 ? sin ? ? 5 1 ? sin ? ? sin ? ? 1, or sin ? ? ? 13
5.已知 sin ? ? sin ? ? 1 ,求 cos ? ? cos ? 值;
2 2 6

12 13

解:可求

sin ? ?

5 ?1 2

cos2 ? ? cos6 ? ? sin ? ? sin 3 ? ? sin ? ? (1 ? cos2 ? ) sin ? ? 2 sin ? ? sin 2 ? ? 3 sin ? ? 1 ? 3? 5 ?1 3 5 ?5 ?1 ? 2 2
2

分析: 本题关键时灵活地多次运用条件 sin ? ? sin ? ? 1 从而结合同角三角函数关系式达到 降次求解的目标; 小结:化简三角函数式,化简的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最 低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数 值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常常将式子中的“1”作巧妙的变形, 如:1= sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? csc ? ? cot ?
2 2 2 2 2 2

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.运用同角三角函数关系式化简、证明。 2.常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等。 五、课后作业:习题 4.4 第 5,7,8 题 思考:已知 sin? =2sinβ ,tan? =3tanβ ,求 cos2 ? 的值. 解:sinβ =
sin ? 2

t an?
tanβ =

3

又 1+ tan2β =

1 cos ?
1 1?
2



∴1+

tan? 9

?

sin ? 4

2

,即8 ?

1 cos ?
2

?

36 3 ? cos ?
2

即 8 cos ? ? 11cos ? ? 3 ? 0,解得 cos ? ? 1或 cos ? ? 六、板书设计:

4

2

2

2

3 8

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(3)
教学目的: 知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明; 能力目标: (1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。 (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力;

德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.同角三角函数的基本关系式。 (1)倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 . (2)商数关系:

sin ? cos ? ? tan ? , cot ? ? . cos ? sin ? 2 2 2 2 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ? . 4 (练习)已知 tan ? ? ,求 cos? 3
2.tanα cosα = 二、讲解新课: 例 8.已知 解:∵ ,cotα secα = , (secα +tanα )( ? )=1

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集合。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )2 (1 ? sin ? )2 |1 ? sin ? | |1 ? sin ? ? = ? ? ? | cos ? | | cos ? | 1 ? sin ? 1 ? sin ? cos2 ? cos2 ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2sin ? = = . | cos ? | | cos ? |

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ? 2sin ? 2 sin ? ? ? 0 , 即得 sin ? ? 0 或 | cos ? |? ? cos ? ? 0 . ∴ | cos ? | cos ? ? 3? , k ? Z }. 所以,角 ? 的集合为: {? | ? ? k? 或 2k? ? ? ? ? 2k? ? 2 2 例 9.化简 (1 ? cot ? ? csc? )(1 ? tan ? ? sec? ) . cos ? 1 sin ? 1 ? )(1 ? ? ) 解:原式= (1 ? sin ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? cos ? ? 1 cos ? ? sin ? ? 1 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 1 ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ? ?2. ? ? ? sin ? ? cos ? sin ? cos ? sin ? ? cos ?
又∵ 说明:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点: (1)所含三角函数的种类最少; (2)能求值(指准确值)尽量求值; (3)不含特殊角的三角函数值。

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x 证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? 右边. ? ∴左边= cos x (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x
例 10.求证: ∴原式成立.

证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? cos x ? cos x ,

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x 证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 .


cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? ? ? 0, 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) cos x cos x 1 ? sin x ? ∴ . 1 ? sin x cos x
例 11.求证: sin x ? tan x ? cos x ? cot x ? 2sin x ? cos x ? tan x ? cot x .
2 2

证明:左边 ? sin x ?
2

sin x 1 ? cos 2 x ? ? 2sin x ? cos x cos x tan x sin 3 x cos x ? cos 2 x ? ? 2sin x ? cos x ? cos x sin x sin 4 x ? cos 4 x ? 2sin 2 x cos 2 x (sin 2 x ? cos 2 x) 2 1 ? ? , ? sin x ? cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 2 x ? cos 2 x 1 ? ? ? 右边 ? . cos x sin x sin x cos x sin x cos x

所以,原式成立。 总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常 用的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边(如例 5 的证法一)(2)证明左右两边 ; 同等于同一个式子(如例 6)(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。 ;

1? 3 (0 ? x ? ? ) ,求 sin x, cos x . 2 1? 3 (0 ? x ? ? ) 等式两边平方: 解:由 sin x ? cos x ? 2 1? 3 2 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin x cos x ? ( ) . 2 3 ∴ sin x cos x ? ? (*) , 4 ? 1? 3 ?sin x ? cos x ? ? 2 , 即? ?sin x cos x ? ? 3 ? ? 4 1? 3 3 1 3 sin x, cos x 可看作方程 z 2 ? z? ? 0 的两个根,解得 z1 ? , z2 ? ? . 2 4 2 2 又∵ 0 ? x ? ? ,∴ sin x ? 0 .又由(*)式知 cos x ? 0 1 3 因此, sin x ? , cos x ? ? . 2 2
例 12.已知 sin x ? cos x ? 三、巩固与练习 3. 求证:

(1)ctg 2 A(tg 2 A ? sin 2 A) ? sin 2 A 1 sec ? ? csc 2 ? (3)(1 ? sin 2 A)(sec2 A ? 1) ? sin 2 A(csc2 A ? ctg 2 A) cos x 1 ? sin x (4) ? 1 ? sin x cos x (2) sin 2 ? cos2 ? ?
2

小结:化简三角函数式,化简的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最 低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数 值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常常将式子中的“1”作巧妙的变形, 如:1= sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? csc ? ? cot ?
2 2 2 2 2 2

cos 2、已知方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , ? ,


sin ? cos ? ? 的值。 1 ? cot ? 1 ? tan ?

解:? 原式 ?

sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? sin ? ? cos? sin ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos? 3 ?1 2
(化弦法)

?由韦达定理知:原式?

3、已知 a sec ? ? c tan? ? d , b sec ? ? d tan? ? c, 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 证:由题设: ?

? a sec ? ? c tan? ? d (1) ?b sec ? ? ?d tan? ? c (2)

(1) 2 ? (2) 2: (a 2 ? b 2 ) sec2 ? ? (c 2 ? d 2 ) tan2 ? ? c 2 ? d 2
(a 2 ? b 2 ) sec2 ? ? (c 2 ? d 2 ) sec2 ?
? a2 ? b2 ? c2 ? d 2
4、消去式子中的 ?: ?

? x ? sin ? ? cos? (1) ? y ? tan? ? cot ? (2)
? sin ? cos? ? x2 ?1 (3) 2

解:由 (1): x ? 1 ? 2 sin ? cos?
2



(2): y ?

sin ? cos? 1 ? ? cos? sin ? sin ? cos?

? sin ? cos? ?

1 y

(4)

将(3)代入(4): y ?

2 x ?1
2

(平方消去法)

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.运用同角三角函数关系式化简、证明。 2.常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等。 五、课后作业: 六、板书设计:

4-1.3 三角函数的诱导公式
一、教材分析 (一)教材的地位与作用: 1、本节课教学内容“诱导公式(二)(三)(四) 、 、 ”是人教版数学 4,第一章 1、3 节 内容,是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式(一)等知识 的延续和拓展,又是推导诱导公式(五)的理论依据。 2、 求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。 诱导公式是求三角函数值的基本方法。 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~90°角的三角函数值 问题。诱导公式的推导过程,体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到 一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思 想方法具有重大的意义。 (二)教学重点与难点: 1、教学重点:诱导公式的推导及应用。 2、教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 二、目标分析 根据教学内容的结构特征, 依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求, 结合学生的 实际水平,本节课的教学目标为: 1、知识目标: (1)识记诱导公式。 (2)理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角 函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明。 2、能力目标: (1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数 学的归纳转化思想方法。 (2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解 从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。 (3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和

解决问题的实践能力。 3、情感目标: (1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神, 培养学生的创新意识和创新精神。 (2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯, 渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。 三、过程分析 (一)创设问题情景,引导学生观察、联想,导入课题 I 重现已有相关知识,为学习新知识作铺垫。 1、提问:试叙述三角函数定义 2、提问:试写出诱导公式(一) 3、提问:试说出诱导公式的结构特征 4、板书诱导公式(一)及结构特征: 诱导公式(一) sin(k?2π + ? )=sin ? tg(k?2π + ? )=tg ? (k∈Z) 结构特征:①终边相同的角的同一三角函数值相等 ②把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~360°角的三角函数值问 题。 5、问题:试求下列三角函数的值 (1)sin1110° (2)sin1290° cos(k?2π + ? )=cos ?

学生: (1)sin1110°=sin(3?2π °+30°)=sin30°= (2)sin1290°=sin(3?π °+210°)=sin210°

1 2

(至此,大多数学生无法再运算,从已有知识导出新问题) 6、引导学生观察演示(一) ,并思考下列问题一: 2100

300

х

演示(一) (1)210°能否用(180°+ ? )的形式表达?

(0°< ? <90°=(210°=180°+30°) (2)210°角的终边与 30°的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) (3) 210°、 设 30°角的终边分别交单位圆于点 p、 , p' 则点 p 与 p' 的位置关系如何? (关于原点对称) (4)设点 p(x,y) ,则点 p’怎样表示? (5)sin210°与 sin30°的值关系如何? 7、师生共同分析: 在求 sin210°的过程中,我们把 210°表示成(180°+30°)后,利用 210°与 30°角 的终边及其与单位圆交点 p 与 p′关于原点对称, 借助三角函数定义, 180°~270°角的 把 三角函数值转化为求 0°~90°角的三角函数值。 8、导入课题:对于任意角 ? ,sin ? 与 sin(180+ ? )的关系如何呢?试说出你的猜想。 (二)运用迁移规律,引导学生联想类比、归纳、推导公式 (I)1、引导学生观察演示(二) ,并思考下列问题二: [p' (-x,-y)]

1800

300

1800
χ χ χ

180

0

1800

χ

设 ? 为任意角

演示(二)

(1)角 ? 与(180°+ ? )的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) (2)设 ? 与(180°+ ? )的终边分别交单位圆于 p,p′,则点 p 与 p′具有什么关系? (关于原点对称) [p′(-x,-y)]

(3)设点 p(x,y) ,那么点 p′坐标怎样表示?

(4)sin ? 与 sin(180°+ ? ) 、cos ? 与 cos(180°+ ? )关系如何? (5)tg ? 与 tg(180°+ ? ) (6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何? 2、教师针对学生思考中存在的问题,适时点拨、引导,师生共同归纳推导公式。 (1)板书诱导公式(二) sin(180°+ ? )=-sin ? tg(180°+ ? )=tg ? (2)结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) cos(180°+ ? )=-cos ?

②把求(180°+ ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值。 3、基础训练题组一:求下列各三角函数值(可查表) ①cos225° ②tg-π ③sin

11 π 10

4、用相同的方法归纳出公式: sin(π - ? )=sin ? cos(π - ? )=-cos ? tg(π - ? )=-tg ? 5、引导学生观察演示(三) ,并思考下列问题三:

3000 30

演示(三) (1)30°与(-30°)角的终边关系如何? (关于 x 轴对称)

(2)设 30°与(-30°)的终边分别交单位圆于点 p、p′,则点 p 与 p′的关系如何? (3)设点 p(x,y) ,则点 p′的坐标怎样表示? (4)sin(-30°)与 sin30°的值关系如何? 6、师生共同分析:在求 sin(-30°)值的过程中,我们利用(-30°)与 30°角的 终边及其与单位圆交点 p 与 p′关于原点对称的关系,借助三角函数定义求 sin(-30°) 的值。 (Ⅱ)导入新问题:对于任意角 ? sin ? 与 sin(- ? )的关系如何呢?试说出你的猜 想? 1、引导学生观察演示(四) ,并思考下列问题四: [p′(x,-y)]

O

χ

χ

χ

χ

设 ? 为任意角

演示(四) (关于 x 轴对称)

(1) ? 与(- ? )角的终边位置关系如何?

(2) ? 与 设 (- ? ) 角的终边分别交单位圆于点 p、 p′, 则点 p 与 p′位置关系如何?

(关于 x 轴对称) (3)设点 p(x,y),那么点 p′的坐标怎样表示? [p′(x,-y)]

(4)sin ? 与 sin(- ? ) cos ? 与 cos(- ? )关系如何? 、 (5)tg ? 与 tg(- ? ) (6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式结构特征如何? 2、学生分组讨论,尝试推导公式,教师巡视及时反馈、矫正、讲评 3、板书诱导公式(三) sin(- ? )=-sin ? tg(- ? )=-tg ? 结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角) ②把求(- ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值 4、基础训练题组二:求下列各三角函数值(可查表) ① sin(- cos(- ? )=cos ?

? ) ②tg(-210°) ③cos(-240°12′) 3

(三)构建知识系统、掌握方法、强化能力 I、课堂小结: (以填空形式让学生自己完成) 1、诱导公式(一)(二)(三) 、 、 sin(k?2π + ? )=sin ? tg(k?2π + ? )=tg ? (k∈Z) cos(k?2π + ? )=cos ?

sin(π + ? )=-sin ? tg(π + ? )=tg ? sin(- ? )=-sin ? tg(- ? )=-tg ? 用相同的方法,归纳出公式 Sin(π -α )=Sin ? Cos(π -α )=-cosα Ten(π -α )=-tanα

cos(π + ? )=-cos ? cos(- ? )=cos ?

2、公式的结构特征:函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) (Ⅱ)能力训练题组: (检测学生综合运用知识能力)

1、已知 sin(π + ? )=

4 ( ? 为第四象限角) ,求 cos(π + ? )+tg(- ? )的值。 5

2、求下列各三角函数值 53 11 (1)tg(- π ) (2)sin(=- π ) 6 3 17 0 1 (3)cos(-510 15 ) (4)sin(- ) 3

(III)方法及步骤: 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 00~3600 间角 的三角函数 00~900 间角 的三角函数 查表 求值

(IV)作业与课外思考题 通过上述两题的探索,你能推导出新的公式吗? 四、教法分析 根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律,本节课彩了“问题、类比、发现、归 纳”探究式思维训练教学方法。 (1)利用已有知识导出新的问题,创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发学生的求 知欲,达到以旧拓新的目的。 π π (2)由(1800+300)与 300、 (-300)与 300 终π - 与 )边对称关系的特殊例子, 6 6 利多媒体动态演示。 学生对“α 为任意角” 的认识更具完备性, 通过联想、 引导学生进行导, 问题类比、方法迁移,发现任意角α 与(1800+α ) 、-α 终边的对称关系,进行寅,从特 殊到一般的归纳推理训练,学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性,培养学生的创新 能力。 (3)采用问题设疑,观察演示,步步深入,层层引发,引导联想、类比,进而发现、 归纳的探究式思维训练教学方法。 旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。 在教 师适时的启发点拨下, 学生在类比、 归纳的过程中积极主动地去探索、 发现数学规律 (公式) , 培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。 (4)通过能力训练题组和课外思考题,把诱导公式(一)(二)(三) 、 、 、四的应用进 一步拓广,把归纳推理和演绎推理有机结合起来,发展学生的思维能力。

4-1.4.1 正弦、余弦函数的图象(1)
教学目的: 知识目标: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的 形状;

(2)根据关系 cos x ? sin( x ? ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;
2

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些 有关问题; 能力目标: (1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工 作精神; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象,周期性; 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P (x,y) P 与原点的距离 r( r ? 则比值

x ? y ? x2 ? y2 ? 0 )
2 2

P (x, y)
r

y 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r

记作: 记作:

y r x cos ? ? r sin ? ?

?

3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,则有

sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) : 为了作三角函数的图象, 三角函数的自变量要用弧度制来度量, 使自变量与 函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的 形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴 的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份. (预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应). 第二步: 在单位圆中画出对应于角 0,

?
6



? ? , ,?, 的正弦线正弦线 2π (等价于 “列 3 2

表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x

∈[0,2π ]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移 动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象 用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角 x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向 下平移,过 O1 作与 x 轴的正半轴成

? 角的直线,又过余弦线 O1 A 的终点 A 作 x 轴的垂线, 4

它与前面所作的直线交于 A′, 那么 O1 A 与 AA′ 长度相等且方向同时为正, 我们就把余弦线 O1 A “竖立”起来成为 AA′,用同样的方法,将其 它的余弦线也都“竖立”起来.再将它们平移, 使起点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则终点就是余 弦函数图象上的点.] 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立” (把角 x 的余弦线 O1M 按逆时针方向旋转

? 到 2

O1M1 位置,则 O1M1 与 O1M 长度相等,方向相同.)根据诱导公式 cos x ? sin( x ? 正弦函数 x=sinx 的图象向左平移 移曲线” )

?
2

) ,还可以把

? 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平 2

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o

y=sinx
? 3? 4? 5?

2?

6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:

? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是
(0,0) (

? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点 法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2) y=|sinx|, (3)y=sin|x|
(0,1) ( 例 2 用五点法作函数 y ? 2 cos( x ? 例3

?
3

), x ? [0, 2? ] 的简图.

分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2
三、巩固与练习 四、小

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业:作业: 补充:1.分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出 y=sinx 的图象 2.分别在[-4?,4?]内作出 y=sinx 和 y=cosx 的图象 3.用五点法作出 y=cosx,x?[0,2?]的图象 六、板书设计:

4-1.4.1 正弦、余弦函数的图象(2)
1、 教学目标: 2、 使学生学会用“五点(画图)法”作正弦函数、余弦函数的图象。

3、 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳,培养学生的数学能力。 4、 通过营造开放的课堂教学氛围,培养学生积极探索、勇于创新的精神。 5、 教学重点和难点: 6、 重点:用“五点(画图)法”作正弦函数、余弦函数的图象。 7、 难点:确定五个关键点。 8、 教学过程: 9、 思考探究 10、 复习 (1) 关于作函数,x∈〔0,2π 〕的图象,你学过哪几种方法? (2) 观察我们上一节课用几何法作出的函数y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,你发 现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用?为什么? (用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程) 2、 “五点(画图)法” 在精确度要求不高时,先作出函数y=sinx的五个关键点,再用平滑的曲线将它们顺 次连结起来,就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点(画图)法” 。 (1) 、请你用“五点(画图)法” 作函数y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象。 解:按五个关键点列表: 描 点 、 连 线 ,画出简图。 x Sin x 0

π 2


π

3 π 2
-1

0

0

(用几何画板画出 Y=sinx 的图像,显示动画) (2) 、试用“五点(画图)法”作函数y=cosx, x∈〔0,2π 〕的图象。 解:按五个关键点列表: x Cos x 描点、连线,画出简图。 0

π 2
0

π

3 π 2
0

1

-1

1.5

f?x? = cos?x?

1

0.5

O
-0.5 -1

1

? 2

2

3

4

5

6

π

3 π 2



一、 自主学习 例1. 画出下列函数的简图: (1) y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕 (2) y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕 解: (1) 按五个关键点列表:

x Sin x 1+ 描 点、 连 线, 画出 简图。 S i n x

0

π 2


π

3 π 2
-1

0

0

1

2

1

0

f ? x? = 1+sin? x?
2

g? x? = s in x? ?

O
-2

? 2

π

3 2

5

π



(2)按五个关键点列表:

x

0

π 2
0

π

3 π 2
0

Cosx 描 点、 连 线, 画出 简图。 C o s x

1

-1

-1

0

1

0

2

f? x? = -cos ? x?
g? x? = cos? x?

O
-2

? 2

π

3 2

5

π



10

二、 合作学习 ●探究 1 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到(1)y =1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 ●探究 2 如何利用 y=cos x, 〔0, x∈ 2π 〕 的图象, 通过图形变换 (平移、 翻转等) 来得到 y=-cosx , x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:这两个图像关于 X 轴对称。 ●探究 3 如何利用 y=cos x, 〔0, x∈ 2π 〕 的图象, 通过图形变换 (平移、 翻转等) 来得到 y=2-cosx , x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象, 再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。 ●探究 4 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请在同一坐标 系中画出它们的简图,以验证你的猜想。 小结:sin( x - 3π /2 )= sin[( x - 3π /2 ) +2 π ] =sin(x+π /2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。 三、 归纳小结 1、五点(画图)法 (1)作法 先作出五个关键点,再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。 (2)用途 只有在精确度要求不高时,才能使用“五点法”作图。 (3)关键点 横坐标:0 π /2 π 3π /2 2π 2、图形变换 平移、翻转等 四、 布置作业 P53:A 组 1 P54:B 组 1

4-1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的: 知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周

期。 德育目标: 让学生自己根据函数图像而导出周期性, 领会从特殊推广到一般的数学思想, 体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.问题: (1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

?2? 0

x
函数值

?

3? 2
1

??
0

?

?
2

0
0

? 2
1

?
0

3? 2
?1

2?
0

sin x

?1
y – 1

?5?

?2?

??

?

?
2

O ?1 –

?
2

?

2?

5?

x

正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言: x 增加 2k? ( k ? Z ) 总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 当 时, 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函 数的周期。 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

2? 2? ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 6 3 6 x k (2) 正弦函数 y ? sin x , ? R 是不是周期函数, 如果是, 周期是多少? 2k? , ? Z ( 且k ? 0) * (3)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么? (是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) )

?

?

2、说明:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义

域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小 的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? ( f ( x) ? c 没有最小正周期) 3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ?

1 2

?
6

),

x? R.

解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x ,

x ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? , 函数 y ? 3cos x , ? R 的值才能重复出现,
所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . (3)∵ 2sin( x ?

1 ? 1 ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) , 6 2 6 2 6 ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? , 函数 y ? sin 2 x ,x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . x (其中 A, ? , ? 说明:1) ( 一般结论: 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , ? R 2? 为常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期 T ? ; 1 2
(2)若 ? ? 0 ,例如:① y ? 3cos(? x) , x ? R ;② y ? sin(?2 x) , x ? R ; ③ y ? 2sin( ?

?

?

1 ? x ? ), x? R. 2 6

则这三个函数的周期又是什么? 一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ? 例 2 先化简,再求函数的周期 ① y ? sin x ? cos x ② y ? cos2 x ? 2 3 cos x sin x ? sin 2 x ③证明函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | 的一个周期为 例 3 求下列三角函数的周期: 1? y=sin(x+
x ? ? ) 2? y=cos2x 3? y=3sin( + ) 2 5 3

2? |? |

? ,并求函数的值域; 2

解:1? 令 z= x+

? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3

即:f (2?+z)=f (z) ∴周期 T=2?

f [(x+2)?+

2?令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)]

即:f (x+?)=f (x) 3?令 z=

∴T=?

x ? x ? + 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5

=3sin( 小结:形如 y=Asin(ω x+φ )

x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

∴T=4?
2?

(A,ω ,φ 为常数,A?0, x?R) 周期 T=

?

y=Acos(ω x+φ )也可同法求之 例 4 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 2? y=|sinx| 解:1? y1=sin(2x+ y2=2cos(3x-

? ? )+2cos(3x- ) 4 6
2

3? y=2 3 sinxcosx+2cos x-1

? ) 最小正周期 T1=? 4

? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图

y 1 ? -? o 注意小结这两种类型的解题规律
??

2?

3?

x

3? y= 3 sin2x+cos2x 三、巩固与练习 1. y=2cos(

1

∴T=?

? x ? ? )-3sin( x ? ) 4 4 3
? ? )+sin(4x- ) 2 3

2. y=-cos(3x+ 3. y=|sin(2x+ 4. y=cos

? )| 6

? ? 2? sin +1-2sin 2 2 2 四、小 结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期 五、课后作业:P56 练习 5、6 P58 习题 4.8 补充: 1.求下列函数的周期:

3

1?y=sin(2x+

? ? )+2cos(3x- ) 4 6

2? y=|sinx| 1? y=sin(3x+

3? y=2 3 sinxcosx+2cos2x-1 2? y=sin2x-4sinx+5 3? y=
3 ? cos x 3 ? cos x

2. 求下列函数的最值:

? )-1 4

3.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为-4,求 k,b 的值。

六、板书设计: 课题 一、知识点 (一) (二) 例题: 1. 2.

七、课后反思: 题选 求下列函数的周期: (1) y ? sin(

?
3

?

?
2

x) ;

(2) y ? cos

(3) y ? sin x ? cos x ; 解: (1) T ?

2? |?

3x x 3x x cos ? sin sin ; 2 2 2 2 x x 2 ? sin 2 ; (4) y ? cos (5) y ? cos2 x . 2 2

?
2

? 4 ,∴周期为 4 ; |

(2) y ? cos

3x x 3x x 3x x cos ? sin sin ? cos( ? ) ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 2 2 2 2 2 sin( ? x) 4

(3) y ? cos x ? sin x ? (4) y ? sin
2

?

∴周期为 2? ;

x x ? cos 2 ? ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 1 1 1 2 (5) y ? cos x ? (1 ? cos 2 x) ? ? cos 2 x ? ,∴周期为 ? . 2 2 2 说明:求函数周期的一般方法是:先将函数转化为 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式,再利用公式 2? T? 进行求解。

?

4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; 能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的 意志, 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性; 教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:

二、讲解新课: 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如: f(-

? 1 ? 1 ? ? )= ,f( )= ,即 f(- )=f( );?? 3 2 3 2 3 3
∴f(-x)= f(x).

由于 cos(-x)=cosx

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么, 与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上, 这时, 我们说函数 y=cosx 是偶函 数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数。 例如:函数 f(x)=x +1, f(x)=x -2 等都是偶函数。
2 4

(2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对 称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点 (-x,-y)也在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么 函数 f(x)就叫做奇函数。 例如:函数 y=x, y=

1 x

都是奇函数。

如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2)f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算 f(-x),看是等于 f(x)还是等于- f(x), 然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。 2.单调性 从 y=sinx,x∈[-

? 3?
2 , 2

]的图象上可看出:

? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2
当 x∈[- 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[- 增大到 1;在每一个闭区间[

? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2 2

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 2 2 3?

到-1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增 加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知 y=sinx 的对称轴为 x= k? ? y=cosx 的对称轴为 x= k?

?
2
k∈Z

k∈Z

(1)写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴; (2) y ? sin( x ? (A) x 轴,

?
4

) 的一条对称轴是( C )

(B) y 轴, (C) 直线 x ?

?
4



(D) 直线 x ? ?

?
4

4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x
4 4

(2)f(x)=sin x-cos x+cos2x; (3) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x );

lg(1 ? x 2 ) (4) f ( x) ? | x ? 2 | ?2 ? 2 ?x ? x (5) f ( x) ? ? ?? x 2 ? x ?

( x ? 0) ( x ? 0)

; ;对称中心是 . ;对称中心是 .

例 2 (1)函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是

(2)函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x 图象的对称轴是 例3

已知 f(x)=ax+bsin3x+1(a、b 为常数),且 f(5)=7,求 f(-5).

例 4 已知已知f ( x) ? log 1 (1) (2) (3)

1 ? sin x . 2 1 ? sin x

求 f(x)的定义域和值域; 判断它的奇偶性、周期性; 判断 f(x)的单调性.

例 5 (1)θ 是三角形的一个内角,且关于 x 的函数 f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,求 θ 的值. (2)若函数 f(x)=sin2x+bcos2x 的图象关于直线 x ? ? 例 6 已知 f ( x) ? log a (sin 4. 有关奇偶性 (1) f ( x) ? sin | x | ? | sin x | (2) ( x ) ?
2

?
8

对称,求 b 的值.

x x ? sin 4 )(a ? 0, a ? 1) ,试确定函数的奇偶性、单调性. 2 2

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

有关单调性 (1)利用公式 sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
2

,求证 f ( x) ? sin x 在 [ ?

? ?

, ] 上是 2 2

增函数; (2)不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ① sin( ?

); 18 10 23 17 ② cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) 5 4
(3)比较 sin 1, sin 2, sin 3 大小; sin(? ? 3) ? sin 1 ? sin(? ? 2) (4)求函数 y ? 2 sin( 3 x ? 二、巩固与练习 练习讲评 (1)化简: 2 ? sin 2 2 ? cos4

?

) ? sin( ?

?

?
4

) 的单调递增区间;

a sin
(2)已知非零常数 a, b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值; ? ? a 15 a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

(3)已知 8 sin ? ? 10cos ? ? 5,8 cos? ? 10sin ? ? 5 3 求值: (1) sin(? ? ? ) ; (2) sin( 解: (1) 2 ? sin 2 2 ? cos4

?
3

??)

? 2 ? sin 2 2 ? 1 ? 2 sin 2 2 ? 3(1 ? sin 2 2) ? 3 cos 2 2 ? 3 | cos 2 |? ? 3 cos 2
(2)

a ? ? 8? sin ? cos sin b 5 5 ? 15 a ? ? 8? cos ? sin cos b 5 5 15 8? ? 8? ? 8? ? sin cos ? cos sin sin( ? ) a 15 5 15 5 ? 15 5 ? tan ? ? 3 ? ? 8? ? 8? ? 8? ? b 3 cos cos ? sin sin cos( ? ) 15 5 15 5 15 5 2 (3)两式平方相加得 164 ? 160sin(? ? ? ) ? 100 ? sin(? ? ? ) ? ; 5

10cos ? ? 5 ? 8 sin ? 10sin ? ? 5 3 ? 8 cos?
两式平方相加得 100 ? 164? 80sin ? ? 80 3 cos?



1 3 2 ? 2 sin ? ? cos? ? ,? sin( ? ? ) ? 2 2 5 3 5

四、小

结:本节课学习了以下内容: 1. 2. 3. 五、课后作业:见教材 六、板书设计:

4-1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 授课类型:新授课 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 问题:正弦曲线是怎样画的? 正切线? 练习正切线,画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数和余切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
? ?k ? , , z ?

? ? ? t a n x ? ? ? ? t a x? x R , ? ? k n ? 且 x ? ? 2 ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作 y ? tan x , x? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。
y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 无穷多支曲线组成的。 4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?
2

? k ? Z ? 所隔开的

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2

??? ?k ? z ?, x ? k? ? ? 时, tan x ?? ??
2

?

2 T ?? ; (3)周期性:

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ? k? 时, tan x ? ?? 。

(4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数; (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 ? ? 2 ? 2 ? 5.余切函数 y=cotx 的图象及其性质(要求学生了解) :

? ?? ?? ? ? 向左平移 个 y ? cot x ? tan? ? x ? ? ? tan? x ? ? ——即将 y ? tan x 的图象, 2 2? ?2 ? ?
单位,再以 x 轴为对称轴上下翻折,即得 y ? cot x 的图象
王新敞
奎屯 新疆

定义域: x ? R且x ? k? , k ? z 值域:R,

当 x ? ? k? , k? ? 周期: T ? ? 奇偶性:奇函数

? ?

??

? ? ? ?k ? z 时 y ? 0 ,当 x ? ? k? ? , k? ?k ? z 时 y ? 0 2? 2 ? ?

单调性:在区间 ?k? , ?k ? 1?? ? 上函数单调递减 6.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?

王新敞
奎屯

新疆

? 13? ? ? 17? ? 与 tan? ? ? 4 ? ? 5

? ? 的大小 ?

王新敞
奎屯

新疆

解:? tan? ?

? 2? ? 13? ? ? 17? ? ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan , 4 5 ? 4 ? ? 5 ?
? 2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, 5 ? 2? 2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? ?

又: 0 ?

?
4

? tan

?
4

? tan

王新敞
奎屯

新疆

例 2 讨论函数 y ? tan? x ?

??

? 的性质 4?

王新敞
奎屯

新疆

略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? 值域:R 单调性:在 ? k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

奇偶性:非奇非偶函数

? ?

3? ?? , k? ? ? 上是增函数 4 4?

王新敞
奎屯

新疆

图象:可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 例 3 求函数 y=tan2x 的定义域 解:由 2x≠kπ+
王新敞
奎屯 新疆

? 单位 4

王新敞
奎屯

新疆

? ,(k∈ Z) 2 k? ? 得 x≠ + ,(k∈ Z) 2 4
∴ =tan2x 的定义域为: x|x∈ 且 x≠ y { R

k? ? + ,k∈ Z} 2 4

例 4 观察正切曲线写出满足下列条件的 x 的值的范围:tanx>0 解:画出 y=tanx 在(- 为:0<x<

? 2

? ? , )上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围 2 2

结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ+

? ? 上满足的 x 的取值范围为(kπ,kπ+ )(k∈ Z) 2 2
王新敞
奎屯 新疆

例 5 不通过求值,比较 tan135°与 tan138°的大小 解:∵ 90°<135°<138°<270° 又∵ =tanx 在 x∈ y (90°,270°)上是增函数 ∴ tan135°<tan138° 三、巩固与练习 P.71.练习 2,3,6 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π,π]内的图象 解: (1)要使函数 y=tan2x 有意义,必须且只须 2x≠ 即 x≠

王新敞
奎屯

新疆

?
2

+kπ,k∈ Z

?
4



k? ,k∈ Z 2

∴ 函数 y=tan2x 的定义域为{x∈ R|,x≠ (2)设t=2x,由 x≠

?
4

?

k? ,k∈ Z} 2

?
4

?

k? ? ,k∈ Z}知t≠ + 2 2

kπ,k∈ Z
∴ y=tant的值域为(-∞,+∞) 即 y=tan2x 的值域为(-∞,+∞) (3)由 tan2(x+

?
2

)=tan(2x+π)=tan2x

∴ y=tan2x 的周期为

?
2



(4)函数 y=tan2x 在区间[-π,π]的图象如图 四、小 结:本节课学习了以下内容:

1.因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z } ,所以它的图象被

x??

?

3 ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数的图 象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得到整个正切 函数的图象。 讨 论函 数的单 调性 应借助 图象 或相关 的函 数的单 调性 ;形如 y = tan(ωx) ,

x≠

k?

?

?

? ? (k∈ Z)的周期 T= ;注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 2? ?

王新敞
奎屯

新疆

五、课后作业: 六、板书设计:

4-1.4.3 正切函数的性质与图象(2)
教学目的: 知识目标:熟练掌握正切函数的图象和性质,并能用之解题;

能力目标:渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:正切函数的图象和性质的运用。 教学难点:灵活应用正切函数的性质解决相关问题. 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.作正切曲线的简图,说明正切曲线的特征。 2.回忆正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。 二、讲解新课: 例 1:求下列函数的周期:

? 5? ?? ? (2) y ? tan ? 3x ? ? 6? ?

(1) y ? 3tan ? x ?

? ?

??

答: T ? ? 。 答: T ?

?
3



说明:函数 y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0? 的周期 T ? 例 2:求函数 y ? tan? 3x ?

? . ?

? ?

??
?

? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性,并说 3?
得x ?

明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

k? 5? ? , 3 2 3 18 ? k? 5? ? ? ∴所求定义域为 ? x | x ? R, 且x ? ? , k ? z ? ,值域为 R,周期 T ? ,是非奇非偶 3 3 18 ? ? ? k? ? k? 5? ? 函数,在区间 ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?
解:由 3 x ?

?

? k? ?

将 y ? tan x 图象向右平移

? ?? ? 个单位,得到 y ? tan ? x ? ? 的图象;再将 3 3? ? 1 ?? ? ,就得到函数 y ? tan ? x ? ? 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 3 3? ? ?? ? y ? tan? 3x ? ? 的图象。 3? ?
tan x ? 3 的定义域。

例 3:用图象求函数 y ?

解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ? 3 , 利用图象知,所求定义域为 ? k? ? 亦可利用单位圆求解。

? ?

?
3

, k? ?

??

??k ? Z ? , 2?

y y

3
0

T

3
x
0 ? ?

A

x

三、巩固与练习 t 1. a x ? ”是“ x ? 0 ”的 既不充分也不必要 条件。 “n 0 2.与函数 y ? tan ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象不相交的一条直线是( D ) 4?

? A? x ?

?
2

? B? x ? ?

?
2

?C ? x ?

?
4

? D? x ?

?
8

3.函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? . 2 4? ?
?
? , k ? Z ? 的值域是 2 ? ?3 ? ? 4 , ?? ? . ? ?

4.函数 y ? tan x ? tan x ? 1? x ? k? ?
2

? ?

5.函数 y ? tan x ? cot x 的奇偶性是 奇函数 ,周期是 四、小 结:本节课学习了以下内容: 正切函数的性质。 五、课后作业: 以下函数中,不是奇函数的是( ) .. A.y=sinx+tanx B.y=xtanx-1 C.y= 3.下列命题中正确的是( ) A.y=cosx 在第二象限是减函数 C.y=|cos(2x+ 六、板书设计:

? . 2

sin x ? tan x 1 ? cos x

D.y=lg

? tan x 1 ? tan x

B.y=tanx 在定义域内是增函数

?
3

)|的周期是

?
2

D.y=sin|x|是周期为 2π 的偶函数

4-1.5 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0 的图象
教学目标: 1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数 图像各种变换的实质和内在规律。 2. 通过对函数 y = Asin(wx+4)(A>0,w>0)图象的探讨,让学生进一步掌握三角函数图

像各种变换的内在联系。 3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。 教学重点: 函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法和设图像与函数 y=sinx 图像的关系,以及对各种变 换内在联系的揭示。 教学难点: 各种变换内在联系的揭示。 教学过程: 一、 复习旧知 1.“五点法”作函数 y=sinx 简图的步骤,其中“五点”是指什么? 2. 函数 y = sin(x?k)(k>0)的图象和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 生答:函数 y = sin(x ?k)(k>0)的图像可由函数 y = sinx 的图像向左(或右)平移 k 个 单位而得到,学生回答后,教师应用多媒体演示变化过程,并要求同学观察图像上点坐标的 变化,然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变,横坐标增加(或减少)k 个单位,这 种变换称为平移变换。 3. 函数 y = sinwx (w>0)的图像和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 学生答:函数 y = sinwx(w>0)的图像可由函数 y = sinx 的图像沿 x 轴伸长(w<1)或缩 短(w>1)到原来的

1 倍而得到,称为周期变换。 ?

演示:教师运用多媒体演示变化过程,并要求学生观察图像上点坐标的变化,然后进一 步总结这种变化的实质是纵坐标不变,横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的 4. 函数 y = Asinx(A>0)的图像和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 学生答:函数 y = Asinx 的图像可由函数 y = sinx 的图像沿 y 轴伸长(A>1)或缩短(x<1) 到原来的 A 倍而得到的,称为振幅变换。 演示:教师利用多媒体,运用制好的课件将变化过程演示给学生看,并要求学生具体观 察图像上点坐标的变化,然后归纳出这种变换的实质是:横坐标不变,纵坐标伸长(A> | ) 或缩小(0<A<1)到原来的 A 倍。 二、创设情境 上面我们学习和复习了三种函数 y = sin(x ?k),y = sinwx,y = Asinx 的图像和函数

1 倍。 ?

y = sinx 图像的关系,那么函数 y = Asin(wx+?)(a>0,w>0) 的图像和函数 y = sinx 的图 像有何关系呢?三、尝试探究 1. 函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法。 为了探讨函数 y = Asin(wx+?)的图像和函数 y = sinx 图像的关系,我们先来用“五点法” 作函数 y = Asin(wx+?)的图像。

? )的简图。 3 z? ? z ? ? ? ? 3 解:⑴设 Z= 2x + ,那么 3xin(2x+ )= 3sin?,x= = ? ,分别取 z = 0, , 2 2 3 3 2 6
例:作函数 y = 3sin(2x+ ?,

? ? ? 7? 5? 3? ? ,2?,则得 x 为 ? , , , , ,所对应的五点为函数 y=3sin(x ? ) 2 3 6 12 3 12 6 ? 5? , ]图象上起关键作用的点。 6 6

在一个周期[ ? ⑵列表 x 2x+

?

? 6

? 12
? 2
1 3

? 3
? 0 0

7? 12
3? 2
?1 ?3

5? 6
2? 0 0

? 3

0 0 0

? ) 3 ? 3 sin(2x+ ) 3
sin(2x+

⑶描点作图,运用制好的课件演示作图过程。(图略) 2. 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0)图像和函数 y=sinx 图像的关系。 利用制作好的课件,运用多媒体教学手段向学生展示由函数 y=sinx 的图像是怎样经过 平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数 y=Asin (wx+?)图像的。 归纳 1:先把函数 y = sinx 的图像上的所有点向左平行移动 的图像,再把 y = sin(x + 得到 y = sin(2x +

? ? 3 个单位,得到 y = sin(x + ) 3 3

? ? )的图像,再把 y = sin(2x + )的图像上所有的点的纵坐标伸长到原 3 3
? )图像。 3

1 ? )的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 3 2

来的 3 倍(横坐标不变),从而得到 y = 3sin(2x +

归纳 2:函数 y = Asin(wx+?),(A>0,w>0)的图像可以看作是先把 y = sinx 的图像上 所有的点向左(?>0)或向右(?>1)平移|?|个单位,再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长

(0<w<1)到原来的

1 倍(纵坐标不变), 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原 ?

来的 A 倍,(横坐标不变)。即:平移变换→周期变换→振幅变换。三、尝试探究 1. 函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法。 为了探讨函数 y = Asin(wx+?)的图像和函数 y = sinx 图像的关系,我们先来用“五点 法”作函数 y = Asin(wx+?)的图像。

?,

? ? ? 7? 5? 3? ? ,2?,则得 x 为 ? , , , , ,所对应的五点为函数 y=3sin(x ? ) 2 3 6 12 3 12 6 ? 5? , ]图象上起关键作用的点。 6 6 ? 12
? 2
1 3

? )的简图。 3 z? ? z ? ? ? ? 3 解:⑴设 Z= 2x + ,那么 3xin(2x+ )= 3sin?,x= = ? ,分别取 z = 0, , 2 2 3 3 2 6
例:作函数 y = 3sin(2x+

在一个周期[ ? ⑵列表 x 2x+

?

? 6

? 3
? 0 0

7? 12
3? 2
?1 ?3

5? 6
2? 0 0

? 3

0 0 0

? ) 3 ? 3 sin(2x+ ) 3
sin(2x+

⑶描点作图,运用制好的课件演示作图过程。(图略) 2. 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0)图像和函数 y=sinx 图像的关系。 利用制作好的课件,运用多媒体教学手段向学生展示由函数 y=sinx 的图像是怎样经过 平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数 y=Asin (wx+?)图像的。四、指导创新 上面我们学习了函数 y = Asin(wx+?)的图像可由 y = sinx 图像平移变换→周期变换→ 振幅变换的顺序而得到,若按下列顺序得到 y = Asin(wx+?)的图象吗? ⑴周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶平移变换→振幅变换→周期变换 教师利用制作好的课件, 运用多媒体逐一演示验证, 让学生发现规律: 若周期变换在前, 平移变换在后,则得到的函数图像不是函数 y = Asin(wx+?)的图像,振幅变换出现在前或

后不会影响得到函数 y = Asin(wx+?)的图像。 教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数 y = Asin(wx+?) (A>0,w>0)图像的原因, 并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数 y = Asin(wx+?)图像的一般公式。 周期变换 平移变换 ? ? 原因:y = sinx ?????? ? y =Asinwx ?? ? ? ? ? 1 平移 ? 个单位 伸长或缩短 倍 ? 振幅变换 y = sinw(x+?) = sin(wx+w?) ??????? y = Asin(wx+w?) 伸长或缩短 A倍 一般公式:将平移变换单位改为: 五、归纳小结 本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数 y = Asin(wx+?)(A>0,w>0) 的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现:平移变换应在周期变换之前,否则得到 的函数图像不是函数 y =Asin(wx+?)的图像由 y = sinx 图像的得到。 六、变式练习 1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图,并指出它的图像是如何由函数 y = sinx 的图像而得到的。 ⑴y = 5sin(

? w

即可。

1 ? 1 ? x+ );⑵y = sin(3x ? ) 2 6 2 4

2. 完成下列填空

5? 个单位所得图像的函数表达式为 12 ? ? ⑵函数 y = 3cos(x+ )图像向左平移 个单位所得图像的函数表达式为 4 3
⑴函数 y = sin2x 图像向右平移 ⑶函数 y = 2loga2x 图像向左平移 3 个单位所得图像的函数表达式 ⑷函数 y = 2tg(2x+ 七、布置作业(略)

? ? ? ?

? )图像向右平移 3 个单位所得图像的函数表达式为 3

4-1.6 三角函数模型的简单应用
【知识与技能】 1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型. 【过程与方法】 (2)根据解析式作出图象;

例 1 是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线, 要求这一天的最大温差,并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别 注意自变量的变化范围. 例 2 利用函数图象的直观性, 通过观察图象而获得对函数性质的认识, 这是研究数学问 题的常用方法.显然,函数 y ? sin x 与正弦函数有紧密的联系. 例 3 是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题, 是将实际问题直接抽象为与三角函数 有关的简单函数模型,然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的 数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题。 例 4 本题的解答中,给出货船的进、出港时间,一方面要注意利用周期性以及问题的条 件,另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第 73 页的 “思考”问题,实际上,在货船 的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的, 因为这样不能保 证船有足够的时间发动螺旋桨。 补充例题 例题:一根为 Lcm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时, 离 开 平 衡 位 置 的 位 移 s( 单 位 : cm) 与 时 间 t( 单 位 : s) 的 函 数 关 系 是
? g ?? (1)求小球摆动的周期和频率; (2)已知 g=980cm/s2,要 s ? 3 sin ? t ? ?, t ? [0,??) , ? l ? 6? ?

使小球摆动的周期恰好是 1 秒,线的长度 l 应当是多少? 解: (1)?? ? 【情态与价值】 一、选择题 1. 初速度 v0,发射角为 ? ,则炮弹上升的高度 y 与 v0 之间的关系式为( A. y ? v0t B. y ? v 0 ? sin ? ? t ? )
g 2? ?T ? ? 2? l ? l 1 ,f ? g 2?

g g ; (2) 若T ? 1,即 l ? ? 24.8cm . 4? 2 l

1 g ?t2 2

C. y ? v0 ? sin ? ? t

D. y ? v0 ? cos? ? t )

2. 当两人提重为 G 的书包时,夹角为? ,用力为 F ,则 ? 为____时, F 最小( A.

? 2

B. 0

C. ?
?

D.

2 ? 3

3.某人向正东方向走 x 千米后向右转 150 , 然后朝新的方向走 3 千米, 结果他离出发点恰好

3 千米,那么 x 的值为
A. 3 二、填空题 B. 2 3 C. 2 3或 3



) D. 3

4. 甲、乙两楼相距 60 米,从乙楼底望甲楼顶仰角为 45 ,从甲楼顶望乙楼顶俯角为 30 ,

0

?

则甲、乙两楼的高度分别为_______ 5.一树干被台风吹断折成 60 角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,树干原来的高度是 _____. 三、解答题 6. 三个力 F1 .F2 .F3 同时作用于 O 点且处于平衡,已知 F1与F2的夹角为 ? , 135
?

F2与F3的夹角为 ? ,2 ? 2牛顿 ,求 F1 和 F3 120 F

7、有一长为? 的斜坡,它的倾斜角为? ,现在要倾斜角改为 ,则坡底要伸长多少?

? 2

三角函数小结和复习
【知识与技能】 理解本章知识结构体系(如下图) ,了解本章知识之间的内在联系。

终边相同角 象 区 限 角 间 角

任意角的概念

角度制与弧度制 诱 导 公 式 任意角的三角函数 符号法则 三角函数线 三角函数图象与性质

弧长与扇形面积公式

同角函数关系 函数

第三章:三角恒等变换

【过程与方法】 三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的; 具有相同性质的角可以用集合 或区间表示,是一种对应关系;弧度制的任意角是实数,这些实数可以用三角函数线进行图 形表示,因此,复习的目的就是要进一步了解符号确定方法,了解集合与对应,数与形结合

的数学思想与方法。另外,正弦函数的图象与性质的得出,要通过简谐运动引入,分析、确 定三角函数图象的关键点画图象,观察得出其性质,通过类比、归纳得出余弦函数、正切函 数的图象与性质,所以,复习本章时要在式子和图形的变化中,学会分析、观察、探索、类 比、归纳、平移、伸缩等基本方法。 例题 例 1 判断下列函数的奇偶性 ①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx ⑤y=1-cos(-3x-5π ) 分析:根据函数的奇偶性的概念判断 f(-x)=±f(x)是否成立;若成立,函数具有奇偶性(定 义域关于原点对称) ;若不成立,函数为非奇非偶函数 解: (过程略)①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数 例 2 求函数 y=-3cos(2x-

1 π )的最大值,并求此时角 x 的值。 3 1 2 π =2 kπ + π 得 x= kπ + π , (k∈Z) 3 3

分析:求三角函数的最值时要注意系数的变化。 解:函数的最大值为:y max =|-3|=3,此时由 2x例3 求函数 y ?

1 的定义域。 1 ? tan x

1 解:要使函数 y ? 有意义,则有 ? 1 ? tan x ?
即 x ? k? ?

?

1? tan x ? 0 x ? kx ?

?
2

( k ?Z )

?
4

, 且x ? k? ?

?
2

, (k ? Z )

所以,函数的定义域为{χ ︱χ ∈R 且 x ? k? ? 【情态与价值】 一、选择题 1.已知 cos240 约等于 0.92 ,则 sin660 约等于( A.0.92 B.0.85 C.0.88

?
4

, x ? k? ?

?
2

,k ? Z }



D.0.95 ) 。

2.已知 tanx=2,则 A.

1 15

sin 2 x ? 2 cos 2 x 的值是( 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 2 2 2 B. C.D. 5 3 15
) 。 B. [2k? ? D. [2k? ?

3.不等式 tanx≤-1 的解集是( A. ( 2k? ? C. (k? ?

?

?

,2k? ? ] (k∈Z) 2 4

?

?
4

,2k? ?

, k? ? ] (k∈Z) 2 4

?

?
2

,2k? ?

3? ] (k∈Z) 4

3? ] (k∈Z) 2

4. 有以下四种变换方式: ①向左平移

1 1 ? ? ,再将横坐标变为原来的 ;②将横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; 2 2 4 8

③将横坐标变为原来的

1 ? 1 ? ,再向左平移 ;④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 。 2 2 4 8

其中,能将正弦函数 y=sinx 的图象变为 y=sin(2x+ A.①② 二、填空题 5. tan(B.①③ C.②③

? )的图象的是( 4
D.②④



7? )= 6

. 。

6.函数 y=sinx(

? 2? ≤x≤ )的值域是 3 6

1 3 , ],则此函数的解析式是 。 2 2 8.对于函数 y=Asin(ω x+ ? ) (A、ω 、 ? 均为不等于零的常数)有下列说法:
7.若函数 y=a+bsinx 的值域为[①最大值为 A; ②最小正周期为 ④由 2k? ?

? ;③在[0,2π ]λ ο 上至少存在一个 x,使 y=0; |? |
2
(k∈Z)解得 x 的范围即为单调递增区间, 。

?
2

≤ω x+ ? ≤ 2 k? ?

?

其中正确的结论的序号是 三、解答题 9. (1)已知 sinθ -cosθ =

? 2 ( 0<θ < ) ,求 sinθ +cosθ 的值; 2 3

(2)求函数 y=2 3 cosx+2sin2x-3 的值域及取得最值是时的 x 的值。

10.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离 S(厘米)和时间 t(秒)的函数关系 为 y= 6sin(2π t+

? )) 。 6

(1) 作出它的图象; (2) 单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米? (3) 单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米? (4) 单摆来回摆动一次需要多少时间?

第二章 平面向量
本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概 念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平 移) 、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而 把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中, 学生将了解向量丰富的实际背景, 理解平面向量及其运算的意义, 学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量 语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍 了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解.)

第 1 课时 §2.1
教学目标: 1. 了解向量的实际背景, 理解平面向量的概念和向量的几何表示; 掌握向量的模、 零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共 线向量. 2. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

平面向量的实际背景及基本概念

授课类型:新授课 教学思路: 一、情景设置: 如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去,设问:猫能否 追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析: 老鼠逃窜的路线 AC、 猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、 有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?

C A B D

二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)请同学阅读课本后回答: (可制作成幻灯片) 1、数量与向量有何区别? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、 如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O, 这是它们是不是平行向量?这时各向 量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量 就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: a
A(起点) B (终点)

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记作a∥ b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有 .. 向线段的起点无关. ........ 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量, 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 ...... (与有向线段的 起点无关). ..... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量 可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (四)理解和巩固: 例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3 下列命题正确的是( )?

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线? B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量, 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上, 而此时就构不成四边形, 根本不可能是一个平 行四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否 相同无关,所以D不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考 虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都 共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选 C.

例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相 等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB, DO, FE ) 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量

AB 、 AC 在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥ 不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点不同,但其终点却相 2.书本 88 页练习 三、小结 : 1、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示,要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业: 书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题 同.

第 2 课时

§2.2.1
教学目标:

向量的加法运算及其几何意义

1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解 决问题的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 学 法:

数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移 的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:新授课 教学思路: 一、设置情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研 究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下,移到任何位置 2、 情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC A B C (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC 二、探索研究: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. A B C C A B A B C

2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定: a a a C a A + a b b b a+b b B b a+b a + 0-= 0 + a

探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、b 同向, 且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |, 则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |;若 | a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a AB ? b ,则 OB ? a ? b . 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同 b a a B O b a A b

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) a 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 5.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c )

证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD , a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例: 例二(P94—95)略 练习:P95 四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律; 3、注意:| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业: P103 第2、3题 六、板书设计(略) 七、备用习题 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的 速度的大小为 4 km / h ,求水流的速度. 2、一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时, 船的实际航程为 8km,求河水的流速. 3、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v2 ,船 的实际航行的速度的大小为 4 km / h ,方向与水流间的夹角是 60? ,求 v 1 和 v2 . 4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实际航行速度大小 最大是 km/h,最小是 km/h

5、 已知两个力 F1,F2 的夹角是直角,且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ? ,|F|=10N 求 F1 和 F2 的大小. 6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

第 3 课时 §2.2.2
教学目标: 1. 了解相反向量的概念; 2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算, 使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点:减法运算时方向的确定. 学 法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运 算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

向量的减法运算及其几何意义

授课类型:新授课 教学思路: 一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律: 例:在四边形中, CB ? BA ? BA ? D . C

解: CB ? BA ? BA ? CB ? BA ? AD ? CD 二、 提出课题:向量的减法 1. 用“相反向量”定义向量的减法

A

B

(1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a+b=0

(3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 作法:在平面内取一点 O, b B a b a?b O a

作 OA = a, 则 BA = a ? b

AB = b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意:1? AB 表示 a ? b.强调:差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一. B’ a O b B 4. 探究: 1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 b ? a. a O b a b O a?b A ?b ? B B O a?b A a?b B A B’ O B a?b A b

?b
a

B b A

a+ (?b)

2)若 a∥b, 如何作出 a ? b 三、 例题:

例一、 (P97 例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d. 解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC , 则 BA = a?b,

DC = c?d
A B D

b a

d c O C

D

C

A

B

例二、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, 用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 解:由平行四边形法则得:

AC = a + b, DB = AB ? AD = a?b
变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 练习:P98 四、 小结:向量减法的定义、作图法| 五、 作业:P103 第 4、5题 六、 板书设计(略) 七、 备用习题: 1.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( A.a+b? B. a+(-b)? C. -b? a )? D. -a? b 对角线方向不同)

2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点,设 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C. +b-c-d=0 a D.a-b-c+d=0

3.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空:? a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .?

4、如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、c、 d 的方向(用箭头表示) ,使 a+b= AB ,c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

第3题

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 第 4 课时

§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的: (1)了解平面向量基本定理; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、 复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

?

?

(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ

?

?

?

?

?

?

? a =0
2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ;分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b 3. 向量共线定理

?

?

?

?

?

? ?

?

?

向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使

?

?

? ? b =λ a .
二、讲解新课: 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 三、讲解范例:

?

?

?

例 1 已知向量 e1 , e2 例 2 如图

求作向量?2.5 e1 +3 e2 .

ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a ,

?

? ? ? AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD
例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是

任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE 例4 (1) 如图,OA ,OB 不共线,AP =t AB (t?R)用 OA ,

OB 表示 OP .
(2)设 OA、 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且 OB

??? ?? ? ?

??? ? ??? ??? ? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线.
例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的 实数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线. 四、课堂练习: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

? ?

?

?

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 .

4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

5.已知 λ1>0, 2>0, 1、 2 是一组基底, a =λ1e1+λ2e2, a 与 e1_____, 与 e2_________(填 λ e e 且 则 a 共线或不共线). 五、小结(略) 六、课后作业(略) : 七、板书设计(略) 八、课后记:

第 5 课时 §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为 基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 1 a ? xi ? yj ????○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 a ? ( x, y) ????○ 2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○式叫做向 量的坐标表示.与 a 相等的向量的坐标也为 ( x, y ) . . ..........

?

?

?

特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也 就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示. 2.平面向量的坐标运算 ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b

? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、j , ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj , ?a ? (?x, ?y) 则 即 三、讲解范例: 例 1 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标. 例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐 标. 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点.

??? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

解:当平行四边形为 ABCD 时,由 AB ? DC 得 D1=(2, 2) 当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6),当平行四边形为 DACB 时,得 D3=(?6, 0) 例 4 已知三个力 F1 (3, 4), 坐标. 解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0 得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)

F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的

即: ?

?3 ? 2 ? x ? 0 ?4 ? 5 ? y ? 0

∴?

? x ? ?5 ? y ?1

∴ F3 (?5,1)

四、课堂练习: 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

1 MN , 求 P 点的坐标 2
.

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC = 3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), 是梯形. 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记: C(1, 3),

D(5, -3) , 求证:四边形 ABCD

第 6 课时 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面 向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地,

i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .
2.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 二、讲解新课:

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)

?

?

其中 b ? a .

? ?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? x ? ?x2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 一个不为 0 (2)充要条件不能写成

?

∴x2, y2 中至少有

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ?

?

?

?

a ? ?b x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

三、讲解范例: 例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y. 例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位置关系.

?

?

?

?

例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 例 4 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ∴x=± 2 ∵ a 与 b 方向相同

?

?

?

?

∴(-1)?2- x?(-x)=0 ∴x= 2

?

?

例 5 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2?2-4?1=0 ∴ AB ∥ CD

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) , AB =(2, 4),2?4-2?6?0 ∴ AC 与 AB 不 平行 ∴A,B,C 不共线 四、课堂练习: 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 ) D.8 )? ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、 的方向分别与 x、 轴正方向相同且为单位向量). j y

AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为(
A.1,2 B.2,2 C.3,2

) D.2,4 . . .

4.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

5.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x= 五、小结 (略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略)

八、课后记:

§2.4 平面向量的数量积 第 7 课时 一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

内容分析: 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推 导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点: 平面向量数量积的定义及几何意义; 平面向量数量积的 5 个重要性质; 平面向量数量积的运 算律. 教学过程: 一、复习引入: 1. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使

?

?

? ? b =λ a .
2.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 3.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向 量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj

?

?

把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 4.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

?a ? (?x, ?y) .
若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 5. a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ , 使

?

?

?

PP = λ 1

PP , λ 叫 做 点 P 分 P P2 所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 : 2 1

λ >0(内分) 7. 定比分点坐标公式:

(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

若 点 P 1 (x1 , y1) , P 2 (x2 , y2), λ 为实数, 且 P P = λ PP ,则 点 P 的坐标 为 1 2 (

x1 ? ?x 2 y1 ? ?y 2 , ) ,我们称 λ 为点 P 分 P P2 所成的比. 1 1? ? 1? ?

8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系: ①当 λ>0时, P P 与 PP 同向共线,这时称点 P 为 P P2 的内分点. 1 2 1 ②当 λ<0( ? ? ?1 )时, P P 与 PP 反向共线,这时称点 P 为 P P2 的外分点. 1 2 1 9.线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点 O,设 OP =a, OP =b, 1 2 可得 OP =

a ? ?b 1 ? ? a? b. 1? ? 1? ? 1? ?

10.力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的 夹角. 说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向; (3)当 θ=

? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180?

C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a?b,而 a?b 是两 个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“? ”在向量运算中不是乘号,既不能省略, 也不能用“?”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共 线. 3. “投影”的概念:作图 a=c

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为 直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0 3? 当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a a?b 当 a?b

4? cos? =

a ?b | a || b |

5? |a?b| ≤ |a||b| 三、讲解范例: 例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 a· b. 例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求(a+2b)· (a-3b). 例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正误,并简要说明理由. ①a· 0=0;②0· =0;③0- AB = BA ;④|a· |=|a||b|;⑤若a≠0, a b 则对任一非零b有a· ≠0;⑥a· =0,则a与b中至少有一个为 0;⑦对任意向量a, b b b,с 都有(a· )с=a(b· ;⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2. b с) 解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0· =0;对于②:应有0· =0; a a 对于④:由数量积定义有|a· |=|a|· b|· b | |cosθ|≤|a||b|,这里 θ 是a与b的夹角,只有 θ=0或 θ=π 时,才有|a· |=|a|· b|; b | 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a· =0; b 对于⑥:由a· =0可知a⊥b可以都非零; b 对于⑦:若a与 с 共线,记a=λс. 则a· =(λс)· =λ(с· )=λ(b· , b b b с)

∴(a· )· b с=λ(b· с)с=(b· с)λс=(b· a с) 若a与 с 不共线,则(a· )с≠(b· a. b с) 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例 6 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是 60° 时,分 别求a· . b 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角 θ=0° , ∴a· =|a|· b|cos0° b | =3× 1=18; 6× 若a与b反向,则它们的夹角 θ=180° , ∴a· =|a||b|cos180° b =3× (-1)=-18; 6× ②当a⊥b时,它们的夹角 θ=90° , ∴a· =0; b ③当a与b的夹角是 60° 时,有

a· =|a||b|cos60° b =3× 6× =9
评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0° ,180° ,因此,当a∥b ] 时,有 0° 180° 或 两种可能. 四、课堂练习: 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° )

1 2

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
D.12 )



A.2

B.2 3

C.6

3.已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 4.已知向量 a、b 的夹角为 B.必要但不充分条件?

D.既不充分也不必要条件

? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|· |a-b|= 3

.

5.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量, 那么 a· b= . 6.已知 a⊥b、c 与 a、b 的夹角均为 60° ,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c) =______. 7.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 a· b;(2)若 a、b 的夹角为60° ,求|a+b|;(3)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. 8.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 9.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最小时的 t 值,并求此时 b 与 a+tb 的夹角.


五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、教学后记:

第 8 课时 二、平面向量数量积的运算律
教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

内容分析: 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意 数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质. ? 教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的 夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3. “投影”的概念:作图 C

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为 直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|.

4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a a?b 当 a?b

4?cos? =

a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的 投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 即:(a + b)?c = a?c +

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b b?c 说明: (1)一般地,(a· )с≠a(b· b с) (2)a· b· с= с,с≠0

a=b
2 2

(3)有如下常用性质:a =|a| , (a+b) (с+d)=a· a· +b· b· с+ d с+ d (a+b) =a +2a· +b b 三、讲解范例: 例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 两式相减:2a?b = b2 ① ②
2 2 2

代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹角为?,则 cos? =

a?b b2 1 ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2

∴? = 60?

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD
2 ∴| AC |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2

而 BD = AB ? AD ,
2 ∴| BD |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2

∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2AD = | AB |2 ? | BC |2 ? | DC |2 ? | AD |2 例 3 四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b, CD =с, DA =d,且a· =b· b с=с· = d

2

2

d· ,试问四边形 ABCD 是什么图形? a
分析: 四边形的形状由边角关系确定, 关键是由题设条件演变、 推算该四边形的边角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d) ,∴(a+b) =(с+d) 即|a| +2a· +|b| =|с| +2с· +|d| b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2

由于a· =с· ,∴|a| +|b| =|с| +|d| ① b d 同理有|a| +|d| =|с| +|b| ② 由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a· =b· b с,有b(a-с)=0,而由平行四边形 ABCD 可得a=-с, 代入上式得b· a)=0,即a· =0,∴a⊥b也即 AB⊥BC. (2 b 综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零 向量,即a+b+с+d=0,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两 种关系. 四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( ) B.向量的数量积满足分配律
2 2 2 2



A.向量的数量积满足交换律

C.向量的数量积满足结合律

D.a· 是一个实数 b )

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60° ,则(a+2b)· (a-3b)等于( A.72 B.-72 C.36 D.-36 )

3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行

3 3 b 与 a- b 的位置关系为( 4 4
C.夹角为

B.垂直

? 3

D.不平行也不垂直


4.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150° ,则(a+b) = 5.已知|a|=2,|b|=5,a· b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= 6.设|a|=3,|b|=5,且 a+λb 与 a-λb 垂直,则 λ= 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记: . .

.

第 9 课时 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的: ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的 夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0.

C

3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 4.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或

| a |? a ? a
a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

4? cos? =

5.平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 二、讲解新课: ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b . 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么 a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y 2 j 所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )(x2 i ? y 2 j ) ? x1 x2i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j
2 2

又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 ,所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2. 平面内两点间的距离公式 八、 设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

x2 ? y2 .

(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)
九、 向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

十、 两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =

a ?b ? | a |?| b |

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

十一、 十二、

讲解范例: 设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a· 及 a、b 间的夹角θ (精确到 1o) b

例 2 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出证明. 例 3 已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向量 x. 解:设 x = (t, s), 由

x?a ? 9 ? 3t ? s ? 9 ?t?2 ?? ?? x ? b ? ?4 ?t ? 2s ? ?4 ?s ? ?3

∴x = (2, ?3)

例 4 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是多少? 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a· 及|a|· b |b|,再结合夹角 θ 的范围确定其值. 解:由 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) 有 a· b= 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 .

记 a 与 b 的夹角为 θ,则cosθ=

a ?b 2 ? a?b 2

又∵0≤θ≤π,∴θ=

? 4

评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定. 例 5 如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求点 B 和向量 AB 的 坐标. 解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) ∵ OB ? AB 又∵| OB | = | AB | ∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:10x + 4y = 29

? 7 3 ? ? ? x 2 ? y 2 ? 5 x ? 2 y ? 0 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 ?? 或 由? 3 ? 7 ?10x ? 4 y ? 29 ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ?
∴B 点坐标 ( ,? ) 或 ( , ) ; AB = ( ?

7 2

3 2

3 7 2 2

3 7 7 3 ,? ) 或 (? , ) 2 2 2 2

例 6 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值. 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2?1 +3?k = 0 ∴k = ?

3 2

当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2?(?1) +3?(k?3) = 0 ∴k =

11 3
∴k =

当 C = 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0 十三、 课堂练习:


3 ? 13 2

1.若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a| -4a· b=( A.23 B.57 C.63

) D.83 ) D.不等边三角形 )

2.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC 为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

3.已知 a=(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量,则 b 等于( A. ( , ) 或 ( , ) ? C. ( ,? ) 或 (?

3 4 5 5

4 3 5 5

B. ( , ) 或 (? ,? ) D.( ,? ) 或 (? , ) .

3 4 5 5

3 5

4 5

3 5

4 5

4 3 , )? 5 5

3 5

4 5

3 4 5 5

4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)· (a-b)= 5.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,-

1 )在线段 AB 的中垂线上,则 x= 2

.

6.已知 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA ,则 a 与 b 的夹角为 十四、 十五、 十六、 小结(略) 课后作业(略) 板书设计(略)

.

十七、

课后记:

第 12 课时 复习课
一、教学目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接) 。 4. 了解向量形式的三角形不等式: a |-| b |≤| a ± b |≤| a |+| b |(试问: || 取等号的条件 是什么?)和向量形式的平行四边形定理:2(| a | +| b | )=| a - b | +| a + b | . 5. 了解实数与向量的乘法(即数乘的意义) : 6. 向量的坐标概念和坐标表示法 7. 向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积) 8. 数量积(点乘或内积)的概念, a ? b =| a || b |cos ? =x 1 x 2 +y 1 y 2 注意区别“实数与向 量的乘法;向量与向量的乘法” 二、知识与方法 向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形 式和几何形式的 “双重身份” 能融数形于一体, 能与中学数学教学内容的许多主干知识综合, 形成知识交汇点, 所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用: ①求模长; ②求夹角; ③判垂直 三、典型例题 例 1.对于任意非零向量 a 与 b ,求证:|| a |-| b ||≤| a ± b |≤| a |+| b | 证明:(1)两个非零向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向与 a , b 的方向都不同,并且|
2 2 2 2

a |-| b |<| a ± b |<| a |+| b |
(3)两个非零向量 a 与 b 共线时, a 与 b 同向, a + b 的方向与 a . b 相同且| a + b | ① 则 =| a |+| b |.② a 与 b 异向时,则 a + b 的方向与模较大的向量方向相同,设| a |> | b |,则| a + b |=| a |-| b |.同理可证另一种情况也成立。 例 2 已知 O 为△ABC 内部一点, ∠AOB=150°, ∠BOC=90°, OA = a , = b , = c , 设 OB OC 且| a |=2,| b |=1,| c |=3,用 a 与 b 表示 c

i

j

解:如图建立平面直角坐标系 xoy,其中 i , j 是单位正交基底向量, 则 B(0,1) ,C(-3, 0) ,设 A(x,y) ,则条件知 x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°),即 A(1,- 3 ) ,也 就是 a = i - 3 j , b = j , c =-3 i 所以-3 a =3 3 b + c |即 c =3 a -3 3 b
2 2 2

例 3.下面 5 个命题: a ?b |=| a |? b |②( a ?b ) = a ?b ①| |

③ a ⊥( b - c ), a · = b ?c 则 c )

④ a ? b =0,则| a + b |=| a - b |⑤ a ? b =0,则 a = 0 或 b = 0 ,其中真命题是( A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤ 四、巩固训练 1.下面 5 个命题中正确的有( )

① a = b ? a ? c = b ? c ; ② a ? c = b ? c ? a = b ;③ a ? b + c )= a ? c + b ? c ; ( ④ a ? b ? c )=( a ? b ) c ; ( ? ⑤

a?b a
2

?

a b

. D. ①③

A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ 2.下列命题中,正确命题的个数为( A )

①若 a 与 b 是非零向量 ,且 a 与 b 共线时,则 a 与 b 必与 a 或 b 中之一方向相同;②若 e 为 单位向量,且 a ∥ e 则 a =| a | e ③ a · · =| a | a a
3

④若 a 与 b 共线,a 与 c 共线,则 c 与 b

共线;⑤若平面内四点 A.B.C.D,必有 AC + BD = BC + AD A 1 B 2 C 3 3.下列 5 个命题中正确的是 D 4

①对于实数 p,q 和向量 a ,若 p a =q a 则 p=q②对于向量 a 与 b ,若| a | a =| b | b 则 a = b ③对 于两个单位向量 a 与 b , a + b |=2 则 a = b ④对于两个单位向量 a 与 b , k a = b , a = b 若| 若 则 4.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1),B(5,4),C(2,7),D(-1,4),求证:四边形 ABCD 为正方形。

第三章
一、课标要求:

三角恒等变换

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式,以及运用这些公式进行 简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要使学生在学习三 角恒等变换的基本思想和方法的过程中, 发展推理能力和运算能力, 使学生体会三角恒等变 换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用.

1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用; 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积 公式(不要求记忆)作为基本训练,使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉 性,体会一般与特殊的思想,换元的思想,方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应 用. 二、编写意图与特色 1. 本章的内容分为两节: “两角和与差的正弦、 余弦和正切公式” , “简单的三角恒等变换” , 在学习本章之前我们学习了向量的相关知识, 因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为 基础,运用向量的知识来予以证明,降低了难度,使学生容易接受; 2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式; 3. 本章在内容的安排上有明暗两条线,明线是建立公式,学会变换,暗线是发展推理和运 算的能力, 因此在本章全部内容的安排上, 特别注意恰时恰点的提出问题, 引导学生用对比、 联系、化归的观点去分析、处理问题,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识; 4. 本章在内容的安排上贯彻 “删减繁琐的计算、 人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的 内容”的理念,严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度,尤其注意不以半角公式、 积化和差、和差化积公式作为变换的依据,而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 8 课时,具体分配如下: 3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 3.2 简单的恒等变换 复习 约 3 课时 约 3 课时 约 2 课时

§3.1
一、课标要求:

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

本节的中心内容是建立相关的十一个公式, 通过探索证明和初步应用, 体会和认识公式 的特征及作用. 二、编写意图与特色 本节内容可分为四个部分,即引入,两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用,和差 公式的探索、证明和初步应用,倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点 1. 重点:引导学生通过独立探索和讨论交流,导出两角和差的三角函数的十一个公式,并 了解它们的内在联系,为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础;

2. 难点:两角差的余弦公式的探索与证明.

3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及 其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过 程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等. 三、学法与教学用具 1. 学法:启发式教学 2. 教学用具:多媒体 四、教学设想: (一)导入:我们在初中时就知道 cos 45 ?
?

2 3 ? , cos30 ? ,由此我们能否得到 2 2

cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? ? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45? ? cos30? 呢?
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的! 下面我们就一起探讨两角差的 余弦公式 cos ?? ? ? ? ? ? (二)探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道, 在设角 ? 的终边与单位圆的交点为 P1 ,cos? 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标, 也可以用角 ? 的余弦线来表示, 大家思考: 怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.) 展示多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索 cos ?? ? ? ? 与

cos? 、 cos ?



sin ?



sin ?

之 间 的 关 系 , 由 此 得 到

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,认识两角差余弦公式的结构.
思考: 我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题, 两角差余弦公式我们能否用向

量的知识来证明? 提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处,体会向量方法的作用与便利之处. 思考: cos ?? ? ? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ,再利用两角差的余弦公式得出 ? ?

cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?
(三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75 、 cos15 的值. 解:分析:把 75 、 15 构造成两个特殊角的和、差.
? ? ? ?

cos 75? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ?
c o s 1? 5 ? c?o s ? ? 5 4

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4
1 ? 2 ? 6 ? 2 4

? 3?0
?

c?o s 4 5 ? ? o s 3 0? c

2 3 2 s i n?? 5 s? n 3 0 4 i ? 2 2 2

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:

cos15? ? cos ? 60? ? 45? ? ,要学会灵活运用.
例 2、已知 sin ? ?

4 5 ?? ? ,? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 的值. 5 13 ?2 ?
2

3 4 ? 4? ?? ? 2 解:因为 ? ? ? , ? ? , sin ? ? 由此得 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ?5? ?2 ? 12 5 ? 5? 2 又因为 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,所以 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 13 ? 13 ?
所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? 点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题. (四)小结:本节我们学习了两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的
2

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ? ?? ? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

推导过程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是 符号问题,学会灵活运用. (五)作业: P .T1 ? T2 150

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒 等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? .
这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天 的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?? 2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)

tan ?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式分子、分

母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
注意: ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

(二)例题讲解 例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?
2

解:因为 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ?

3 5

? 3? ? 5?

2

4 , 5

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5 ?
于是有 sin ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ?? ? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
两结果一样,我们能否用第一章知识证明?

3 ? ?1 ?? ? 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ?7 4 ? 1 ? tan ? tan ? ? 3? ? 1? ? ? ? 4 ? 4? tan ? ? tan
例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

?

i s s i ( 1 ) n2c4 c7 n2 ? 、 s7 o2 o2s4
? ?

?

?

s s i i ; 2 ) c2 o0 n0s7 ( 、 o0c7 s2 n0

?

?

?

?

?

; 3) ( 、

1 ?a1 t5 n 1 ?t1 a5 n

? ?



解: 分析: 解此类题首先要学会观察, 看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、 余弦和正切公式中哪个相象.

ss ss s 2 7 4 74 2 2 (1) n c c n n7 ? 、 i2o o i2 i 2 4
? ?

n? i0 s 3
? c 0 o s 9 0

?

?
?
? ?

?

?
?

??
??

??
??
?

?

?
?

1 ; 2


s s s? s 2 7 27 00 (2) c c n n 、 o o i0i0

c2 ? o0 7 s? 0
?

?

?

?

(3) 、

1? n ? n n a5 a a 1 t 1 t 5 4 t 5 ? ? 1? 1 n n ? n a 1 t 5 a5a t1 4t 5

?
?

? n 4 ?1 ? ?0 a5 5 n t a t 6

? ?3

?

?



例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?

?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? cos x ? sin x ? ? 2 2 ? sin 30? cos x ? cos 30? sin x ? ? 2 2 sin ? 30? ? x ? ?2 ? 2 ? ?
思考: 2 2 是怎么得到的? 2 2 ?

? 2? ?? 6?
2

2

,我们是构造一个叫使它的正、余弦

分别等于

1 3 和 的. 2 2

小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中 要善于发现规律,学会灵活运用. 作业: 1、 已知 tan ?? ? ? ? ?

3 2 ?? 1 ?? ? ? ( ) , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. 22 5 4? 4 4? ? ?

2、 已知 0 ? ? ? 的值.

?
4

?? ?

??

3? ?? ? 3 ? 3? ? 5 , cos? ?? ? ? , sin? ? ? ? ? ,求 sin ?? ? ? ? 4 ?4 ? 5 ? 4 ? 13

§3.1.3
一、教学目标

二倍角的正弦、余弦和正切公式

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导 过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式;

教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢? (学生自己动手, 把上述公式中 ? 看成 ? 即可) , (二)公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2sin ? cos? ;

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
思 考 :把 上述 关于 cos 2? 的 式子 能 否变 成只 含有 sin ? 或 cos? 形式 的 式子 呢?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 .
tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
注意: 2? ?

tan ? ? tan ? 2 tan ? ? . 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

(三)例题讲解 例 1、已知 sin 2? ? 解:由

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

?
4

?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ? .
2

又因为 sin 2? ?

12 5 ?5? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 13 13 ? 13 ?

于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169

120 2 ? sin 4? 120 ? 5 ? 119 ; tan 4? ? . ? 169 ? ? cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 119 cos 4? 119 ? 13 ? 169 169
例2、已知 tan 2? ? 解: tan 2? ?

1 , 求 tan ? 的值. 3

2 tan ? 1 ? ,由此得 tan 2 ? ? 6 tan ? ? 1 ? 0 2 1 ? tan ? 3

解得 tan ? ? ?2 ? 5 或 tan ? ? ?2 ? 5 . (四)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过 程中要善于发现规律,学会灵活运用. (五)作业:

P .T3 ? T4 150

3.2 简单的三角恒等变换(3 个课时)
一、课标要求: 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换, 以及三角恒等变换在数学中 的应用. 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、 分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及 变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提 高学生的推理能力. 三、教学目标 通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程 中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使 用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 四、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式 的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三 角变换的特点,提高推理、运算能力. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高 从整体上把握变换过程的能力. 五、学法与教学用具

学法:讲授式教学 六、教学设想: 学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换的 内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台.下面我们以习题 课的形式讲解本节内容. 例 1、试以 cos ? 表示 sin
2

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2
2

?
2



解:我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 因为 cos ? ? 1 ? 2sin 因为 cos ? ? 2 cos
2 2

?
2
2

? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2
? 1 ? cos ? ; 2 1 ? cos ? . 2

?
2

来做此题.

?
2

,可以得到 sin

?
2

?
2

? 1 ,可以得到 cos 2

?
2

?

又因为 tan

2

?
2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2

sin 2

?

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于三角变换, 由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异, 而且还会有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差 异, 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系, 这是三角式恒等变换 的重要特点. 例2、求证: (1) sin ? cos ? ? 、

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ; ? 2?

(2) sin ? ? sin ? ? 2sin 、

? ??
2

cos

? ??
2



证明: (1)因为 sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边 着手.

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 即 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ; ? 2?

(2)由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ①;设 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,

那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2



把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin

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