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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 同角三角函数的基本关系与诱导公式


§4.2

同角三角函数的基本关系与诱导公式

[高考调研 考 纲 解 读 ?理解同角三角函数的基本

明确考向] 考 情 分 析

关系式:sin2x+cos2x=1, ?利用同角三角函数的基本 sinx 关系及诱导公式求值或化 =tanx. cosx 简三角函数式是考查重点. ?能利用单位圆中的

三角函 ?主要以选择题、填空题的 π 数线推导出2± α,π±α 的正 形式考查. 弦、 余弦、 正切的诱导公式.

知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 1 (1)平方关系:□__________________; sinα (2)商数关系: =tanα. cosα

2.诱导公式 2 公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)= □ ______, 其中k∈Z. 3 4 公式二:sin(π+α)= □ __________,cos(π+α)= □ __________,tan(π+α)=tanα.

5 6 公式三:sin(-α)= □ ______________,cos(-α)= □ ______________. 7 公式四:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=□__________.
?π ? 公式五:sin?2-α?= ? ?

8 □

?π ? __________,cos?2-α?=sinα. ? ?

?π ? 公式六:sin ?2+α? = ? ?

9 □

?π ? ______________,cos ?2+α? = ? ?

10 □__________.

π 诱导公式可概括为k·± 2 α的各三角函数值的化简公式,记 π 忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指 2 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇 数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函 数名称不变,符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符 号作为结果的符号.

1 答案:□sin2α+cos2α=1 cosα

2 3 4 □cosα □-sinα □-

5 6 7 8 9 □ -sinα □ cosα □ -cosα □ cosα □ cosα

10 □-sinα.

名 师 微 博 ●一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.

●三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sinα (1)弦切互化法:主要利用公式 tanα=cosα化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sinθ± cosθ)2=1± 2sinθcosθ 的关系进 行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)= π tan4=?.

●三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角 的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化 锐.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别 注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式 化.

基础自测 1 π+α???= ,则cosα的值为( 1.已知sin 2
? ? ?

)

1 A.± 2 3 C. 2

1 B.2 3 D.± 2

1 1 解析:∵sin(π+α)=-sinα=2,∴sinα=-2. 3 ∴cosα=± 1-sin α=± 2 .
2

答案:D

2.点A(sin2 ( ) A.第一象限 C.第三象限

011° ,cos2

011° )在直角坐标平面上位于

B.第二象限 D.第四象限

解析:2 011° =360° ×5+(180° +31° ), ∴sin2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin31° <0, cos2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos31° <0, ∴点A位于第三象限.

答案:C

4 3.已知cosα=5,α∈(0,π),则tanα的值等于( 4 A.3 4 C.± 3 3 B.4 3 D.± 4

)

3 解析:∵α∈(0,π),∴sinα= 1-cos α=5,
2

sinα 3 ∴tanα=cosα=4.

答案:B

? 17π? ? 17π? 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ? ? ? ?

)

A. 2 C.0

B.- 2 2 D. 2

? 17π? ? π? 17π π 解析:cos?- 4 ?=cos 4 =cos?4π+4?=cos4= ? ? ? ?

2 2, 2 2.

? 17π? ? π? 17π π sin?- 4 ?=-sin 4 =-sin?4π+4?=-sin4=- ? ? ? ? ? 17π? ? 17π? ∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= ? ? ? ?

2 2 2 + 2 = 2.

答案:A

1 5.已知α是第二象限角,tanα=-2,则cosα= __________.

解析:由题意知cosα<0,又sin2α+cos2α=1,tanα= sinα 1 2 5 =- .∴cosα=- . cosα 2 5

2 5 答案:- 5

考点一

利用诱导公式化简、求值
?31π? sin?π-α?cos?2π-α? 已知f(α)= ,求f? 3 ?. ?π ? ? ? sin?2+α?tan?π+α? ? ?

[例1]

sinαcosα 解析:∵f(α)=cosαtanα=cosα,
?31π? ? π? 31 π 1 ∴f? 3 ?=cos 3 π=cos?10π+3?=cos3=2. ? ? ? ?

方法点睛

①化简是一种不指定答案的恒等变形,其结

果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能 求值的要求出值.②诱导公式的应用原则:负化正、大化 小,化到锐角为终了.

变式训练1

已知角α终边上一点P(-4,3),则

?π ? cos?2+α?sin?-π-α? ? ? ?11π ? ?9π ?的值为__________. cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ?

?-sinα?sinα 解析:原式= =tanα,根据三角函数的定 ?-sinα?cosα y 3 义,得tanα=x=-4.

3 答案:- 4

考点二

同角三角函数关系的应用

[例2]

(2013· 长沙调研)已知tanα=2,求:

2sinα-3cosα (1) ; 4sinα-9cosα (2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α.

2sinα-3cosα 2tanα-3 2×2-3 解析:(1) = = =-1. 4sinα-9cosα 4tanα-9 4×2-9 (2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α= 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α sin2α+cos2α 4tan2α-3tanα-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1

方法点睛

①对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这

三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转 化的公式为(sinα± cosα)2=1± 2sinαcosα;②关于sinα,cosα的 齐次式,往往化为关于tanα的式子.

变式训练2 __________.

sinα+3cosα 已知 =5,则sin2α-sinαcosα= 3cosα-sinα

tanα+3 解析:依题意得: =5,∴tanα=2. 3-tanα sin2α-sinαcosα tan2α-tanα 22-2 ∴sin2α-sinαcosα= = = 2 sin2α+cos2α tan2α+1 2 +1 2 = . 5

2 答案: 5

考点三

三角形中的诱导公式

[例3]

在△ABC中,sinA+cosA=

2,

3 cosA=-

2

cos(π-B),求△ABC的三个内角.

解析:由已知可得

? π? 2sin?A+4?= ? ?

2,

π 因为0<A<π,所以A=4. 由已知可得 3 cosB= 2 . π π π 7π 又0<B<π,从而B=6,所以C=π-4-6=12. π 3cosA= 2cosB,把A=4代入可得

方法点睛

在△ABC中常用到以下结论:sin(A+B)=

?A B? sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,sin ? 2 + 2 ? = ? ? ?A B? C C ? + ?=sin . cos ,cos 2 2 2 2 ? ?

变式训练3

若将例3的已知条件“sinA+cosA= 2 ”改 2 sin(π-B)”其余条件不变,求△ABC

为“sin(2π-A)=- 的三个内角.

解析:由条件得:-sinA=-

2 sinB,即sinA=

2

sinB, 3cosA= 2cosB,平方相加得: 2 sin A+3cos A=2?2cos A=1,cosA=± 2 .
2 2 2

2 3 若cosA=- 2 ,则cosB=- 2 ,A,B均为钝角不可 能. 2 3 π π 7π 故cosA= 2 ,cosB= 2 ,故A=4,B=6,C=12.

易错矫正(十四) [试题]

忽视题设的隐含条件致误

若sinθ,cosθ是关于x的方程5x2-x+a=0(a是常

数)的两根,θ∈(0,π),求cos2θ的值.

1 错解:由题意知,sinθ+cosθ=5, 1 24 ∴(sinθ+cosθ) =25,∴sin2θ=-25,∵θ∈(0,π),
2

7 ∴2θ∈(0,2π),∴cos2θ=± 1-2sin 2θ=± . 25
2

7 错因:忽视隐含条件,产生了增解25.

1 正解:由题意知,sinθ+cosθ=5, 1 24 ∴(sinθ+cosθ) =25,∴sin2θ=-25.
2

24 即2sinθcosθ=-25<0,则sinθ与cosθ异号, 1 π 3π 3π 又sinθ+cosθ=5>0,∴2<θ< 4 ,∴π<2θ< 2 . 7 故cos2θ=- 1-sin 2θ=-25.
2

点评:涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题 时,应深挖隐含条件,处理好开方、平方关系,避免出现增 解与漏解的错误.一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题 设中的隐含条件.


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