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【高考总复习必备】2013年高三数学专题复习教案:第14课时:第二章 函数-二次函数(全国通用)


第 14 课时:第二章
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

函数——二次函数

一.课题:二次函数 二.教学目标:掌握二次函数的概念、图象及性质; 能利用二次函数研究一元二 次方程的实根分布条件;能求二次函数的区间最值. 三.教学重点:二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化. 四.教学过程: (一)主要知识: 1

.二次函数的解析式的三种形式:一般式,顶点式,两根式. 2.二次函数的图象及性质; 3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系. (二)主要方法: 1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在此 区间上的单调性; 2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端 点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置. (三)例题分析:
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例 1.函数 y ? x 2 ? bx ? c ( x ? [0, ??)) 是单调函数的充要 条件是

( A )

( A) b ? 0

( B) b ? 0

(C ) b ? 0

( D) b ? 0

b 分析:对称轴 x ? ? ,∵函数 y ? x 2 ? bx ? c( x ? [0, ??) 是单 调函数, 2 b ∴对称轴 x ? ? 在区间 2 b [0, ??) 的左边,即 ? ? 0 ,得 b ? 0 . 2

例 2.已知二次函数的对称轴 为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) , 求函数的解析式. 解: ∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 , 设所求函数为 f ( x) ? a ( x ? 2) 2 ? b , 又∵ f ( x) 截 x 轴上的弦长为 4 ,∴ f ( x) 过点 (? 2 ? 2, 0) , f ( x) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? ∴? , ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ?b ? ?2 ?

1 ∴ f ( x) ? ( x ? 2) 2 ? 2 . 2

例 3.已知函数 y ? ? sin 2 x ? a sin x ?

a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题. 解:令 t ? sin x , t ? [?1,1] ,

a 1 a ∴ y ? ?(t ? ) 2 ? (a 2 ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 2 4 2
(1)当 ?1 ? 去) . (2)当

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a 1 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? (a 2 ? a ? 2) ? 2 ,得 a ? ?2 或 a ? 3(舍 2 4

a a 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? ) 2 ? (a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递增, 2 2 4

1 1 10 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 4 2 3
(3)当

a a 1 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? ) 2 ? (a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递减, 2 2 4

1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2
综 上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ?

10 . 3

例 4. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的取 值范围. 解法一:由题知关于 x 的方程 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 2 ? 0 至少有一个非负实根,设根 为 x1 , x2

?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ?? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 2 ? ?? ? 0 ?
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例 5.对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一个不动点, 已知函数

f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1)(a ? 0) ,
(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的 不动点; (2)对任意 实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范 围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x) 的不动点, 且 A, B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

2 解: (1) f ( x) ? x 2 ? x ? 3 ,x0 是 f ( x) 的不动点, f ( x) ? x0 ? x0 ? 3 ? x0 , x0 ? ?1 则 得

或 x0 ? 3 ,函数 f ( x) 的不动点为 ?1 和 3 . (2)∵函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,∴ f ( x) ? x ? ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒有两 个不等的实根, ? ? b 2 ? 4a (b ? 1) ? b 2 ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立, ∴ (4a) 2 ? 16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) . (3)由 ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 得

x1 ? x2 b 1 ?? ,由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? 2 , 2 2a 2a ? 1 b b 1 b b 1 , ? 2 ) ,∴ ? ? ? 2 , 2a 2a 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1

设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (?

∴b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

1 2 2 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 a ? 时等号成 a 4 2

立, ∴ b 的最小值为 ? (四)巩固练习: 1.若函数 y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3( x ? [a, b] 的图象关于 x ? 1 对称则 b ? 6 .
2 . 4

2.二次函数 f ( x) 的二次项系数为负值,且 f ( x ? 2) ? f (2 ? x)( x ? R) ,问 f (1 ? 2 x 2 ) 与 f (1 ? 2 x ? x 2 ) 满足什么关系时,有 ?2 ? x ? 0 .
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3. m 取何值时,方程 7 x 2 ? (m ? 13) x ? m 2 ? m ? 2 ? 0 的一根大于 1 ,一根小于 1 .


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