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2015高中数学 1.5-1.6积分复习总结 新人教A版选修2-2


积分复习总结
积分作为一个考点写入考试说明,它要求考生了解 定积分的实际背景,了解定积分的基 本思想,了解定积分的概念及了解微积分基本定理的含义. 要点分析 1.定积分的概念与性质是定积分内容的基础, 一是要理解得到定积分定义的四步曲:分 割,近似代替,求和,取极限;二是能用这四步曲来求某些具体函数在闭区间上与直线所 围成的面积 ; 三是理解定积 分的几何意义 : 如果

在区间 [a,b] 上函数 f ( x ) 连续且恒有

f ( x) ? 0 ,那么定积分表示由直线 x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的
曲边梯形的面积. 2. 微 积 分 基 本 定 理 : 如 果 f (t ) 是 连 续 函 数 , 并 且 f (t ) ? F ?(t ) , 那 么

?
?

b

a

f (t )dt ? F (b) ? F (a) , 这 就 是 微 积 分 基 本 定 理 。 这 个 公 式 表 明 , 求 定 积 分
f ( x )dx 的关键是找到满足 f (t ) ? F ?(t ) 的函数 F ( x) .

b a

3.定积分在实际生活中的简单应用包括两个方面:一是定积分在几何中的应用,二是定 积分在物理中的应用. 一. 例题精析 例1 (1) 计算定积分:
2

?

0

(4 ? 3x) xdx ;(2) ?
2 3 '

2

1

? 2 x2 ? 1 dx ;(3 ) ? 2 (3 x ? sin x)dx ;(4) ? (e x ? x )dx 0 1 x
2

解:(1)∵ (2 x ? x ) ? 4 x ? 3x ∴

?

2

0

2 (4 ? 3x) xdx = (4x ? 3x2 ) |0 ? 4 ? 2 ? 3? 22 ? 0 ? ?4

(2)∵ (

x2 x2 ? 1 ? ln x)' ? 2 x



?

2

1

x2 ? 1 x2 1 3 2 dx = ( ? ln x) |1 ? 2 ? ln 2 ? ? ? ln 2 x 2 2 2 3x 2 ? cos x)' ? 3x ? sin x 2

(3)∵ (

1

? 3x 2 2 ∴ ? 2 (3 x ? sin x) dx = ( ? cos x ) | 0 ? 0 2

?

3 ? ( )2 2 2 ? cos ? ? cos 0 ? 3? ? 1 2 2 8

?

( 4)∵ (e ?
x

2 3 x 2 )' ? e x ? x 3
5



?

2

1

2 3 2 2 22 2 2 4 2 ? e ? ? e ? ? e2 ? e ? ? (e x ? x )dx = (e x ? x 2 ) |1 3 3 3 3 3

点评:当被积函数是几个因式相乘时,应该把它分解成几个基本函数的和或差,这样便于 求解.在求定积分

?

b

a

f ( x)dx 时,关键是找到满足 F ' ( x) ? f ( x)的函数F ( x) .因此,对于

基本初等数学的求导公式和导数的四则运算法则要求考生熟练掌握. 例2 求由直线 x=-1,x=1,y=1 及函数 y=

1 2 x 所围成的面积 S. 4

解:作出图像(略) 这部分的面积是指一个矩形的面积减去一个定积分的面积

x2 x3 1 1 11 dx ? 2 ? ( ) |?1 ? 2 ? ? . ∴S= 2 ? ? ?1 4 12 6 6
1

点评:解题要理解定积分

?

b

a

f ( x)dx 的 意义, 容 易误以为定积分是所求的面积.

例 3 计算从 0 秒到 T 秒时间段内自由落体的平均速度 。 解:自由落体的速度为 v=gt。 所以 v ?

1 T 1 gt 2 T gT gtdt ? ( ) |0 ? 。 T ? 0 ?0 T 2 2

点评:速度 v(t)在区间[a,b]上的平均速度等于 v(t)在区间[a,b]上的定积分除以区间的 长度 b-a。 二. 复习建议 1. 加强对函数求导的训练,这样可以提高找到原 函数的速度; 2. 加 强 各 类 函 数 的 定 积 分 求 法 的 训 练 , 抓 住 常 考 的 几 类 函 数 , 如

y ? xa , y ? e x , y ? sin x 等等;
3. 定积分的试题不宜追求过难,只要求掌握定积分的基本思想即可. 4. 重点理解定积分在几何中的应用 ,即求曲边的面积,特别要清楚定积分 的值是指哪 一部分面积.

2


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