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导数的综合应用练习题含答案 文档 (2)

时间:2013-12-14


导数的综合应用
一、填空题 1.函数 f(x)=12x-x3 在区间[-3,3]上的最小 值是_________ _. 2.(2012 江苏溧水中学模拟)已知 f(x)=x+cos x(x ? R),则不等式 f(ex-1)>f(0)的解集 为__________. 3.已知函数 y=3x3+2x2-1 在区间(m,0)内为减函数,则 m 的取值范围是__________. 4. (2012 江苏南通高三第一次调研)已知 f( x)=x4-4x3+(3+m)x2-12x+12, m ? R.若对 于任意实数 x,f(x)≥0 恒成立,则 m 的取值范围为________. 5.已知函数 f(x)=x+sin x.设 P,Q 是函数 f(x)图象上相异的两点,则直线 PQ 的斜率 ________0(填“>”、“<”). 6.已知:三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(- 1,2)上单调递减,当且仅当 x>4 时,f(x)>x2-4x+5.则函数 f(x)的解析式为________. 7 . 对 于 R 上 可 导 的 任 意 函 数 f(x) , 若 满 足 (x - 1)f′(x)≥0 , 则 必 有 f(0) + f(2)________2f(1). 8.(2012 江苏淮安四校联考)挖一条隧道,截面下方为矩形,上方为半圆(如图),如果 截面积为 20 m2,当宽为___ _______时,使截面周长最小.
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9.(2012 江苏盐城三模)若不等式|ax3-ln x|≥1 对任意 x ? (0,1]都成立,则实数 a 的取 值范围是________. 二、解答题 10.设函数 f(x)=6x3+3( a+2)x2+2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. 11.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查投入广 告费 t(百万元), 可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5). (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公 司由此获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入 3 百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技 1 术改造费 x(百万元), 可增加的销售额约为- x3+x2+3x(百万元). 请设计一个资金分配方案, 3 使该公司由此获得的收益最大?(注:收益=销售额-投放). 12.(2012 江苏泰州月考)已知 f(x)=2xln x,g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若存在 x ? (0,+∞),使 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围; x 2? (3)证明对一切 x ? (0,+∞),都有 f(x)>2? e ? x-e?成立.

参考答案
一、填空题 1.-16 解析:由 f′(x)=12-3x2=0,得 x=-2 或 x=2. 又 f(-3)=-9,f(-2)=-16,f(2)=16,f(3)=9, ∴函数 f(x)在[-3,3]上的最小值为-16. 2.(0,+∞) 解析:f(x)=x+cos x,f′(x)=1-sin x≥0, ∴f(x)(x ? R)是增函数.若 f(ex-1)>f(0),则 ex-1>0,ex>1,即 x>0.∴解集为(0,+ ∞). 4 4 - ,0? 解析:由 y′=9x2+4x≤0 得- ≤x≤0,而 y=3x3+2x2 -1 在区间(m,0) 3.? ? 9 ? 9 4 内为减函数,所以- ≤m<0. 9 4.[4,+∞) 解析:f(x)=x4-4x 3+(3+m)x2-12x+12=(x2+3)(x-2)2+(m-4)x2. 当 m<4 时,f(2)=4(m-4)<0,不合题意; 当 m≥4 时,f(x)=(x2+3)(x-2)2+(m-4)x2≥0,对一切实数 x 恒成立. 所以 m 的取值范围是[4,+∞). 5.> 3 6.f(x)=x3- x2-6x- 11 2 解析:∵f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单增,(-1,2)上单减, ∴f′(x)=3x2+2ax+b=0 有两根-1,2.

2a ? 3 ?1 ? 2 , ? ? ? ?a ? ? , 3 ?? ∴? 2 ??1? 2 ? b , ? ?b ? ?6, ? 3 ?
3 ∴f(x)=x3- x2-6x+c. 2 令 H(x)=f(x)-x2+4x-5 5 =x3- x2-2x+c-5, 2 H′(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2), 1? ? 1 ? H(x)在? ?-∞,-3?,(2,+∞)上单调递增,?-3,2?上单调递减,

? H (4) ? 0, ? 故? ? c ? ?11. 1 H ( ? ) ? 0. ? 3 ?
3 ∴f(x)=x3- x2-6x- 11. 2 7.≥ 解析:当 x≥1 时,f′(x)≥0,故 f(2)≥f(1); 当 x<1 时,f′(x)≤0,故 f(0)≥f(1),又 f(2)≥f(1),所以 f(0)+f(2)≥2f(1). 10 8.4 解析 :如图所示,设半圆的半径为 r,矩形的高为 h, 4+π
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πr2 则截面积 S=2rh+ =20, 2

πr2 20- 2 π 20 πr 20 2+ ?r+ . 截面周长 C=2r+2h+πr=2r+ +πr=2r+ - +πr=? 2 ? ? r r 2 r π? 20 ? 设 C′(r)=?2+2?- 2 , r 10 令 C′(r)=0,解得 r=2 . 4+π 10 10 故当 r=2 时,周长 C 最小,即宽为 4 时,截面周长最小. 4+π 4+π e2 9.a≥ 解析:显然 x=1 时,有|a|≥1,则 a≤-1 或 a≥1. 3 3 1 3ax -1 令 g(x)=ax3-ln x,g′(x)=3ax2- = . x x 3ax3-1 ①当 a≤-1 时,对任意 x ? (0,1],g′(x)= <0,g(x)在(0,1]上递减, x g(x)min=g(1)=a≤-1,此时 g(x) ? [a,+∞),|g(x)|的最小值为 0,不适合题意. 3ax3-1 ②当 a≥1 时,对任意 x∈(0,1],g′(x)= =0 ? x= x |g(x)|的最小值为 g?
3

1 , 3a

e2 故所 求 a≥ . 3 二、解答题 10.解:(1)f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a,令 f′(x)=0,得 18x2+6(a+2)x+2a=0 两根 2a 为 x1,x2,且 x1x2=1= ,所以 a=9. 18 2 (2)由 f′(x)=18x +6(a+2)x+2a 开口向上,且 Δ=36(a+2)2-8×18a=36(a2+4)>0 恒成立,得方程 18x2+6(a+2)x+2a=0 有两个相异实根,故不存在 a 使 f(x)是单调函数. 11.解:(1)设投入 t(t 百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元), 则有 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0<t≤3), 所以当 t=2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元. 即投入 2 百万元时的广告费时,该公司由此获得的收益最大. (2)设用技术改造的资金为 x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元), 1 3 2 1 3 2 ? 则有 g(x)=? ?-3x +x +3x?+[-( 3-x) +5(3-x)]-3=-3x +4x+3(0≤x≤3), 所以 g′(x)=-x2+4.令 g′(x)=0,解得 x=2,或 x=-2(舍去). 又当 0≤x<2 时,g′(x)>0,当 2<x≤3 时,g′(x)<0. 故 g(x)在[0,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数. 所以当 x=2 时,g(x)取最大值, 即将 2 百万元用于技术改造, 1 百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大. 1 12.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(ln x+1),令 f′(x)=0,得 x= . e 1 ? 当 x∈? ?0,e?时,f′(x)<0; 1 ? 当 x∈? ? e,+∞?时,f′(x)>0, 1 1 0, ?上单调递减;在? ,+∞?上单调递增. 所以 f(x)在? e ? ? ?e ? 1 2 故当 x= 时,f(x)取最小值为- . e e
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? ?

3

1 1 e2 1? = + ln(3 a ) ≥ 1 ,解得: a ≥ , ? 3 3a? 3 3

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(2)解:存在 x ? ∈(0,+∞),使 f(x)≤g(x)成立,即存在 x ? (0,+∞)使 2xln x≤-x2 3 +ax-3 能成立,等价于存在 x ? (0,+∞)使 a≥2ln x+x+ 能成立. x 3 ? 等价于 a≥? ?2ln x+x+x?min. 3 记 h(x)=2ln x+x+ ,x ? (0,+∞), x 2 2 3 x +2x-3 (x+3)(x-1) 则 h′(x)= +1- 2= = . x x x2 x2 当 x ? (0,1)时,h′(x)<0; 当 x ? (1,+∞)时,h′(x)>0, 所以当 x=1 时,h(x)取最小值为 4,故 a≥4. x 2? ?1-x? (3)证明:记 j(x)=2? ?ex-e?,x ? (0,+∞),则 j′(x)=2? ex ?. 当 x ? (0,1)时,j′(x)>0; 当 x ? (1,+∞)时,j′(x)<0, 2 所以当 x=1 时,j(x)取最大值为- . e 1 2 又由(1)知当 x= 时,f(x)取最小值为- , e e x 2? 故对一切 x ? (0,+∞),都有 f(x)>2? ?ex- e?成立.


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