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2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案


2013 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
一、填空题(每小题 8 分,满分 64 分) 1、已知 sin ? ? cos ? ,cos ? ? sin 2? ,则 sin 2 ? ? cos 2 ? ? _______. 解:0 或 . 已知两式平方相加,得 sin ? ? 0 或 cos 2 ? ?
2

3 2
<

br />1 . 4

3 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin 2 ? ? 0 或 . 2
2、不等式 x 6 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)3 ? x 2 的解集为_________. 解: (??, ?1) ? (2, ??). 原不等式等价于 x ? x ? ( x ? 2) ? ( x ? 2).
6 2 3

设 f ( x) ? x ? x ,则 f ( x) 在 R 上单调增.
3

所以,原不等式等价于 f ( x ) ? f ( x ? 2) ? x ? x ? 2 ? x ? ?1或x ? 2.
2 2

3、已知

(

表示不超 过 x 的最大整数),设方程
2

1 ? 2012 x ? { x} 的两 2013

个不同实数解为 x1 , x2 ,则 2013 ? ( x1 ? x2 ) ? __________. 解: ?2011 .

1 1 1 ? (0,1) ,所以 2012 x ? (?1,1) ? ? ? x? . 2013 2012 2012 1 1 当? ? x ? 0 时,原方程即 ? 2012 x ? 1 ? x ? 20132 x1 ? ?2012 ; 2012 2013 1 1 当0 ? x ? 时,原方程即 ? 2012 x ? x ? 20132 x2 ? 1. 2012 2013
由于 {x} ? [0,1), 4、在平面直角坐标系中,设点 A( x, y )( x, y ? N ) ,一只虫子从原点 O 出发,沿 x 轴
*

正方向或 y 轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向),到达终点 A 的不同路线 数目记为 f ( x, y ) . 则 f (n, 2) ? _______. 解:

1 (n ? 1)(n ? 2). 2 1 1 1 f (1, 2) ? 3 ? ? 2 ? 3, f (2, 2) ? 6 ? ? 3 ? 4, f (3, 2) ? 10 ? ? 4 ? 5. 2 2 2 1 (n ? 1)(n ? 2) ,可归纳证明. 2

猜测 f (n, 2) ?

5、将一只小球放入一个长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点 P 到 这三个面的距离分别为 4、5、5,则这只小球的半径为___________. 解:3 或 11.

分别以三个面两两的交线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. 设点 P 坐标为 (4,5,5) ,小球圆心 O 坐标为 (r , r , r ).
2 2 2 所以, (r ? 4) ? (r ? 5) ? (r ? 5) ? r ? r ? 3或11.

6、将

2013 n ?1 表示成两个 (n ? N * ) 型分数的乘积的不同方法数是________.(其中 2012 n

ab 与 ba 是同一种表示方法)
解:24. 设 p, q 是正整数,满足

2013 p ? 1 q ? 1 2012 ? 2013 ? ? ? p ? 2012 ? . 2012 p q q ? 2012

2012 ? 2013 ? 22 ? 3 ?11? 61? 503 的正因数的个数为 (1 ? 2) ? (1 ? 1)4 ? 48 . 注意到 ( p, q)( p ? q) 与 (q, p) 是相同的表示方法,故所求的方法数为 24 .
7、设 E 为正方形 ABCD 边 AB 的中点,分别在边 AD、BC 上任取两点 P、Q,则∠PEQ 为锐角的概率为__________. 解:

设正方形边长为 1, AP ? x, BQ ? y . 则 EP ? EQ ? ( EA ? AP) ? ( EB ? BQ) ? EA ? EB ? AP ? BQ ? xy ? 从而, xy ?

3 ? ln 4 . 4

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

1 ? 0. 4

1 . 又 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 . 4
1 所围成图形的面积与边长为 1 的正方形 4

故所求概率为两直线 x ? 1, y ? 1 及曲线 xy ? 的面积之比,即 ?
1 1 ? ?3 3 ln 4 ?1 ? ?1 ? :12 ? ? . 4 4 ?4 4 4x ?

8、已知实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根,则使得
2

(a ? b)2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? ra 2
成立的正实数 r 的最大值为____________. 解: rmax ?

9 . 8
2

不妨设 a ? 1 ,方程 x ? bx ? c ? 0 的两实根为 x1 , x2 . 由韦达定理, b ? ? x1 ? x2 , c ? x1 x2 .

? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? (1 ? b)2 ? (b ? c) 2 ? (c ? 1) 2

? (1 ? x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ? x1 x2 )2 ? ( x1 x2 ? 1)2
2 ? 2( x12 ? x1 ? 1)( x2 ? x2 ? 1) 1 3 1 3 9 ? 2[( x1 ? )2 ? ] ? [( x2 ? )2 ? ] ? . 2 4 2 4 8

从而, r ?

1 9 ,当 x1 ? x2 ? ? 时等号成立. 2 8

二、解答题(第一道小题满分 16 分,后两道小题每题满分 20 分) 9 、 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , a1 ? 1, a2 ? 3 , 且 对 任 意 n ? N * , 都 有
2 an?1 ? an an ? 2 ? 2 .问:是否存在常数 ? ,使得 an ? an? 2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都成立?
2 解:在 an ?1 ? an an ? 2 ? 2 中,令 n ? 1 ,得 a3 ? 7.

若存在常数 ? 使得 an ? an ? 2 ? ? an ?1 ,则 a1 ? a3 ? ? a2 ? ? ? .
2 2 ∵ an ?1 ? an an ? 2 ? 2 ,∴ an ? an ?1an ?1 ? 2(n ? 2, n ? N * ) .
2 2 2 2 ∴ an ?1 ? an ? an an ? 2 ? an ?1an ?1 ? an ?1 ? an ?1an ?1 ? an ? an an ? 2 .

8 3

由于 an ? 0 ,上式两边同除以 an an ?1 ,得 所以,

an ?1 ? an ?1 an ? an ? 2 ? (n ? 2). an an ?1

an ? an ? 2 an ?1 ? an ?1 a ? a3 8 ? ??? 1 ? . an ?1 an a2 3 8 即存在常数 ? ? ,使得 an ? an ? 2 ? ? an ?1 对任意 n ? N * 都成立. 3
10、已知两点 C (?

x2 6 6 ,0), D( ,0) ,设 A,B,M 是椭圆 ? y 2 ? 1 上三点,满足 4 2 2

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? OM ? OA ? OB ,点 N 为线段 AB 的中点,求 | NC | ? | ND | 的值. 5 5
解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 由 OM ?

x12 x2 2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 ? 1. 4 4



???? ?

? ? 3 ??? 4 ??? 3 4 3 4 OA ? OB ,得 M ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 5 5 5 5 5 5


3 4 ( x1 ? x2 )2 x2 2 3 4 ∵M 在椭圆 ? y ? 1 上, 5 5 ? ? ( y1 ? y2 )2 ? 1. 4 4 5 5
综合①②得,

x1 x2 ? y1 y2 ? 0. 4

又线段 AB 的中点为 N (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2



(

x1 ? x2 2 ) y ?y 1 x2 1 x2 1 xx 2 2 ? ( 1 2 )2 ? ( 1 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? ( 1 2 ? y1 y2 ) 4 2 4 4 4 4 2 4
? 1 1 1 ? ? . 4 4 2

上式表明,点 N 在椭圆 点.

x2 6 6 ? 2 y 2 ? 1 上,且该椭圆两焦点恰为 C (? ,0), D( ,0) 两 2 2 2

所以,由椭圆定义有 | NC | ? | ND |? 2 2. 11、 已知 m ? n(m, n ? N * ) , 两个有限正整数集合 A, B 满足: A |?| B |? n,| A ? B |? m | ( 这 里 用 | X | 表 示 集 合 X 的 元 素 个 数 ) . 平 面 向 量 集 {uk , k? A ?

?

B满 足 }

?u
i? A

?

2 . m?n j?B k ? A? B 证明:不妨设 A ? {1, 2,?, n}, B ? {n ? m ? 1, n ? m ? 2,?, 2n ? m}. 令 a1 ? a2 ? ? ? an?m ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ?m ? 1, an?m?1 ? an?m? 2 ? ? ? an ? 4.
i

?

?u

?

j

? 1 . 证明:

?

? | uk |2 ?

由柯西不等式,

2n?m

注意到 从而,

?a
i ?1

i

? 2(n ? m) ? 4m ? 2(n ? m). 2 . m?n

k ? A? B

?

2n?m ? ? | uk |2 ? ? | ui2 | ? i ?1


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