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高二离散型随机变量的均值与方差;正态分布(理科)






高二

学科

数学

内容标题 编稿老师 一、教学目标:

离散型随机变量的均值与方差; 正态分布 (理科) 邵珍红

(1)了解离散型随机变量的期望值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求 出期望值、方差. (2)正态分

布曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1) 二、知识要点分析: 1. 数学期望:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ? 平.

为 ξ 的数学期望,简称期望.

2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水 3. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? ? ? pn , 则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ? 均数、均值. 4. 期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 5. 若 ξ~B(n,p) ,则 Eξ=np. 6. 方差:对于离散型随机变量 ξ,如果它所有可能取的值是 x1 , x2 ,?, xn ,?, 且取这些值的概率分别是 p1 , p 2 ,?, p n ,?,那么,

1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期望又称为平 n n

D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +?
称为随机变量 ξ 的均方差,简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ξ 的期望. 7. 标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ξ 的标准差,记作 ?? . 8. 方差的性质: (1) D(a? ? b) ? a D? ; (2) D? ? E? ? ( E? ) ;
2 2 2

(3)若 ξ~B(n,p) ,则 D? ? np(1-p). 9. ⑴随机变量 ξ 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量 ξ 的方差、标准差也是随机变量 ξ 的特征数,它们都反映了随机变量取值的 稳定与波动、集中与离散的程度; ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛. 10. 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应

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各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会 无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
频率/组距

总体密度曲线

单位
O

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内 取值的概率等于总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观察总体密度曲线 的形 状,它具有“两头 低, 中间高,左右对称 ”的 特征,具 有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:
? 1 2 ?? ,? ( x) ? e 2? , x ? (??, ??) 2?? 式中的实数 ? 、 ? (? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差, ?? ,? ( x) 的 ( x ? ? )2

图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线 . 11. 正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. (2)曲线关于直线 x=μ 对称. (3)当 x=μ 时,曲线位于最高点. (4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降(减函数).并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近. (5)μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定. σ 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高”,总体分布越集中: 12. 标准正态曲线:当 μ=0、σ=l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示 式是 f ( x) ?
x2 2

1 2?

e

?

, (-∞<x<+∞)

其相应的曲线称为标准正态曲线.

【典型例题】
知识点 1:离散型随机变量的均值 例 1: 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表.若 EX ? 0 ,DX ? 1 , 则a ? ,

b?

.

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思路分析:按分布列的性质. 解:由题知 a ? b ? c ?

11 1 1 5 2 2 2 ? 1 ,解得 a ? , ? a ? c ? ? 0 ,1 ? a ? 1 ? c ? 2 ? , 12 6 12 12

b?

1 . 4

解题后的思考:按照定义去求解. 例 2:在 1, 2, 3,

, 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数.

(I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的 数 1, 2 和 2, 3 ,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . 思路分析:解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件. 解: (I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P( A) ? (II)随机变量 ? 的取值为 0,1, 2, ? 的分布列为
1 C4 C52 10 ? ; 3 C9 21

?
P 所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

0

1

2

5 12

1 2

1 12

5 1 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 12 2 12 3

解题后的思考:按照公式进行求解. 例 3:某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 思路分析:分析清楚具体事件,特别注意随机变量的可能取值. 解: (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯, 在第三个路口遇到红灯”, 所以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

1? ? 1? 1 4 . ? 3 ? ? 3 ? 3 27 (Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min).
事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” ( k ? 0,1,2,3,4) ,

? ?

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∴ ∴即 ? 的分布列是



?
P

0

2

4

6

8

32 8 8 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3

16 81

1 81

解题后的思考:本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型 随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. 小结:离散性随机变量的均值的意义: (1)均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均. (2)E(X)是一个实数,由 X 的分布列唯一确定,它描述 X 取值的平均状态. (3) E(aX ? b) ? aE (X) ? b ,说明随机变量 X 的线性函数 Y= aX ? b 的均值等于随机 变量 X 均值的线性函数. 知识点 2:离散型随机变量的方差 例 4:在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生在规 模群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 A. 甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B. 乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C. 丙地:中位数为 2,众数为 3 D. 丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 思路分析:根据信息可知,连续 10 天内,每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数,选项 A 中,中位数为 4,可能存在大于 7 的数;同理,在选项 C 中也有可能存在大于 7 的数;选项 B 中的总体方差大于 0, 叙述不明确, 如果数目太大, 也有可能存在大于 7 的数; 选项 D 中, 根据方差公式,如果有大于 7 的数存在,那么方差不会为 3,故答案选 D. 解: 【答案】D 解题后的思考:利用离散型随机变量的方差与期望的知识,可以解决实际问题.利用所学知 识分析和解决实际问题的题型,越来越成为高考的热点,应予以重视. 例 5:某市出租车的起步价为 6 元,行驶路程不超过 3km 时,租车费为 6 元,若行驶路 程超过 3km,则按每超出 1km(不足 1km 也按 1km 计程)收费 3 元计费.设出租车一次行 驶的路程数 X(按整 km 数计算,不足 1km 的自动计为 1km)是一个随机变量,则其收费 也是一个随机变量.已知一个司机在某一天每次出车都超过了 3km,且一次的总路程数可能 的取值是 20、22、24、26、28、30(km) ,它们出现的概率依次是 0.12、0.18、0.20、0.20、

100a 2 ? 3a 、4a.
(1)求这一天中一次行驶路程 X 的分布列,并求 X 的均值和方差; (2)求这一天中一次所收出租车费 Y 的均值和方差.
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思路分析:正确求出分布列是求均值和方差的前提. 解: (1)由概率分布的性质有

0.12 ? 0.18 ? 0.20 ? 0.20 ? 100a 2 ? 3a ? 4a ? 1 .

?100a 2 ? 7a ? 0.3 ,
?1000a 2 ? 70a ? 3 ? 0 ,

?a ?

3 1 , 或a ? ? (舍去) 100 10

即 a=0.03.

?100a 2 ? 3a ? 0.18,4a ? 0.12 ,
∴X 的分布列为: X Y 20 0.12 22 0.18 24 0.20 26 0.20 28 0.18 30 0.12

? E(X) ? 20 ? 0.12 ? 22 ? 0.18 ? 24 ? 0.20 ? 26 ? 0.20 ? 28 ? 0.18 ? 30 ? 0.12 ? 25(km).

D(X) ? 52 ? 0.12 ? 32 ? 0.18 ? 12 ? 0.20 ? 12 ? 0.20 ? 32 ? 0.18 ? 52 ? 0.12 ? 9.64.
(2)由已知 Y ? 3X ? 3(X ? 3, X ? Z) ,

? E(Y) ? E(3X ? 3) ? 3EX ? 3
? 3 ? 25 ? 3 ? 72 (元) ,

D(Y) ? D(3X ? 3) ? 32 D(X) ? 86.76 .
解题后的思考:要善于使用公式 E (a? ? b) ? aE? ? b 、 D(a? ? b) ? a 2 D? 来简化计算. 小结:离散性随机变量的方差的意义: (1)Dξ 表示随机变量 ξ 对 E(ξ)的平均偏离程度, Dξ 越大表明平均偏离程度越大,说明 ξ 的取值越分散;反之,Dξ 越小,表明平均偏离程度 越小,ξ 的取值越集中在 E(ξ)附近,统计中常用标准差来描述 ξ 的分散程度.(2)Dξ 与 Eξ 一样,也是一个实数,由 ξ 的分布列唯一确定. 【本讲涉及的数学思想、方法】日常生产生活中的一些问题,我们可以转化为数学问题, 借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决.同时,要提高分析问题和解决问题的 能力,必须关注生产和生活.

【模拟试题】 (答题时间:90 分钟)
一、选择题 1. 数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的方差为 ? ,则数据 2a1 , 2a2 , 2a3 ,..., 2an 的方差为(
2



A.

?2 2

B. ?

2

C. 2?

2

D. 4?

2

2. 一套重要资料锁在一个保险柜中,现有 n 把钥匙依次分给 n 名学生依次开柜,但其 中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( A. 1 B. n C. )

n ?1 2

D.

n ?1 2

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3. 设 随 机 变 量 ? 服 从 标 准 正 态 分 布 N ( 0 , 1 ) , 已 知 ? (? 1 . 9 6 ? ) = P( |? ? | 1.96 ) A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 ( C. 5 D. 6 )

, 0.02 5则

4. 设每门高射炮命中飞机的概率是 0.6,今有一架飞机来犯,问需要多少门高射炮射 击,才能以至少 99%的概率命中它 A. 3 B. 4

5. 已知随机变量 ? 服从二项分布 ? ~B(n,P) ,且 E ? =12,D ? =4,则 P 等于( A.



1 7

B.

2 3

C.

1 5

D.

1 4


6. 设离散型随机变量 ? ~ B (6 , A. 9 二、填空题 B. 6

1 ) ,则 D( 2? ? 4 )等于( 2
C. 30 D. 36

7. 某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 概率是

4 2 ,刮风的概率是 ,既刮风又下雨的 15 15
; P( A B) =
2

1 ,设 A=“刮风”,B=“下雨”, P(B A) = 10
) (

.

8. 在某项测量中,测量结果 服从正态分布 N(1,

) ,若 在(0,1)内取

值的概率为 0.4,则 在(0,2)内取值的概率为________. 9. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者, 若用随机变量 ? 表示选出的志愿者中女生的人数, 则数学期望 E? 为____________ (结果用最简分数表示) . 10. 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为 0. 80,现有 5 人接种了该疫苗,至少有 3 人出现发热反应的概率为______.(精确到 0.01) 三、解答题 11. 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个( n =1, 2,3,4).现从袋中任取一球. ? 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若? ? a? ? b , E? ? 1, D? ? 11 ,试求 a,b 的值. 12. 一次单元测试由 50 道选择题构成,每道选择题有 4 个选项,其中恰有 1 个是正确 答案.每题选择正确得 2 分, 不选或错选得 0 分, 满分是 100 分.学生甲选对任一题的概率为 0.8,求他在这次测试中成绩的数学期望和标准差. 13. 袋中有 4 只红球,3 只黑球,今从袋中随机取出 4 只球.设取到一只红球得 2 分, 取到一只黑球得 1 分,试求得分 ? 的概率分布和数学期望. 14. 一台设备由三大部件组成,在设备运转中,各部件需要调整的概率相应为 0.10, 0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立,以 ? 表示同时需要调整的部件数,试求 ? 的数 学期望 E ? .

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【试题答案】
一、选择题 1. D 解析: ? 2 ?

1 n 1 n 1 n ( xi ? x)2 , ? (2 xi ? 2 x)2 ? 4 ? ? ( xi ? x) 2 ? 4? 2 , ? n i ?1 n i ?1 n i ?1

3 ,或已知每一位学生打开柜门的概 2 1 1 1 1 n ?1 率为 ,所以打开柜门次数的平均数(即数学期望)为 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ? , n n n n 2
2. C 解析:当 n =2 时,打开柜门需要的次数为 故答案为 C 3. C 解析: ? 服从标准正态分布 N (0, 1) , ? P(| ? |? 1.96) ? P(?1.96 ? ? ? 1.96) ?

? (1.96) ?? (?1.96) ? 1 ? 2? (?1.96) ? 1 ? 2 ? 0.025 ? 0.950.
4. D.解析: 1 ? (0.4)n ? 99% ,n>5,n=6.

?n ? 18 ?n ? P ? 12 ? 5. B.解析: ? ?? 2 ?nP(1 ? P) ? 4 ?P ? 3 ?
6. B.解析: D? ? 6 ?

1 1 3 (1 ? ) ? 2 2 2

D? ? D(a? ? Db ?) ? a 2 D? ? 6

二、填空题 7.
3 3 , . 解析: 4 8 P ? A? ? 2 4 1 , P ? B ? ? , P ? AB ? ? 15 15 10
? P ? AB ? 3 3 ? . ; P( A B) = 4 P ? B? 8

? P(B A) =
8. 0.8

P ? AB ? P ? A?

解析:在某项测量中,测量结果 服从正态分布 N(1, ? 2 ) ( ? >0) ,正态分布图象的 对称轴为 x=1, ? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ? 在(1,2)内取值的 概率与 ? 在(0,1)内取值的概率相同,也为 0.4,则随机变量 ? 在(0,2)内取值的概率 为 0.8. 9.

4 7

解析: ? 可取 0,1,2,因此 P( ? =0)= P( ? =2)= 10. 0.94 三、解答题

C 52 C 72

?

C 1C 1 10 10 ,P( ? =1)= 5 2 2 ? , 21 21 C7

2 C2 10 10 1 4 1 ? , E? =0× ? 1 ? ? 2 ? = 2 21 21 21 7 C 7 21

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11. 解: (Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P ∴ E? ? 0 ?

0

1

2

3

4

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

1 1 1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. 2 20 10 20 5

1 1 1 3 1 ? ? (0 ? 1.5) 2 ? ? (1 ? 1.5) 2 ? ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75. 2 20 10 20 5
2 2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以 (Ⅱ)由 D? ? a2 D? ,得 a ×

当 a=2 时,由 1=2× 1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2× 1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ?2 ? b ? 4

12. 解:成绩的数学期望为 E ? =E(2 ? )=2E ? =2× 50× 0.8=80(分) ; 成绩的标准差为 σ ? = D? = D(2? ) = 4D? =2 50 ? 0.8 ? 0.2 =4 2 ≈5.7(分). 13. 解: P( ? =5)= P( ? =6)= P( ? =8)=
3 C1 4 C3 4 C7

=

4 , 35

2 C2 4 C3 4 C7 0 C4 4 C3 4 C7

=

C 3 C1 12 18 ,P( ? =7)= 4 4 3 = , 35 35 C7

=

1 4 18 12 1 220 44 ,E ? =5× +6× +7× +8× = = . 35 35 35 35 35 35 7

14. 解:P( ? =0)=P( A1 A2 A3 )=0.9× 0.8× 0.7=0.504; P( ? =1)=P(A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3) =0.1× 0.8× 0.7+0.9× 0.2× 0.7+0.9× 0.8× 0.3=0.398; P( ? =2)=P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3) =0.1× 0.2× 0.7+0.1× 0.8× 0.3+0.9× 0.2× 0.3=0.092; P( ? =3)=P(A1A2A3)=0.1× 0.2× 0.3=0.006. ∴E ? =1× 0.398+2× 0.092+3× 0.006=0.6.

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