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【导数】高考题精选


(10 年山东文 21)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (II)当 a ? 解:当 a ? ?1 时, f ( x) ? ln x ? x ?

1? a ? 1(a ? R) (I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调

性. 2

2 ? 1, x ? (0,?? ) x

? f ?( x) ?

x2 ? x ? 2 , x ? (0,??) ,? f ?(2) ? 1 ,又 f (2) ? ln 2 ? 2 , x2

? 切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2 ,即 x ? y ? ln 2 ? 0 。
(Ⅱ)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

所以

f ' ( x) ?


1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,

g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

①当 a ? 0 时, g ( x) ? ? x ? 1, x ? (0,??) , 所以,当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1,??) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;
2 ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ? 1, a

1 时, x1 ? x2 , g ( x) ? 0 恒成立,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递减; 2 1 1 (ⅱ)当 0 ? a ? 时, ? 1 ? 1 ? 0 , 2 a
(ⅰ)当 a ?

x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1,?? ) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 (ⅲ)当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 , a

x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;
当 x ? (1,??) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;
第页 共 5 页 1

综上所述:当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当 a=1/2 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当 0<a<1/2 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1,1/a -1)上单调递增; 函数 f(x)在(1/a -1,+ ∞)上单调递减。 (2009 山东文 21)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解:
2 (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f ( x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a , b 满足 b ? a 时, f ( x) 取得极值.
2

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2

(2)要使 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立. 即b ? ?

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x

ax 1 a 1 ? 设 g ( x) ? ? ,- g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2x 2 2x

1 a( x 2 ? ) a ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ? 1 (舍去), 2 2x a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a
当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1] 上单 2 2x a a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

(2008 山东文 21)设函数 f ( x) ? x e (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x ) ?

2 x ?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点.

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3
x ?1

解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? e

(2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) ,

又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, 1 解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 3 ?3 ? 3a ? 2b ? 0,
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(Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e x?1 ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 . 因为当 x ? (??, ? 2) ?(0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (?2, 0) ? (1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在 (?2, 0) 和 (1 , ? ?) 上是单调递增的;在 (??, ? 2) 和 (0, 1) 上是单调递减的. (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x e 令 h( x) ? e
x ?1
2 x ?1

1 3

1 ? x3 ? x 2 ,故 f ( x) ? g ( x) ? x2ex?1 ? x3 ? x2 (e x?1 ? x) , 3

? x ,则 h?( x) ? e x?1 ?1 .令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,

因为 x ? ? ??, 1? 时, h?( x) ≤ 0 ,所以 h( x) 在 x ? ? ??, 1? 上单调递减.故 x ? ? ??, 1? 时,

h( x) ≥ h(1) ? 0 ;
因为 x ??1 , ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x ??1 , ? ?? 上单调递增.故 x ??1 , ? ?? 时,

h( x) ≥ h(1) ? 0 .
? ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x 所以对任意 x ? (??,
2

≥0,

? ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) . 因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,故对任意 x ? (??,
2 (2007 山东文 22)设函数 f ( x) ? ax ? b ln x ,其中 ab ? 0 .证明:当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 没有极值

点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极值点,并求出极值.
2 ? ?) . 证明:因为 f ( x) ? ax ? b ln x,ab ? 0 ,所以 f ( x ) 的定义域为 (0,

f ?( x ) ? 2ax ?

b 2ax 2 ? b ? . x x

? ?) 上单调递增; 当 ab ? 0 时,如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减. 如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0,
所以当 ab ? 0 ,函数 f ( x ) 没有极值点. 当 ab ? 0 时,
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? b ?? b ? 2a ? x ? ? ?? x ? ? ? 2a ?? 2a ? , f ?( x) ? ? x
将 x1 ? ? ?

令 f ?( x) ? 0 ,

b b , x2 ? ? ? (0, ? ?) (舍去) ? (0,??) , 2a 2a

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

? b ? 0 , ? ? ? ? 2a ? ? ?

?

b 2a

? ? b ? , ? ? ? ? ? ? 2a ? ?

?


0 极小值

?


从上表可看出,函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 f ? ? ?

? ?

b ? b? ? b ?? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . ? ? 2a ? 2? ? 2a ? ?

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

? b ? 0 , ? ? ? ? 2a ? ? ?

?

b 2a

? ? b ? , ? ? ? ? ? ? 2a ? ?
?


?


0 极大值

从上表可看出,函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 f ? ? ?

? ?

b ? b? ? b ?? ? ? 1 ? ln ? ? ? ?? . ? 2a ? 2 ? 2a ? ? ? ?

综上所述,当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 没有极值点; 当 ab ? 0 时, 若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 ?

b? ? b ?? 1 ? ln ? ? ?? . ? 2? ? 2a ?? b? ? b ?? 1 ? ln ? ? ?? . ? 2? ? 2a ??

若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 ?

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