nbhkdz.com冰点文库

2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 第六章 不等式、推理与证明(单元总结与测试)


2014 年高考一轮复习考点热身训练: 第六章 不等式、推理与证明(单元总结与测试)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.(2013·福州模拟)设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( ) (A)ab<b <1
b a 2

/>
(B) log 1 b ? log 1 a ? 0
2
2

2

( )2 <2 <2 (D)a <ab<1 2.下列推理是归纳推理的是( ) (A)A,B 为定点,动点 P 满足| PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 (B )由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达 式 ( )由圆 x +y =r 的面积π r ,猜想出椭圆 (D)以上均不正确 3.(2013·漳州模拟)已知 f(x)=x+
2 2 2 2

x 2 y2 ? =1 的面积 S=π ab a 2 b2

1 -2(x<0),则 f(x)有( x

)

(A)最大值为 0 (B)最小值为 0 ( )最大值为-4 (D)最小值为-4 2 x-1 4.已知集合 A={x|x -2x-3<0},B={x|2 >1},则 A∩B=( (A){x|x>1} (B){x|x<3} ( ){x|1<x<3} (D){x|-1<x<3} 5.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+ ,b+ ,c+ (A)都不大于-2 (B)都不小于-2 ( )至少有一个不大于-2 (D)至少有一个不小于-2

)

1 b

1 c

1 ( a

)

6.(2012·厦门模拟)某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N )时该命题成立,那么可推得 n=k+1 时该命 题也成立,现在已知当 n=5 时该命题不成立,那么可推得( (A)当 n=6 时,该命题不成立 (B)当 n=6 时,该命题成立 ( )当 n=4 时,该命题不成立 (D)当 n=4 时,该命题成立 7.(2012·龙岩模拟)函数 f(x)=x +mx +(m+6)x+1 存在极值,则实数 m 的取值范围是( (A)(-1,2) ( )(-3,6)
2 2 2 2 3 2

*

)

)

(B)(-∞,-3)∪(6,+∞) (D)(-∞,-3]∪[6,+∞) )
1

8.要证:a +b -1-a b ≤0,只要证明( 2 2 (A)2ab-1-a b ≤0

a 4+b 4 (B) a +b - - ≤0 1 2
2 2

( )

2 (a+b) - -a 2 b 2 ≤0 1 2
2 2

(D)(a -1)(b -1)≥0 2 9.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(1≤t≤30)的关系大致满足 f(t)=t +10t+16,则该 商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为

f ?10 ? ) 的月饼最少为( 10

)

(A)18 (B)27 ( )20 (D)16 10.下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格,某球迷赛前准备 1 200 元,预订 15 张下表中球类比赛的门票. 比赛项目 足球 篮球 乒乓球 票价(元/场) 100 80 60

若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下,该球迷想预订上表中三种球类比赛门票,其中篮球比 赛门票数与乒乓球比赛门票数相同,且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用,求可以预订的足 球比赛门票数为( ) (A)3 (B)4 ( )5 (D)6 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把 正确答案填在题中横线上) 11.(2012·泉州模拟)将函数 f(x)=2sin(x-

? )的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不 3

变得到新函数 g (x),则 g(x)的最小正周期是_____. 12. 若函数 y=

mx- 1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是______. mx +4mx+3
2

? x-2 ? 0 ? 13.(预测题)不等式组 ? y+2 ? 0 表示的区域为 D,z=x+y 是定义在 D 上的目标函数,则区 域 D 的 ? x-y+ ? 0 1 ?
面积为______,z 的最大值为________. 14.已知 a>0,b>0,则

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是_______. a b

15.方程 f(x)=x 的根称为 f(x)的不动点,若函数 f ? x ?=

x 有唯一不动点,且 x1=1 000, a(x+2)

x n+1=

1 则 (n ? N*), x2 012=_______. 1 f( ) xn

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2

16. (10 分)已知 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b -ac< 3a .
2

17.(12 分)设不等式 x -2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M? [1,4] ,求实数 a 的取值范围. 18.(13 分) (2012·三明模拟)如图 1,OA,OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段 D 和曲线 段 EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要, 拟过栈桥 D 上某点 M 分别修建与 OA,OB 平行的栈桥 MG、MK,且以 MG、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK.建立如图 2 所示的直角坐标 系,测得线段 D 的方程是 x+2y=20(0≤x≤20),曲线段 EF 的方程是 xy=200(5≤x≤40),设点 M 的坐标为 (s,t),记 z=s·t.(题中所涉及的长度单位均为米, 栈桥和防波堤不计宽度)

2

(1)求 z 的取值范围; (2)试写出三角形观光平台 MGK 的面积 S△MGK 关于 z 的函数解析式,并求出该面积的最小值. 19. (13 分) (探究题)已知关于 x 的不等式(kx-k -4)(x-4)>0,其中 k∈R. (1)当 k 变化时,试求不等式的解集 A; (2)对于不等式的解集 A,若满足 A∩Z=B(其中 Z 为整数集). 试探究集合 B 能否为有限集?若能,求 出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B;若不能,请说明理由. 2 20.(14 分) (易错题)已知二次函数 f(x)=x +bx+c(b、c∈R),不论α 、β 为何实数,恒有 f(sinα )≥0, f(2+cosβ )≤0. (1)求证:b+c=-1; (2)求证:c≥3; (3)若函数 f(sinα )的最大值为 8,求 b、c 的值. 21.(14 分)设数列{an}满足:an+ 1= a 2 -nan+1,n=1,2,3,? n (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜测{an}的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1, (i)an≥n+2; (ii)
2

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 3 1? an 2

3

答案解析 1. 【解析】选 .∵y=2 是单调递增函数,且 0<b<a<1, b a 1 b a ∴2 <2 <2 ,即 2 <2 <2. 2.【解析】选 B.从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理. 3. 【解析】选 .∵x<0,∴-x>0, ∴x+
x

1 1 -2=-[(-x)+ ]-2 x (? x)
1 ? 2 =-4, (? x)
1 , 即 x=-1 ?x 1 b 1 c 1 a

≤ ?2g ( ? x)g

等号成立的条件是 ? x ?

4.【解析】选 .A={x|-1<x<3},B={x|x>1},所以 A∩B={x|1<x<3}. 5.【解析】选 .因为 a+ +b+ +c+ ? -6, 所以三者不能都大于-2. 6.【解析】选 .因若 n=4 时,命题成立,则必有 n=5 时命题成立与已知矛盾,故当 n=4 时,该命题不成 立. 7.【解析】选 B.f′(x)=3x +2mx+(m+6),由 f(x)存在极值,知 f′(x)=0 有两个不等实根, 即Δ =4m -12(m+6)>0,解得 m<-3 或 m>6.
2 2

8. 【解析】选 D.因为 a +b -1-a b ≤0?(a -1)(b -1)≥0. 9. 【解析】选 A.平均销售量 y= 当且仅当 t=

2

2

2 2

2

2

f ? t ? t 2+ + 10t 16 16 = =t+ + ? 18. 10 t t t

16 即 , t=4∈[1,30]等号成立, t

即平均销售量的最小值为 18. * 10. 【解析】选 .设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是 n(n∈N )张,则足 球比赛门票预订(15 -2n)张,由题意得 ? 解得: 5 ? n ? 5

100 ? ?80n+60n+ (15-2n) 1 200 . ( ?80n ? 100 15-2n)

5 , 14
4

又 n∈N ,可得 n=5,∴15-2n=5. ∴可以预订足球比赛门票 5 张. 11.【解析】函数 f(x)的最小正周期为 2π ,由题设可知 g(x)的最小正周期为π . 答案:π 1 2.【解题指南】本题实际 就是分母不等于零恒成立问题,需分 m=0 或 m≠0 讨论. 【解析】∵ y=
2

*

mx- 1 的定义域为 R, mx +4mx+3
2

∴mx +4mx+3 恒不等于 0. 当 m=0 时,mx +4mx+3=3 满足题意. 当 m≠0 时,Δ =16m -12m<0, 解得 0 ? m ? ,综上, ? m ? , 0 即 m∈ 0, ). [ 答案: [0,
2 2

3 4

3 4

3 4

3 ) 4 25 ,因为目标函数的最 2

13.【解析】图象的三个顶点分别为(-3,-2)、(2,-2)、(2,3),所以面积为 值在顶点处取得,把它们分别代入 z=x+y 得,x=2,y=3 时,有 zmax=5. 答案:

25 ?????5 2

14.【解析】因为

1 1 1 1 ? ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 2( ? ab) ? 4, a b ab ab

当且仅当 答案:4

1 1 1 ? ,且 ? ab, a=b=1 时,取“=”. 所以最小值为 4. 即 a b ab

15. 【解析】由

x =x 得 ax2+(2a-1)x=0. a(x+2)
1 2

因为 f(x)有唯一不动点,所以 2a-1=0,即 a= . 所以 f(x)= 所以 x n+1=

2x . x+2

2x + 1 1 1 = n =x n+ . 1 2 2 f( ) xn
1 2 2 011 =2 005.5. 2
5

所以 x 2 012=x1+ ? 2 011= 000+ 1 答案:2 005.5

16. 【证明】要证 b -ac ? 3a ,只需证 b -ac<3a ,
2
2 2

∵a+b+c=0, 2 2 只需证 b +a(a+b)<3a , 2 2 只需证 2a -ab-b >0, 只需证(a-b)(2a+b)>0, 只需证(a-b)(a-c)>0. 因为 a>b>c,所以 a-b>0,a-c>0, 所以(a-b)(a-c)>0,显然成立. 故原不等式成立. 17.【解题指南】此题需根据Δ <0,Δ >0,Δ =0 分类讨论,求出解集 M,验证即可,不要忘记 M=? 的情况. 2 【解析】(1)当Δ =4a -4(a+2)<0,即-1<a<2 时,M=?,满足题意; (2)当Δ =0 时,a=-1 或 a=2.a=-1 时 M={-1},不合题意;a=2 时 M={2},满足题意; 2 (3)当Δ >0,即 a>2 或 a<-1 时,令 f(x)=x -2ax+a+2,要使 M? [1,4] ,

?1 ? a ? 4 ? 只需 ?f ?1? ? 3 ? a ? 0 ? ?f ? 4 ? ? 18 ? 7a ? 0 18 18 得 2<a≤ ;综上,-1<a≤ . 7 7
【变式备选】若关于 x 的方程 4 +a·2 +a+1=0 有实数解,求实数 a 的取值范围. x 2 【解析】方法一:令 t=2 >0,则原方程有实数解?t +at+a+1=0 在(0,+∞)上有实根 得?
x x

?? ? a 2 ? 4 ? a ? 1? ? 0 ? ? ?a ? 0 ?

?? ? a 2 ? 4 ? a ? 1? ? 0 ? 或 ? ?a ? 0 ?a ? 1 ? 0 ?
得?

?a 2 ? 4 ? a ? 1? ? 0 ? 得 , a≤2- 2 2 . ? ?a ? 0 ?
x

方法二:令 t=2 (t>0),则原方程化为 2 t +at+a+1=0,变 形得

a??

1? t2 (t 2 ? 1) ? 2 2 2 ?? ? ? ? t ? 1? ? [ ] ? ? t ? 1? ? ?[ ? 2] ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 2. ? 1? t t ?1 t ?1 t ?1

?

?

∴a 的取值范围是(-∞, 2 ? 2 2 ]. 18. 【解析】(1)由题意,得 M(s,t)在线段 D:x+2y=20(0≤x≤20)上,即 s+2t=20, 又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、MK, 所以 5≤s≤10,

1 1 2 z ? s?t ? s(10 ? s) ? ? ? s ? 10 ? ? 50,5 ? s ? 10, 2 2
6

75 ? z ? 50. 2 200 200 (2)由题意,得 K(s, ), G( , t), s t 1 1 200 200 1 40 000 所以 S? MGK= ?MG ?MK= ( ? s)( ? t) ? (st ? ? 400). 2 2 t s 2 st
所以 z 的取值范围是 则 S? MGK ?

1 40 000 ? 75 ? (z ? ? 400), z ? ? ,50 ? , 2 z ?2 ? 1 40 000 ? 75 ? (z ? ? 400)在z ? ? ,50 ? 单调递减, 2 z ?2 ?

因为函数 S? MGK ?

所以当 z=50 时,三角形观光平台的面积取最小值为 225 平方米. 19. 【解析】 (1)当 k=0 时,A=(-∞,4); 当 k>0 且 k≠2 时,A=(-∞,4)∪(k+ 当 k=2 时,A=(-∞,4)∪(4,+∞); 当 k<0 时,A=(k+

4 ,+∞); k

4 ,4). k

(2)由(1)知:当 k≥0 时,集合 B 中的元素的个数无限; 当 k<0 时,集合 B 中的元素的个数有限,此时集合 B 为有限集. 因为 k+

4 ≤-4,当且仅当 k=-2 时取等号,所以当 k=-2 时,集合 B 的元素个数最少.此时 A=(-4,4),故集 k

合 B={-3,-2,-1,0,1,2,3}. 20.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时: (1)充分利用条件不论α 、β 为何实数,恒有 f(sinα )≥0,f(2+cosβ )≤0.注意分析 sinα 、2+cosβ 的 范围,利用夹逼的办法即可获得问题的解答; (2) 首先利用 的结论对问题进行化简化为只有参数 c 的函数, (1) 再结合条件不论β 为何实数, 恒有 f(2+cos β )≤0,即可获得问题的解答; (3)首先对函数进行化简配方,然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解 答. 【解析】(1)∵|sinα |≤1 且 f(sinα )≥0 恒成立,可得 f(1)≥0. 又∵1≤2+cosβ ≤3 且 f(2+cosβ )≤0 恒成立,可得 f(1)≤0, ∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1. (2)∵b+c=-1,∴b=-1-c, 2 ∴f(x)=x -(1+c)x+c=(x-1)(x-c). 又∵1≤2+cosβ ≤3 且 f(2+cosβ )≤0 恒成立, ∴x-c≤0,即 c≥x 恒成立. ∴c≥3. (3)∵f(sinα )=sin α -(1+c)sinα +c=(sinα ∵
2

1? c ≥2 2

1? c 2 1? c 2 ) +c-( ), 2 2

∴当 sinα =-1 时,f(sinα )的最大值为 1-b+c. 由 1-b+c=8 与 b +c=-1 联立, 可得 b=-4,c=3.即 b=-4,c=3.
7

21.【解析】(1)由 a1=2,得 a2=a1 -a1+1=3, 2 由 a2=3,得 a3=a2 -2a2+1=4, 2 由 a3=4,得 a4=a3 -3a3+1=5, 由此猜想{an}的一个通项公式:an=n+1(n≥1). (2)(i)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立, ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak≥k+2,那么 ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5>k+3. 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1>(k+1)+2. 由①和②得对于所有 n≥1,有 an≥n+2. (ii)由 an+1=an(an-n)+1 及(ⅰ),对 k≥2,有 ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1 ?迭代法 k-1 k-2 k-1 ak≥2 a1+2 +?+2+1=2 (a1+1)-1 于是

2

1 1 1 ? g k ?1 , k ? 2 1 ? a k 1 ? a1 2

1 1 1 n 1 1 n 1 2 1 2 2 1 ? ? ? ? 1 ? a 1 ? a 1 ? a ? 2k?1 1 ? a ? 2k?1 ? 1 ? a (1 ? 2n ) ? 1 ? a ? 1 ? 3 ? 2 . k ?1 k 1 1 k ?2 1 k ?1 1 1

n

8


2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 第五章 数 列(单元总结与测试)

2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 第五章 数 列(单元总结与测试)_数学_高中...10.【解题指南】令第 n 年的年产量为 an,根据题意先求 an,再解不等式 a...

2014届高考数学一轮复习 第6章《不等式与推理证明》(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014高考数学一轮复习 第6章不等式与推理证明(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学(理)一轮复习知识...

2015高考数学(人教版,文科)一轮单元评估检测:第六章 不等式、推理与证明(含2014年模拟题,含答案解析)]

2015高考数学(人教版,文科)一轮单元评估检测:第六章 不等式推理与证明(2014年模拟题,含答案解析)]_高中教育_教育专区。2015高考数学(人教版,文科)一轮单元...

2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第6章 不等式与推理证明 第1课时 Word版含解析]

2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第6章 不等式与推理证明 第1课时 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第6章...

2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第6章 不等式与推理证明 第6课时 Word版含解析]

2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第6章 不等式与推理证明 第6课时 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第6章...

第六章 不等式、推理与证明(单元总结与测试)

第六章 不等式推理与证明(单元总结与测试)_数学_高中教育_教育专区。第六章...面积为___,z 的最大值为___. 14.已知 a>0,b>0,则 1 1 ? ? 2 ab...

2014数学文补教案—第六章不等式与推理证明

2014数学文补教案—第六章不等式推理证明_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...【重点关注】不等式推理与证明的学习应立足基础,重在理解,加强训练,学会建模,...

2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 第一章集合与常用逻辑用语(单元总结与测试)

2014 年高考一轮复习考点热身训练: 第一章集合与常用逻辑用语(单元总结与测试)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个...

高考数学(文)名师讲义:第6章《不等式、推理与证明》(1)【含解析】

第六章 不等式推理与证明 近三年广东高考中对本章考点考查的情况 年份 题...在复习不等式的解法时, 加强等价转化思想的训练复习. 解 不等式的过程是一...

更多相关标签