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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.7 函数的图象 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念 与基本初等函数 I 2.7 函数的图象 理

1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周 期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

关于x轴对称 ①y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=-f(x); 关于y轴对称 ②y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=f(-x); 关于原点对称 ③y=f(x) ― ― → y=-f(-x); 关于y=x对称 x ④y=a (a>0 且 a≠1)― ― ― ― ― ― ― →y=logax(a>0 且 a≠1). 保留x轴上方图象 ⑤y=f(x)将 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=|f(x)|. x― 轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象,并作其 ⑥y=f(x) 关于 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(|x|). y 轴对称的图象 (3)伸缩变换

a>1,横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变
①y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 0<a<1,横坐标伸长为原来的 1 倍,纵坐标不变
a a

y=f(ax).

1

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变 ②y=f(x)0<a<1,纵坐标缩短为原来的 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → a倍,横坐标不变 y=af(x).
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同.( × (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同.( × ) (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.( × ) )

(4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x), 则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. ( √ ) (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.( × )

? π π? 1.函数 f(x)=2x-4sin x,x∈?- , ?的图象大致是________(填序号). ? 2 2?

答案 ④ 解析 因为函数 f(x)是奇函数,所以排除①、②. π ? ? π π ?? 令 f′(x)=2-4cos x=0?x∈?-π ,π ??, f′(x)=2-4cos x?x∈?- , ??, ? ? ?? 得 x=± ,

?

?

2

2 ??

?

?

2

2 ??

3

所以④正确. 2.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于 y 轴对称,则 f(x) 的 解 析 式 为
x

________________________________________________________________________. 答案 f(x)=e
-x-1

解析 与 y=e 图象关于 y 轴对称的函数为 y=e .依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得

x

-x

y=e-x 的图象.∴f(x)的图象由 y=e-x 的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x
-1

.
|ln x|

3.已知函数 f(x)=e

,则函数 y=f(x+1)的大致图象为________(填序号).

2

答案 ④ 解析 当 x≥1 时,f(x)=e =x,其图象为一条直线;当 0<x<1 时,f(x)=e
ln x -ln x

1 = .函数 y

x

=f(x+1)的图象为函数 y=f(x)图象向左平移 1 个单位长度后得到的.故④正确. 4.若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (0,+∞) 解析

由题意 a=|x|+x,
?2x,x≥0, ? 令 y=|x|+x=? ?0,x<0, ?

图象如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解则 a>0.

? ?log2x?x>0?, 5.已知函数 f(x)=? x ?2 ?x≤0?, ?

且关于 x 的方程 f(x)-a=0 有两个实根,则实数 a

的范围是________. 答案 (0,1] 解析 当 x≤0 时,0<2 ≤1,所以由图象可知要使方程 f(x) -a=0 有两个实根, 即函数 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交点, 所以由图象可知 0<a≤1.
x

题型一 作函数的图象 例 1 作出下列函数的图象: (1)y=|lg x|;
3

(2)y=

x+2 ; x-1
2

(3)y=x -2|x|-1.
? ?lg x,x≥1, 解 (1)y=|lg x|=? ?-lg x,0<x<1, ?

作出图象如图 1.

(2)因 y=1+ 即得 y=

3

x-1

3 ,先作出 y= 的图象,将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,

x

x+2 的图象,如图 2. x-1

? ?x -2x-1 (3)y=? 2 ?x +2x-1 ?

2

?x≥0?, ?x<0?.

图象如图 3.

引申探究 作函数 y=|x -2x-1|的图象.
2

?x2-2x-1 ?x≥1+ 2或x≤1- 2?, 解 y=? 2 ?-x +2x+1 ?1- 2<x<1+ 2?,

如下图:

思维升华 (1)常见的几种函数图象如二次函数、 反比例函数、 指数函数、 对数函数、 幂函数、 形如 y=x+ (m>0)的函数是图象变换的基础; (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律,可以帮助我们简化作图过程. 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|·(x+1);

m x

4

(2)y=

x+2 . x+3

解 (1)当 x≥2,即 x-2≥0 时,

y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x- )2- ;
当 x<2,即 x-2<0 时,

1 2

9 4

y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2
1 2 9 =-(x- ) + . 2 4 1 9 ? ??x-2? -4,x≥2, ∴y=? 1 9 ?-?x-2? +4,x<2. ?
2 2

这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).

(2)y=

x+2 1 1 =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个单位,再向上平移 1 个单 x+3 x+3 x

位得到,如下图所示.

题型二 识图与辨图 例 2 (1)(2015·课标全国Ⅱ改编)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为________.(填 序号)

5

(2) 已知定义在区间 [0,2] 上的函数 y = f(x) 的图象如图所示,则 y =- f(2 - x) 的图象为 ________.(填序号)

答案 (1)② (2)② π 解析 (1)当点 P 沿着边 BC 运动,即 0≤x≤ 时, 4 在 Rt△POB 中,PB=OBtan∠POB=tan x, 在 Rt△PAB 中,PA= AB +PB = 4+tan x,则 f(x)=PA+PB= 4+tan x+tan x,它不是 关于 x 的一次函数,图象不是线段,故排除①和③; 当点 P 与点 C 重合,即 x= π ?π ? 时,由上得 f? ?= 4 ?4? 4+tan
2 2 2 2 2

π π +tan = 5+1,又当点 P 4 4

与边 CD 的中点重合,即 x=

π 时,△PAO 与△PBO 是全等的腰长为 1 的等腰直角三角形,故 2

f? ?=PA+PB= 2+ 2=2 2,知 f? ?<f? ?,故又可排除④.综上,故②正确. 2 2 4

?π ? ? ?

?π ? ? ?

?π ? ? ?

6

(2)方法一 由 y=f(x)的图象知,
?x?0≤x≤1?, ? f(x)=? ?1?1<x≤2?. ?

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
? ?1?0≤x≤1?, 所以 f(2-x)=? ?2-x?1<x≤2?, ? ?-1?0≤x≤1?, ? 故 y=-f(2-x)=? ? ?x-2?1<x≤2?.

图象应为②.

方法二 当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1; 当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1. 观察各图,可知②正确. 思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象. (1)现有四个函数:①y=xsin x;②y=xcos x;③y=x|cos x|;④y=x·2
x

的图象 ( 部分 ) 如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号正确排序是 ____________.

(2)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边 为射线 OP, 过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M, 将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x), 则 y=f(x)在[0,π ]的图象大致为________(填序号).

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答案 (1)①④②③ (2)③ 解析 (1)由于函数 y=xsin x 是偶函数,由图象知,函数①对应第一个图象;函数 y=xcos

x 是奇函数,且当 x=π 时,y=-π <0,故函数②对应第三个图象;函数 y=x|cos x|为奇
函数,故函数③与第四个图象对应;函数 y=x·2 为非奇非偶函数,与第二个图象对应.综 上可知,正确排序为①④②③. π ? π? (2)由题图可知:当 x= 时,OP⊥OA,此时 f(x)=0,排除①,④;当 x∈?0, ?时,OM= 2? 2 ? cos x,设点 M 到直线 OP 的距离为 d,则 =sin x,即 d=OMsin x=sin x·cos x,∴f(x) 1 1 =sin xcos x= sin 2x≤ ,排除②,故③正确. 2 2 题型三 函数图象的应用 例 3 (1)若方程 x -|x|+a=1 有四个不同的实数解,则 a 的取值范围是________.
?sin π x,0≤x≤1, ? (2)已知函数 f(x)=? ? ?log2 015x,x>1.
2

x

d OM

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),

则 a+b+c 的取值范围是____________. 5 答案 (1)(1, ) 4 (2)(2,2 016)
2

解析 (1)方程解的个数可转化为函数 y=x -|x|的图象与直线 y=1-a 交点的个数,如图:

1 5 易知- <1-a<0,∴1<a< . 4 4 (2)作出函数的图象,直线 y=m 交函数图象如图,不妨设 a<b<c,由正弦曲线的对称性,可 1 得 A(a,m)与 B(b,m)关于直线 x= 对称,因此 a+b=1,当直线 y=m=1 时,由 log2 015x= 2 1, 解得 x=2 015.若满足 f(a)=f(b)=f(c), 且 a, b, c 互不相等, 由 a<b<c 可得 1<c<2 015, 因此可得 2<a+b+c<2 016,即 a+b+c∈(2,2 016).
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思维升华

(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函

数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注 意性质与图象特征的对应法则. (2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题, 方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x) 与 g(x)图象交点的横坐标; 不等式 f(x)<g(x)的解集是函数 f(x)的图象位于 g(x)图象下方的 点的横坐标的集合,体现了数形结合思想. 已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集; (5)求当 x∈[1,5)时函数的值域. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4. (2)f(x)=x|4-x|
? ?x?x-4?=?x-2? -4,x≥4, =? 2 ?-x?x-4?=-?x-2? +4,x<4. ?
2

f(x)的图象如图所示.
(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]. (4)由图象可知,f(x)>0 的解集为{x|0<x<4 或 x>4}. (5)∵f(5)=5>4, ∴由图象知,函数在[1,5)上的值域为[0,5).

3.高考中的函数图象及应用问题 一、已知函数解析式确定函数图象 典例 函数 f(x)=2x+sin x 的部分图象可能是________.

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思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图象. 解析 方法一 ∵f(-x)=-2x-sin x=-f(x), ∴f(x)为奇函数,排除②、③, π 又 0<x< 时,f(x)>0,排除④, 2 故①正确. 方法二 ∵f′(x)=2+cos x>0, ∴f(x)为增函数,故①正确. 答案 ① 温馨提醒 (1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想. (2)对于给出图象的选择性题目,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 二、函数图象的变换问题 典例 若函数 y=f(x)的图象如图所示, 则函数 y=-f(x+1)的图象大致为________. (填序 号)

思维点拨 从 y=f(x)的图象可先得到 y=-f(x)的图象,再得 y=-f(x+1)的图象. 解析 要想由 y=f(x)的图象得到 y=-f(x+1)的图象,需要先将 y=f(x)的图象关于 x 轴 对称得到 y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到 y=-f(x+1)的图象,根据上述 步骤可知③正确. 答案 ③ 温馨提醒 (1)对图象的变换问题,从 f(x)到 f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先进 行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别. (2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、函数图象的应用 典例 (1)已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列有关 f(x)的性质正确的是________. ①f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞); ②f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1);
10

③f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1); ④f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0). (2)设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实 数 a 的取值范围是________. 思维点拨 (1)画出函数 f(x)的图象观察. (2)利用函数 f(x), g(x)图象的位置确定 a 的范围. 解析 (1)将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=
? ?x -2x,x≥0, ? 2 ?-x -2x,x<0, ?
2

画出函数 f(x)的图象,如图,观察得到,f(x)为奇函

数,递减区间是(-1,1). (2)

如图, 作出函数 f(x)=|x+a|与 g(x)=x-1 的图象, 观察图象可知: 当且仅当-a≤1,即 a≥-1 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,因此 a 的取值范围是[-1,+∞). 答案 (1)③ (2)[-1,+∞) 温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想, 数形结合的思想包括“以形助数”或“以数 辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变 抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质. (2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况, 解题时可对方程或不等式适当变形, 选择合适 的函数进行作图.

[方法与技巧] 1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状: (1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等;(2)可通过函数图 象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求 解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究 含参数的方程或不等式解集的情况.
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[失误与防范] 1.函数图象平移的方向和大小: 函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言, 如从 f(-2x)的图象到 f(-2x+1)的图象是向 1 右平移 个单位. 2 2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运用.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.函数 y=2
1-x

的大致图象为________.

答案 ① 解析 y=2
1-x

1 ?1?x-1 ?1?x-1 =? ? ,因为 0< <1,所以 y=? ? 为减函数,取 x=0,则 y=2,故①正确. 2 ?2? ?2?
x- 3

2. 为了得到函数 y=2

-1 的图象, 只需把函数 y=2 的图象上所有的点向______平移______

x

个单位长度,再向______平移______个单位长度. 答案 右 3 下 解析 1

y=2x

向右平移3个单位长度 向下平移1个单位长度 x-3 ― ― ― ― ― ― → y=2x-3 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=2 -1. 则下列函数的图象正确的为________.(填序号)

?-2x?-1≤x≤0?, 3.已知 f(x)=? ? x?0<x≤1?,

答案 ①②③
12

解析 先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象, 再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位 长度即可得到 y=f(x-1)的图象,因此①正确; 作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=f(-x)的图象,因此②正确;

y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重合,③正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0<x≤1 时,y=f(|x|)= x,相应这部
分图象不是一条线段,因此④不正确. 综上所述,①②③正确. 4.已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数

k 的取值范围是__________.
1 答案 ( ,1) 2 解析 先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图象,如图所示,当直线 g(x)=kx 与直线 AB 平行时 1 斜率为 1,当直线 g(x)=kx 过 A 点时斜率为 ,故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的 2 1 范围为( ,1). 2

5 .(2015·北京改编 ) 如图,函数 f(x) 的图象为折线 ACB ,则不等式

f(x)≥log2(x+1)的解集是__________.
答案 {x|-1<x≤1} 解析 令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)的图象如图.

由?

?x+y=2, ? ? ?y=log2?x+1?,

得?

?x=1, ? ? ?y=1.

∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. 6.已知函数 f(x)的图象如图所示,则函数 g ? x ?=log ________. 答案 (2,8] 解析 当 f(x)>0 时,
2

f ? x ? 的定义域是

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函数 g ? x ?=log

2

f ? x ? 有意义,由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0 的 x∈(2,8].
x

7.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0), 则 f(x)的最大值为________________________________. 答案 6 解析

f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.令 x+2=10-x,得 x=4.
当 x=4 时,f(x)取最大值,

f(4)=6.
? ?lg|x|, x≠0, 8.已知定义在 R 上的函数 f(x)=? ?1, x=0, ?

关于 x 的方程 f(x)=c(c 为常数)恰

有三个不同的实数根 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=________. 答案 0 解析 方程 f(x)=c 有三个不同的实数根等价于 y=f(x)与 y=c 的图象有三个交点, 画出函 数 f(x)的图象(图略),易知 c=1,且方程 f(x)=c 的一根为 0,令 lg|x|=1,解得 x=-10 或 10,故方程 f(x)=c 的另两根为-10 和 10,∴x1+x2+x3=0. 9.已知函数 f(x)= . 1+x

x

(1)画出 f(x)的草图; (2)指出 f(x)的单调区间.

x 1 1 解 (1)f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=- 1+x x+1 x
的图象向左平移 1 个单位后,再向上平移 1 个单位得到的,图象如图所 示. (2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调递增区间: (-∞,-1),(-1,+∞). 10.已知函数 f(x)=|x -4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. 解
??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, ? f(x)=? 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?, ?
2 2

作出函数图象如图.
14

(1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞);函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象, 使两函数图象有四个不同的交点(如图). 由 图知 0<m<1, ∴M={m|0<m<1}. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 11.函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=log 1 f ? x ? 的图象大致是________.
2

答案 ③ 解析 由函数 y=f(x)的图象知,当 x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以 log 1 f ? x ? ? 0.
2

又函数 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数, 所以 y=log 1 f ? x ? 在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合各图象知,③正确.
2

ax+b 12.(2015·安徽改编)函数 f(x)= 2的图象如图所示,则下列 ?x+c?
结论成立的是________. ①a>0,b>0,c<0; ②a<0,b>0,c>0;

15

③a<0,b>0,c<0; ④a<0,b<0,c<0. 答案 ③ 解析 函数定义域为{x|x≠-c},结合图象知-c>0,∴c<0. 令 x=0,得 f(0)= 2,又由图象知 f(0)>0,∴b>0. 令 f(x)=0,得 x=- ,结合图象知- >0,∴a<0. 13.设函数 y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(-∞,0)上是 减 函 数 , 且 图 象 过 点 (1,0) , 则 不 等 式 (x - 1)f(x)≤0 ________________________________. 答案 (-∞,0]∪(1,2] 解析 y=f(x+1)向右平移 1 个单位得到 y=f(x)的图象,由已知可得 f(x)的图象的对称轴 为 x=1,过定点(2,0),且函数在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增,则 f(x)的大致图 象如图所示. 的 解 集 为

b c

b a

b a

不等式(x- 1)f(x)≤0 可化为? (-∞,0]∪(1,2].

?x>1, ? ?f?x?≤0 ?

或?

?x<1, ? ?f?x?≥0. ?

由图可知符合条件的解集为

1 2 14.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x -2x+ |.若函数 2

y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是________.
1 答案 (0, ) 2 1 2 解析 先画出 y=x -2x+ 在区间[0,3)上的图象,再将 x 轴下方的图象对称到 x 轴上方, 2 利用周期为 3,将图象平移至区间[-3,4]内,即得 f(x)在区间[-3,4]上的图象如图所示, 其中 f(-3)=f(0)=f(3)=0.5,f(-2)=f(1)=f(4)=0.5. 函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同)等价于 y=f(x)的图象与直线 y=a

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? 1? 有 10 个不同的交点,由图象可得 a∈?0, ?. ? 2?

1

15.给出下列命题:①在区间(0,+∞)上,函数 y=x , y=x 2,y=(x-1) ,y=x 中有 三个是增函数;②若 logm3<logn3<0,则 0<n<m<1;③若函数 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图 象关于点(1,0)对称;④若函数 f(x)=3 -2x-3,则方程 f(x)=0 有两个实数根,其中正确 的命题是________. 答案 ②③④ 解析 对于①,在区间(0,+∞)上,只有 y=x , y=x 是增函数,所以①错误.对于②,由 logm3<logn3<0,可得 1 1 < <0,即 log3n<log3m<0,所以 0<n<m<1,所以②正确.易知③ log3m log3n
x x x x

-1

2

3

1 2

3

正确.对于④,方程 f(x)=0 即为 3 -2x-3=0,变形得 3 =2x+3,令 y1=3 ,y2=2x+3, 在同一坐标系中作出这两个函数的图象,如图.

由图象可知,两个函数图象有两个交点,所以④正确.

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