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江西省临川区第一中学2016届高三数学最后一卷试题文(新)


江西省临川一中 2016 届高考模拟考试 数学(文科)试题
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1. 若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称, 且 z1 ? 2 ? i , 则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第 三象限 2. 将分针拨快 10 分钟,则分钟转过的弧度数是( ) A.

z1

在复平面内对应的点在 ( z2
D.第四象限 D. ?



? 3

B.

? 6

C. ?

?
6

?
3


3.“平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点 P 的轨迹为椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知 -9,a1,a2,- 1四个实数成等差数列, -9,b1,b2,b3,- 1 五个实数 成等比数列,则 b2 (a2-a1 )=( A.8 B.-8 )

C.±8

D.

9 8


5.执行如图所示的程序框图, 则输出的 S 值为 ( ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) ( A. 6 B. 9 C. 10 D. 13

6. 设函数 f ( x) ? cos (? x ? ?)(? ? 0) 的图像向右平移 最小值为( A.4 ) B. 6 C. 8

? , 与原图像重合, 则? 的 4

D.16
正视图 侧视图

7.在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA=AB.该四棱 锥被一平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为 1 1 A. B. 2 3 1 1 C. D. 4 5

俯视图

、 c分 别 是 内 角 A、 B 、 C 所 对 的 边 , 若 S?ABC ? 8. 在 ?ABC 中 , a、 b
? 且? S?ABC 表示?ABC的面积), ? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ??? ? ? ??? ? ? ? BC ? 0, 则 ?ABC 的 形 状 是 AB AC ? ?
B.等边三角形 C.直角三角形

a2 ? b 2 ? c 4
(

2

(其中 )

A.有一个角为 30 ? 的等腰三角形

D.等腰直角三角形

1

?y ? 5 ? 9.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 , 则 z ? | x | ?2 y 的最大值是 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.10 B.11 C.13 D.14 10.已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 60? , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最 大值为 18 3 ,则球 O 的体积为( A. 81? B. 128? ) C. 144 ? D. 288?

x2 ? y 2 ? 1的焦点为 F1 、 F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一点 M ,过 M 作垂直于 A1 A2 的直线交 11. 已知椭圆 4
椭圆于 P ,则使得 PF1 ? PF2 ? 0 的 M 点的概率为 (
? ?



6 A. 3

B.

2 6 3

2 C. 3

D. 2 )

1

12.若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : f ( x) ? x ? 1 ? A. -1 B.

1 没有公共点,则实数 k 的最大值为( ex
D. 3

1 2

C.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. 在 ?ABC 中,若 AB ? (2, ?1), BC ? (?1,1) ,则 cos ?ABC 的值等于 14. 若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且数列 15. 已知双曲线 x ?
2

??? ?

??? ?

? S ? 也为等差数列,则 a
n

16

的值为



y2 ? 1的右焦点为 F, 过点 F 且平行 于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 P, 4
.

???? ? ???? ? ??? ? | PM | ? ? M 在直线 PF 上,且满足 OM ? PF ? 0 ,则 ??? | PF |

16. 若存在实数 x0 和正实数 ?x ,使得函数 f ( x) 满足 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 4?x ,则称函数 f ( x) 为“可 翻倍函数”,则下列四个函数 ① f ( x) ?

x;

② f ( x) ? x ? 2x, x ?[0,3] ;
2

③ f ( x) ? 4sin x ; 其中为“可翻倍函数”的有

④ f ( x) ? e x ? ln x . (填出所有正确结论的序号)

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分)某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
2

?
2

) 在某一个周期

?x ? ?

0

x
A sin(?x ? ? )
0

? 2 ? 3
5

?

3? 2 5? 6
-5

2?

0

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图象。若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 (

5? ,0) ,求 ? 的最小值. 12

18.(本小题满分 12 分)某校高三文科 500 名学生参加了 5 月份的模拟考试,学校为了了解高三文科学生 的数学、 语文情况, 利用随机数表法从中抽取 100 名学生的成绩进行统计分析, 抽出的 100 名学生的数学、 语文成绩如下表.

(Ⅰ)将学生编号为:001,002,003,??,499,500,若从第 5 行第 5 列的数开始右读,请你依次写 出最先抽出的 5 个人的编号(下面是摘自随机用表的第 4 行至第 7 行) 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 (Ⅱ)若数学的优秀率为 35%,求 m,n 的值. (Ⅲ)在语文成绩为良的学生中,已知 m≥13,n≥11,求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率. 19.(本小题满分 12 分)已知直角三角形 ABC 中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,点 D, E 分别是边 AC , AB

上的动点(不含 A 点) ,且满足

AD 3 (图 1) .将 ?ADE 沿 DE 折起,使得平面 ADE ⊥平面 BCDE , ? AE 2

连结 AB 、 AC (图 2) . (I)求证: AD ? 平面 BCDE ; (II)求四棱锥 A—BCDE 体积的最大值.

A C D B E 图1 A A E D B 2 图
3

C

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , M 为抛物线 C 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为其对称轴上一点,直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时,△MON 的面积为 18. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)记 t ?

1 1 ? ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点” ,试求出所有“稳定点” , AM AN

若没有,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? mex ? x ? 2 .(其中 e 为自然对数的底数). (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) 的两个零点为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求 y ? (e 2 ? e 1 )(
x x

1 ? m) 的值域. e ? e x1
x2

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图,直线 PQ 与⊙O 相切于点 A,AB 是⊙O 的弦,∠PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于点 Q,若 AQ=6,AC=5. 2 2 (Ⅰ)求证:QC ﹣QA =BC ? QC; (Ⅱ)求弦 AB 的长. 23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程:

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) 已知直线 l 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的 1 ? y? 3? t ? 2 ?
正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ?? ? (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若 P?x, y ? 是直线 l 与圆 ? ? 4 sin ?? ?

? ?

??

?. 6?

? ?

??

? 的公共点,求 3x ? y 的取值. 6?
*

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x ? m ? x , m ? N ,存在实数 x 使 f ( x) ? 2 成立. (1)求实数 m 的值; (2)若 ? , ? ? 1 , f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ,求证:

4

?

?

1

?

?

9 . 2

临川一中 2015~2016 学年度下学期高三模拟考试
4

一、 题号 答案 二、 13.

高三数学(文科)试卷参考答案 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 B 2 D 3 B 4 B 5 C 6 C 7 B 8 D 9 D 10 D 11 A 12 C

填空题(每小题 5 分,共 20 分)

3 10 10

14. 31

15.1/2

16.①④

三、解答题(共 70 分) 17. 解: (Ⅰ)据表中已知数据,得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 5 sin( 2 x ?

?
6

,且函数解析式为 f ( x) ? 5 sin( 2 x ?

?
6

)。

?
6

) ,得 g ( x) ? 5 sin( 2 x ? 2? ?

?
6

) ,

因为 f ( x) ? sin x 的图象的对称中心为 (k? ,0)(k ? Z )

k? ? ? ? ? (k ? Z ) 。 6 2 12 5? k? ? 5? ,0) 成中心对称,令 ? ?? ? 由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( (k ?Z ) , 12 2 12 12 ? k? ? ? (k ? Z ) . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 . 解得 ? ? 6 2 3
令 2 x ? 2? ?

?

? k? (k ? Z ) ,解得 x ?

18.解: (I)编号依次为:385,482,462,231,309. ?????????????3 分 (II)由

8? m?9 ? 0.35 ,得 m=18, 100

因为 8+9+8+18+n+9+9+11+11=100, 得 n=17. ???????????????5 分 (III)由题意 m+n=35, 且 m ? 13, n ? 11 ,所以满足条件的(m,n)有 (13,22) 、 (14,21) 、 (15,20) 、 (16,19) 、 (17,18) 、 (18,17) 、 (19, 16) 、 (20,15) 、 (21,14) 、 (22,13) 、 (23,12) 、 (24,11)共 12 种,且每组出现都是等可能的. ???8 分 记:“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件有( 13,22 ) 、 ( 14,21 ) 、 ( 15,20 ) 、 ( 16,19 ) 、 ( 17,18 )共 5 种,所以

5 .????????????12 分 12 19. (I)证明:∵直角三角形 ABC 中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,
P(M)=
∴∠BAC=30°????????????1 分 ∵

AD 3 ? =cos30°=cos∠BAC,∴∠ADE=90°,即 ED⊥AC 于 D,即 AD⊥DE,?3 分 AE 2

∵平面 ADE ⊥平面 BCDE ,且 平面 ? 平面 ? DE , AD ? 平面ADE , ∴ AD ? 平面 BCDE ??????????????5 分 (II)解:设 DE=x ,则由(I)可得, AE=2x , AD= 3x , ∵AC=6,BC=3,∴ S四边形BCDE =S?ABC ? S?ADE ?

1 3 3 ? 3 3 ? 3x 2 ? 9 ? x 2 ? ?6 分 ? 2 2

?

?

A

D E B

5

C

∴ V四棱柱A ?BCDE = S四边形BCDE ? AD= ?

1 3

1 3

3 1 3 3 ?7 分 9 ? x 2 ? ? 3x ? ? 9 x ? x3 ? , 0 ? x ? ? 2 2 2

令 f ( x) ? 9 x ? x 3 ( 0 ? x ?

3 3 ) ,则 f '( x) ? 9 ? 3x2 ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 3 , 2
? ? ? 3 3? ? 上单调递减, 2 ?

∴ f ( x ) 在区间 0, 3 ? 上单调递增,在区间 ? 3,

?

?

∴当 DE= 3 ,即 AE=2 3 , AD=3 时,四棱锥 A—BCDE 体积最大。???11 分 此时 V四棱锥A— BCDE ? 3 3 ????12 分

1 1 p p2 20. (Ⅰ)由题意, S△MON ? ? | OA | ? | MN |? ? ? 2 p ? ? 18 , ∴ p ? 6 , 2 2 2 2
抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 12x . (Ⅱ)设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,设直线 MN 的方程为 x ? my ? a ,

? x ? my ? a 联立 ? 2 得 y 2 ? 12my ? 12a ? 0 , ? ? 144m2 ? 48a ? 0 , y ? 12 x ?
由对称性,不妨设 m ? 0 , (ⅰ) a ? 0 时, ∵ y1 y2 ? ?12a ? 0 , ∴ y1,y2 同号,又 t ?

y1 ? y2 ? 12m , y1 y2 ? ?12a ,

1 1 1 1 ? ? ? , 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |

∴t 2 ?

( y ? y2 ) 2 1 1 144m2 1 ? 1 ? g 1 ? g ? 2 ?1 ? ?, 2 2 2 2 1 ? m ( y1 y2 ) 1 ? m 144a a ? 1 ? m2 ?

不论 a 取何值, t 均与 m 有关, 即 a ? 0 时, A 不是“稳定点” ; (ⅱ) a ? 0 时,∵ y1 y2 ? ?12a ? 0 , ∴ y1,y2 异号,又 t ?

1 1 1 1 ? ? ? , 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |

1 144m2 ? 48a 1 ? ? a ?1? ? ? ? ( y ? y ) ? 4 y y 1 2 2 ( y ? y ) 1 1 1 2 1 2 2 1 2 3 1 ? m 144 a ? ? ∴t ? g ? 2 ?1 ? ?, 1 ? m2 ( y1 y2 )2 1 ? m 2 ( y1 y2 ) 2 a ? 1 ? m2 ? ? ?
2

2

?

?

∴仅当 3 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 3 时, t 与 m 无关.
21.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 0 得 me ? x ? 2 ? 0 ,即有 m ?
x

1

x?2 ex

令 u ( x) ?
/

x?2 ?x ?1 / , 则 u ( x) ? x e ex
/

令 u ( x) ? 0 ? x ? ?1 , u ( x) ? 0 ? x ? ?1

6

∴ u ( x) 在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1, ??) 上单调递减。 ∴ u( x)max ? u(?1) ? e ,∴ m ? e (Ⅱ)由题意, me 1 ? x1 ? 2 ? 0 , me 2 ? x2 ? 2 ? 0
x x

y?

e x2 ? e x1 e x2 ? x1 ? 1 e x2 ? e x1 x2 x1 ? ? ( x ? x ) ? ? ( x 2 ? x1 ) ? m ( e ? e ) 2 1 e x2 ? e x1 e x2 ? x1 ? 1 e x2 ? e x1
g (t ) ? et ? 1 ? t (t ? 0) et ? 1

令 x2 ? x1 ? t (t ? 0) ,

又 g (t ) ?
/

? e 2t ? 1 ?0 (e t ? 1) 2

∴ g (t ) 在 (0,??) 上单调递减

∴ g (t ) ? g (0) ? 0 ∴ g (t ) ? (??,0) ∴ y ? (e 2 ? e 1 )(
x x

1 ? m) 的值域为 (??,0) e ? e x1
x2
2 2

22、解: (Ⅰ)证明:∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴由切割线定理得:QA =QB ? QC=(QC﹣BC) ? QC=QC ﹣BC ? QC. 2 2 ∴QC ﹣QA =BC ? QC. (Ⅱ)解:∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴∠PAC=∠CBA,∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA,∴AC=BC=5 2 又知 AQ=6,由(Ⅰ) 可知 QA =QB ? QC=(QC﹣BC) ? QC,∴QC=9 由∠QAB=∠ACQ,知△QAB∽△QCA,∴

10 AB QA ? ,∴ AB ? . 3 AC QC
?

23、 解: (1) 因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) , 所以 ? 2 ? 4 ? sin(? ? ) ? 4 ? ( sin ? ? cos ? ) , 6 6 2 2 又

?

3

1

? 2 ? x2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 所 以 x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 2 x , 所 以 圆 C 的 普 通 方 程

x 2 ? y 2 ?2 x ? 2 3 y ? 0
(2)直线 l 的参数方程化成普通方程为: x ? 3 y ? 2 . 由?

? ?x ? 3 y ? 2 ,解得 P 1 (?1 ? 3, 3 ? 1) , P 2 (?1 ? 3, 3 ? 1) , 2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ? 4

∴ 3x ? y 是 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? 2 , 或 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? ?2 . 24、 (1)因为 x ? m ? x ? ( x ? m) ? x ? m ,

7

要使不等式 x ? m ? x ? 2 有解,则 m ? 2 ,解得 ?2 ? m ? 2 . 因为 m ? N * ,所以 m ? 1 . (2)因为 ? , ? ? 1 ,所以 f (? ) ? f ( ? ) ? 2? ? 1 ? 2? ? 1 ,即 ? ? ? ? 2 .

所以

4

?

?

1 4 1 1 4? ? 1 4? ? 9 ? ( ? ) ? (5 ? ? ) ? (5 ? 2 ? )? . ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 1
4?

(当且仅当

?

?

? 4 2 时,即 ? ? , ? ? 等号成立) 3 3 ?

8


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