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2005年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含解答)


2005 年全国高中数学联赛天津赛区初赛
(时间:100 分钟;满分:120 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.在△ABC 中,如果 a2+b2=6c2,则(cotA+cotB) tanC 的值等于( (A) )

1 5

(B)

2 5

(C

)

1 7

(D)

2 7

2.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数.如果对于任意的 a、b∈R 都满足 f(ab)= af(b)+bf(a),则函数 f(x)( (A)是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 ) (B)是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数

3.设由正整数有序数对(x,y)组成如下数列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2), (3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,按 x+y 的值由小到大的顺序排列,当 x+y 的值相等时,按 x 的值由小到大的顺序排列.则有序数对(m,n)(m,n 均为正整数)在该数 列中的位置是( ) (B)第 2m+n-2 位 (D)第

(A)第 2m+n-1 位 (C)第

(m ? n ? 1)(m ? n) ? m位 2

(m ? n ? 2)(m ? n ? 1) ? m位 2
D1 A1 B1 C1

4.如图 1,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、 AA1 的中点. 则平面 CEB1 与平面 D1FB1 所成二面角的平面角的正弦 值为( (A) )

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)1

F A

D E
图1

C B

5.将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入一排编号依次为 1, 2,3,4,5,6,7 的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.若文 件 A、B 必须放入相邻的抽屉内,文件 C、D 也必须放入相邻的抽屉 内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有( (A)60 (B)120 (C)240 )种 (D)480

6.设集合 M={a|a= 所有元素的和等于( )

x? y ,2x+2y=2t,其中 x、y、t、a 均为整数}.则集合 M 中的 t

(A)1

(B)4

(C)7

(D)8

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知定点 A(4, 7 ).若动点 P 的抛物线 y2=4x 上,且点 P 在 y 轴上的射影为点 M, 则|PA|-|PM|的最大值为_________________. 2. 已知函数 f(x)是定义在(-∞, 3]上的减函数, 且对于 x∈R, 2-sinx)≤f(a+1+cos2x) f(a 恒成立,则实数 a 的取值范围是_________________. 3.在数列{an}中,已知 a1=2,an+an+1=1(n∈N+).若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么, S2 003-2S2 004+S2 005 的值是_________________. 4.如图 2,菱形 ABCD 的边长为 1,∠ABC=120° , 若 E 为 BC 延长线上任意一点,AE 交 CD 于点 F,则向 量 BF 与 ED 和夹角的大小为_________________度. 5.如图 3(a),已知正方体八个顶点分别赋 值为 a,b,c,d,e,f,g,h,然后,将与每个 顶点相邻的正方体的三个顶点所赋值的算术平 均值 a , b , c , d , e , f , g , h 放在另 一个正方体的相应顶点处,如图 3(b).若 a =9,

A

D F B
图2

C
c d a h e
图3(b)

E
c b

d a h e
图3(a)

b

g f

g f

b =8, c =11, d =10, e =13, f =12, g
=15, h =14,则 a+g 的值为_________________. 6.已知二次函数 f(x)满足 f(-1)=0,且 x≤f(x)≤ 函数 f(x)的解析式为_________________.

1 2 (x +1)对一切实数 x 恒成立,那么, 2

三、(20 分) 已知函数 f(x)= 1 ?

1 . x

(1)是否存在实数 a、b(a<b),使得函数 f(x)的定义域和值域都是[a、b]?若存在,请求 出 a、b 的值;若不存在,请说明理由. (2)若存在实数 a、b(a<b),使得函数 f(x)的定义域是[a、b],值域是[ma、mb](m≠0),

求实数 m 的取值范围.

四、(20 分) 已知椭圆

y2 x2 + 2 =1(a>b>0),其长轴为 A1A,P 是椭圆上不同于点 A1、A 的一个动 b a2

点,直线 PA、PA1 分别与同一条准线 l 交于 M、M1 两点.试证明:以线段 MM1 为直径的圆 必经过椭圆个的一个定点.

五、(20 分) 若 P 是一个由数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成的 2n 位正整数,并同时满足如下 两个条件: (1)数字 1,2,?,n 在 P 中各出现两次; (2)每两个相同的数字 i(i=1,2,?,n)之间恰有 i 个数字. 此时,我们称这样的正整数 P 为“好数” .例如,当 n=3 时,P 可以是 312 132. 试确定满足条件的正整数 n 的值,并各写出一个相应的好数 P.

2005 年全国高中数学联赛天津赛区初赛参考答案

一、选择题: 1.B. 原式= =

sin 2 C c2 2c 2 2c 2 sin(A ? B) sin C 1 2ab · = · = ·2 = 2 = 2 ab a ? b 2 ? c 2 a ? b2 ? c2 6c ? c 2 sin A ? sin B cos C sin A ? sin B cos C

2 . 5

2.A. 由 f(-1)=-f(1)+f(-1)有 f(1)=0,而 f(1)=-2f(-1),∴f(-1)=0,∴f(-x)=-f(x) +xf(-1)=-f(x). 3.D. 按 x+y 的值分组,x+y=m+n 时为第 m+n-1 组,故该数列的前 m+n-2 组共有有 序数对

(m ? n ? 2)(m ? n ? 1) (个),而对于有序数对(m,n),当 x=m 时,为第 m+n-1 组 2

中的第 m 位,故有序数对(m,n)在该数列的第 4.C.

(m ? n ? 2)(m ? n ? 1) ? m 位. 2

延长 CE、D1F、DA 交于一点 G,设棱长为 1,可知 B1C= 2 ,B1G= 3 ,CG= 5 , 故 B1G⊥B1C; 同理, 1D1⊥B1G, B ∴∠CB1D1 即为所求二面角的平面角, 易求∠CB1D1=60° , 其正弦值为 5.C. 将 AB、CD、E 及两个空抽屉视为 5 个元素,全排列为 A55 .由于 AB、CD 的排列数均 为 A22 ,而两个空抽屉为相同元素,故共有

3 . 2

A55 ? A22 ? A22 =240 种. 2

6.D. 不妨设 x≤y,有 2t=2x+2y≤2y+2y=2y+1.则 t≤y+1.由 2x>0,得 2t=2x+2y>2y,则 t>y,∴y<t≤y+1.又知 x,y,t 均为整数,则 t=y+1,有 2y+1=2x+2y,故 x=y=t-1. 于是 a=

x? y 2 =2- ,这里 a、t∈Z,可得 t=±1,±2,则 a=0,1,3,4.故集 t t

合 M 中所有元素的和为 8. 二、填空题: 1.5. 联结 PM 并延长交准线于 N,则|PM|=|PN|-|MN|=|PF|-1,则|PA|-|PM|=|PA|-(|PF| -1)=(|PA|-|PF|)+1≤|AF|+1=4+1=5. 2. ?? 2 ,

? ? ?

1 ? 10 ? ?. 2 ? ?
?a 2 ? 3 ? sin x
2 2 ?a ? a ? 1 ? cos x ? sin x

由已知 a+1+cos2x≤a2-sinx≤3 对 x∈R 恒成立,即 ? R 恒成立,解不等式组可得. 3.3.

对 x∈

n ,S2004=1002;当 2 n ?1 n ? 3 n 为奇数时,a2+a3=1,a4+a5=1,?,an-1+an=1,则 Sn=a1+ = ,∴S2003 2 2
当 n 为偶数时,a1+a2=1,a3+a4=1,?,an-1+an=1,则 Sn= =1003,S2005=1004;∴S2 003-2S2 004+S2 005=3. 4.120. 以 B 为原点,BC 方向为 x 轴建立直角坐标系,设 E(a,0)(a>1),由直线 CD 与 AE 方 程解出交点 F(

3 (a ? 1) 3 (a ? 1) 3 a ?1 a ?1 1 ? 2a , ),于是 BF =( , ), ED =( , ), 2a 2a 2 2a 2a 2

ED ∴ BF · = ?
5.20.
a=

a2 ? a ?1 a2 ? a ?1 ,| BF |= ,| ED |= a 2 ? a ? 1 ,可解得夹角 120° . 2a a

d ?e?g b?d ?e , ?,h = , a=( b + d + e )-2 g , 则 g=( c + f + h )-2 a , 3 3

∴a+g=20. 6.

1 (x+1)2 . 4

三、(1)不存在实数 a、b(a<b)满足条件.

? 1 ?1 ? x , x ? 1 ? 事实上,若存在实数 a、b(a<b)满足条件,则有 x≥a>0.故 f(x)= ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1 ?x ? ?1 ? 1 ? b, ? f (a) ? b, ? a 1 ? (i)当 a、b∈(0,1)时,f(x)= ? 1 在(0, ,1)上为减函数,所以 ? 即? x ? f (b) ? a, ? 1 ? 1 ? a. ?b ? 由此推得 a=b,与已知矛盾,故此时不存在实数 a、b(a<b)满足条件. ? 1 1 ? ? a, ? f ( a ) ? a, ? a 1 ? (ii)当 a、 b∈[1, +∞)时, f(x)= 1? 在[1, +∞)上为增函数, 所以 ? 即? x ? f (b) ? b, ?1 ? 1 ? b. ? b ? 2 于是 a、b 为方程 x -x+1=0 的实根.而此时方程无实根,故此时也不存在实数 a、b(a< b)满足条件 (iii)当 a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,显然 1∈[a,b],而 f(1)=0,所以 0∈[a,b],矛盾. 综上可知,不存在实数 a、b(a<b)满足条件. (2)若存在实数 a、b(a<b)满足 f(x)定义域是[a、b],值域是[ma、mb](m≠0),易得 m>0, a>0. 仿(1)知,当 a、b∈(0,1)或 a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,满足条件的实数 a、b 不存在.
只有当 a、b∈[1,+∞)时,f(x)= 1?

? f (a) ? ma, 1 在[1,+∞)上为增函数,有 ? x ? f (b) ? mb,

? 1 ?1 ? a ? ma, ? 即? 于是 a、b 为方程 mx2-x+1=0 的两个大于 1 的实根. ?1 ? 1 ? mb. ? b ?

?m ? 0, ?? ? 1 ? 4m ? 0, ? 1 ? ∴? 只须 ?1 ? 4m ? 0, 解得 0<m< , 1 ? 1 ? 4m 4 ? 1, ? ?x ? 2m ? ?1 ? 1 ? 4m ? 2m,
所以 m 的取值范围为 0<m<

1 . 4
a2 ,椭圆上动点 P c

四、由已知,可设 A1(-a,0),A(a,0),一条准线 l 的方程为 x= 的坐标为(x0,y0),且 y0≠0,则 lPA:y=

y0 (x-a), x0 ? a

与 x=

a ( a ? c ) y0 a2 a2 联立解得 M( , ), c c c( x0 ? a ) a ( a ? c ) y0 y0 a2 a2 (x+a),与 x= 联立解得 M1( , ), c c c( x0 ? a ) x0 ? a
a2 , c

lPA1:y=

设线段 MM1 的中点为 Q(x1,y1),则 x1=

y1=

a 2 ( x0 ? c ) y0 a ( a ? c ) y0 a 2 ( x0 ? c) y0 b 2 ( x0 ? c) 1 a ( a ? c ) y0 [ + ]= = = . 2 2 c( x0 ? a ) a 2 y0 ?cy0 c( x0 ? a 2 ) 2 c( x0 ? a ) c(? 2 ) b

故 MM1=|

2 2 2 2 a ( a ? c ) y0 a ( a ? c ) y0 - |=| 2ay0 (2cx0 ?2a ) |=| 2ay0 (cx20 ?2 a ) |=| 2b (cx0 ? a ) |. c( x0 ? a ) c( x0 ? a ) acy0 c( x0 ? a ) a y c(? 2 0 ) b 2 2 2 2 b 2 (cx0 ? a 2 ) 2 a 因此,以 MM1 为直径的圆的方程为(x- ) +[y- b (c ? x0 ) ] =[ ]. c acy0 cy0

令 y=0,化简得(x-

b 2 (c ? x0 ) 2 b 2 (cx0 ? a 2 ) 2 a2 2 ) =-[ ] +[ ] c cy0 acy0



4 b4 [(cx0-a2)2-a2(c-x0)2]= b 2 . 2 c a 2 c 2 y0

∴ x=

a 2 b2 a 2 ? b2 ± ,即 x=c 或 x= . c c c a 2 ? b2 ,0). c

可见,以线段 MM1 为直径的圆必经过椭圆外的一个定点(

a2 时也有相应的结论. c 五、由好数的定义,可知 n≤9.
当 l 为左准线 x=-

对于好数 P 中的数字位置按由左到右的顺序考虑,如果数字 i(i=1,2,…,n)第一次 出现的位置记作 ai,那么根据题意,数字 i(i=1,2,…,n)第二次出现的位置应该是 ai+(i +1),于是: ? ai + ? [ ai ? (i ? 1)] = ? k ,记 S= ? ai ,则
i ?1 i ?1 k ?1 i ?1 n n 2n n

S+S+

n[2 ? (n ? 1)] 2n(1 ? 2n) n(3n ? 1) = ,即 S= . 4 2 2

因为 S 是正整数,可得 n(3n-1)能被 4 整除. 又 n 为正整数,所以 n=3 或 4 或 7 或 8. 当 n=3 时,题目中已给出; 当 n=4 时,好数 P 可以是 41 312 432; 当 n=7 时,好数 P 可以是 71 316 435 724 625; 当 n=8 时,好数 P 可以是 8 131 573 468 524 726.


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