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2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(6)


2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(6)
一试
1 1 . ? x ? x ? 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 ab 等于 3 5 2、已知实数 b, c 满足 b ? 2 ? c ,且函数 y ? x2 ? 4 x ? 4 ,当 b ? x ? c 时有最大值 4c ,最 小值 b ,则 b ? c = .
1、y= 3、已知集合 S ?

x 1 ? x ? 10,x ? N

?

?

? ,对它的任一非空子集 A,可以将 A 中的每一个元
2 3 8

素 k 都乘以 (?1) k 再求和(例如, A={2,3,8}, 则可求得和为(-1) ×2+(-1) ×3+(-1) ×8=7), 对 S 的所有非空子集,这些和的总和为 4、已知两个集合 A= ( x, y) x ? m,y ? ?3m ? 2,m ? N B= ( x, y) x ? n,y ? a(n ? n ? 1),n ? N
2

?

?

.
?

?,
.

?

? ,若 A∩B≠ ? ,则整数 a 的值为

5、函数 f(x)的定义域为(0,+∞),并且对任意正实数 x,都有 f ( x) ? xf (

f (2) ? . b a 6、 , b, c 是正整数, 且成等比数列, ? a 是一个完全平方数, 6 a ? log6 b ? log6 c ? 6 , log
则 a+b+c=
2

2012 ) ? 3x ,则 x

.

7、已知 f ( x) ? x ? 6ax ? a, y ? f ( x) 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ( x1 ,0),( x2 ,0) 且

a 3 ? ? 8a ? 3 ,则 a 的值为 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? 6a ? x1 )(1 ? 6a ? x2 )
若存在正整数 a2 , a3 , a4 , a5 , a6 满足

.

8、设 n 为正整数,记 1×2×…×n 为 n!(例如 1!=1,2!=1×2,5!=1×2×3×4×5),

31 a2 a3 a4 a5 a6 ? ? ? ? ? , 这里 0 ? ai ? i , i=2, 3, 36 2! 3! 4! 5! 6!
.

2 2 2 2 2 4,5,6,则 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 等于

1 , A3 是线段 A1 A2 的 2 中点, A4 是线段 A2 A3 的中点, ?, An 是线段 An?2 An?1 (n ? 3) 的中点,(1)写出 xn 与
9、 (本题 16 分)已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0, x 2 ?

xn?1 , xn?2 之间的关系式 (n ? 3) ;(2)设 an ? xn?1 ? xn ,求 ?an ? 的通项公式。

第1页

10、 (本题 20 分)已知,函数 f ( x) ? x | x ? 2a | ,试求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值 g (a ) 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 2 , 过 点 a 2 b2 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? P( 0 ,m ) ( m? 0 ) 斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A, B 两点,且 AP ? 3PB, OA? OB ? 3 (1) 求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴 上是否存在定点 M ,使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,请
11 、 本 题 20 分 ) 已 知 双 曲 线 C : ( 说明理由。

第2页

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(6)
(二试)
1、 (本题 40 分)如图,在锐角三角形 ABC 中,AB=AC,∠ ACB 的平分线交 AB 于 D, 过△ABC 的外心 O 作 CD 的垂线 交 AC 于 E,过点 E 作 AB 的平行线交 CD 于 F.(1)求证: C、E、O、F 四点共圆; (2)求证:A、O、F 三点共线; (3) 求证:EA=EF(福建 2010 预赛)

A

E D O M F N C

B

第3页

2、 (本题 40 分)求最小正整数 n 使得 n ? n ? 24 可被 2010 整除.
2

第4页

3、 (本题 50 分)设多项式 axn ? axn?1 ? c2 xn?2 ? ?? cn?2 x2 ? n2bx ? b 恰有 n 个正实根,求 证它的所有实根相等。

第5页

4、 (本题 50 分)桌上放有 n 根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走 至多 n ? 1 根火柴,此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后一根火柴者获胜.问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

第6页

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺 6 参考答案
一试

1 1 1 1 ? x ? 0 ,且 x ? ? 0 ,得 ? x ? . 3 5 5 3 2 8 1 2 4 1 . y 2 ? ? 2 ? x 2 ? x ? ? ? 2 ?( x ? )2 ? 15 15 15 15 15 225 1 4 1 4 4 2 15 ? ,所以,当 x= 时,y2 取得最大值 ,故 a= 由于 ? 15 15 5 15 3 15 1 1 2 30 2 2 2 当 x= 或 时,y 取得最小值 ,故 b= ,所以,ab= 5 3 15 15 15 2 2 ? ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) , x ? 0; 2 2、因为 y ? x ? 4 x ? 4 ? ? 2 2 ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) , x ? 0. ?
1.、首先,由 所以,b=0,c2-4c+4=4c,解得 c=4+2 3 ,故 b+c=4+2 3 . 3、因为 S={2,3,…,9},对于每个 k(k=2,3,…,9),在总和中出现 27 次,故总和为

27 (?2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9) ? ?512 ? y ? ?3 x ? 2 4、由题意知,方程组 ? 2 ? y ? ax ? ax ? a
有整数解(x,y),x>0.显然 a≠0,y<0,从而 a<0.消去 y,可得

ax2 ? (a ? 3) x ? a ? 2 ? 0,? ? (a ? 3) 2 ? 4a(a ? 2) ? ?3a 2 ? 2a ? 9 ? 0,
即 3a2-2a≤9,由于 a 是负整数,所以 a 只能等于-1. 当 a=-1 时, A? B ? ?(1 ?1),, 7)? ,所以 a=-1 , (3 ? 5、令 x=2,得 f ( 2) ? 2 f ( 从①,②中消去 f (

2012 2012 2012 2012 ) ? 6 ,令 x= ) ? 2 f ( 2) ? 3 ? ,得 f ( , 2 2 2 2

2012 ) ,得 f(2)=2010 2

6、由题意,b2=ac,log6abc=6,所以,abc=66,故 b=62=36,ac=362. 于是, 36-a 是完全平方数, 所以, 只能为 11, a 20, 27, 32, 35, a 是 362 的约数, a=27, 而 故 进而,c=48,所以 a+b+c=111

1 , 由 题 意 , 可 设 9 f ( x) ? x2 ? 6ax ? a ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) 则 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? f (?1) ? 1 ? 7a , a ?3 ? 8a ? 3 (1 ? 6a ? x1 )(1 ? 6a ? x2 ) ? f (1 ? 6a) ? 1 ? 7a ,所以, 1 ? 7a 1 解得 a=0.5 或者 a=0(舍)。故 a= 2

a 7 、 首 先 , 由 ? ? 3 6 ? a4?
2

0 , 得

a>0 或 a< ?

8、在题设等式的两边乘以 6! ,得 31×20=3×4×5×6a2+4×5×6a3+5×6a4+6a5+a6, 因为 31? 20 ? 2(mod 6) ,所以 a6 ? 2(mod 6) ,而 0≤a6<6,所以 a6=2. 于是 103=3×4×5×a2+4×5a3+5a4+a5, 所以 a5 ? 103 ? 3(mod5) ,于是 a5=3 于是 20=3×4a2+4a3+a4, 所以 a4 ? 20 ? 0(mod 4) ,于是 a4=0 所以 原式=12+22+02+32+22=18
第7页

所以 5=3a2+a3

所以 a3 ? 5 ? 2(mod3) ,于是 a3=2,从而 a2=1

xn ?1 ? xn x ? xn - xn = n ?1 , 2 2 1 n ?1 1 由此可见,数列 ?an ? 是公比为 ? 的等比数列, an = ( ?1) ? n (n ? N ? ) 。 2 2 ?1 ? 2a  a ? 0   10、 g (a) ? ? 2 ,事实上, x ? [0,1] f ( x) ? 0 ?a     a ? 0 1 1 令 F ( x) ? f 2 ( x) ? x2 ( x ? 2a), x ?[0,1] ,借助导数按 a ? 0, 0 ? a ? , a ? 讨论即得。 2 2 2 2 2 b2 ? 3a 2 ,∴ 11、由已知得: 双曲线方程可化为 3x ? y ? 3a 。设直线方程为 y ? x ? m 代 2 2 2 入 3x 2 ? y 2 ? 3a 2 得 2 x ? 2mx ? m ? 3a ? 0 ,
9、 (1) xn ? (n ? 3)(2) an = xn?1 ? xn = ;

xn ? 2 ? xn ?1 2

? ? 4m2 ? 4(m2 ? 3a2 ) ? 0 ,∴直线一定与双曲线相交
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ? ?

m2 ? 3a 2 2 2 ??? ? ??? ? m 2 m ? 3a 2 2 2 ∴x2 ? ? , x2 ? 消去 x2 得, m ? 6a ? AP ? 3PB,? x1 ? ?3x2 2 6 ???? ??? ? 2 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? m2 ? 3a2 ? 3
y2 ?1 3

? m ? ? 6, a 2 ? 1, b2 ? 3, 直线方程为y ? x ? 6, 双曲线方程为 x 2 ?
(2)设 M (n,0), Q( x0 , y0 ) ,由于 F (2, 0) , 3x02 ? y02 ? 3 ∵ ?QFM ? 2?QMF ∴ tan ?QFM ? tan 2?QMF

y0 y0 x0 ? n ∴ ,将 3x02 ? y02 ? 3 代入得 4x02 ? n2 ? 4n ? 3 ? y0 2 x0 ? 2 1? ( x0 ? n) 2 2
∵ x0 ? 1 ,∴ 4x02 ? n2 ? 4n ? 3 ? 4 , n ? 4n ? 1 ? 0
2

得 n ? 2 ? 5或者n ? 2+ (舍去) 5 ∴在 x 轴负半轴上存在定点 M ,使得 ?QFM ? 2?QMF 。

2010 年全国高中数学联赛模拟题 6 参考答案
二试 1、 (1) 证明:连接 OA, OC , OF ,则 ?OAC ? ?OCA ? 90 ? 2?B ,
?

∵ EF ? AB

∴ ?FEC ? 180 ? 2?B

又 CD 是 ?ACB 的平分线,∴ ?ECF ? ∴ ?EFM ? 180 ?
?

∵ EM ? DC

3?B 2

?B 2

A

E D O M F N C

3?B ? ? 90? ∴ ?MEF ? 90 ? ?EFM ? 2 3?B ? 90? 而 ?OCM ? ?ECF ? ?AOC ? 2
第8页

B

∴ ?MEF ? ?OCF ,即 O, E , C , F 四点共圆。
? (2)过 F 作 FN ? BC 于交 BC N ,则 ?CFN ? 90 ?

?B 2

由(1) ?OFE ? ?OCE ? 90 ? 2?B
?

?B 2 ∴ ?CFN ? ?OFM ,故共线,由 AB ? AC ,知 A, O, F 共线。 ?OFM ? 90? ? ?OEF ? ?OFE ? 90? ?
?

(3)∵ ?OFE ? ?OAE ? 90 ? 2?B , ∴ ?AEF 是等腰三角形。故 AE ? EF 2、解: 2010 ? 2 ? 3 ? 5 ? 67

?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 2 ?n 2 ? n ? 0 mod 3 ? 2 ? ?n ? n ? 24 ? 0 mod 3 2010 | n2 ? n ? 24 ? ? 2 ? ?n 2 ? n ? 1mod 5 ?n ? n ? 24 ? 0 mod 5 ?n 2 ? n ? 43mod 67 ? ?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 67 ? 2 又 n ? n ? 0 mod 3 ? n ? 0 或 2 mod 3 , n2 ? n ? 1mod5 ? n ? 2mod5 , n2 ? n ? 43mod 67 ? n ? 10 或 56 mod 67 , 故所求最小正整数 n ? 77 . 3、证明:设 x1 , x2 ,?, xn 为多项式的所有正根,由韦达定理有
? ? x ? x ? ? x ? 1    ( ) 1 n ? 1 2 2 ? n n b   (2) ? ? xi1 xi2 ? xin?1 ? (?1) a ?1?i1 ??in?1 ? n ? (?1) n b ? x1 x2 ? xn ?           (3) a ? 1 1 1 n 2b (2 ) 变形为 x1 x2 ? xn ( ? ? ? ? ) ? (?1)n x1 x2 xn a 1 1 1 (3) 代入得 ? ? ? ? ? n 2 x1 x2 xn 1 1 1 结合 (1) 得 ( ? ? ? ? )( x1 ? x2 ? ? xn ) ? n2 x1 x2 xn
∵ x j ? R ,由柯西不等式
?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? )( x1 ? x2 ? ? xn ) ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? n 2 x1 x2 xn x1 x2 xn 当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时等号成立。故命题得证。 4、解:把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为:n1 ,n2 ,n3 ,…, (
不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明: (1) ?ni ? 满足 ni ?1 ? ni ? ni ?1 ; (2)当 n ? ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ?1 ;

第9页

(3)当 ni ? n ? ni ?1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni . 设 k ? n ? ni ( i ? 4 ) ,注意到 ni ? 2 ? 当1 ? k ? 当

ni ? ni ?1 . 2

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni ? 2k 根火柴,乙无法获胜. 2

ni ? k ? ni ?1 时, ni ?2 ? k ? ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此 2 时所取的火柴数目 ? ni ? 2 ,剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,乙无法获胜. 当 k ? ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴;
若m ? k , 则根据归纳假设, 乙总可以取到第 k 根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ? 2 , 剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,甲无法获胜. 因为 100 不在数列 ?ni ? ,所以当 n ? 100 时,甲有获胜策略. 综上可知, ni ?1 ? ni ? ni ?1 .

第 10 页


2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(6)

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