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2015-2016学年高中数学 第二章 随机变量及其分布单元综合检测 新人教A版选修2-3

时间:2015-12-28


2015-2016 学年高中数学 第二章 随机变量及其分布单元综合检测 新人教 A 版选修 2-3
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2013·霍邱二中一模)设随机变量 ξ 等可能取值 1、2、3、?、n,如果 P(ξ <4) =0.

3,那么 n 的值为( A.3 C.9 [答案] D 3 [解析] ∵P(ξ <4)= =0.3,∴n=10. ) B.4 D.10

n

2.(2015·北京东城区高二期末)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率 2 3 分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品相互独立, ,则这两个零件中恰有一个一等品的概 3 4 率为( 5 A. 12 1 C. 4 [答案] A 2 3 2 3 [解析] 根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式得 P= ×(1- )+(1- )× 3 4 3 4 5 = ,故选 A. 12 3.(2013·景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如图,则随机变 量 X 的方差 D(X)等于( ) ) 1 B. 2 1 D. 6

X P
1 A. 9 1 C. 3 [答案] B

0

1 2m 2 B. 9 2 D. 3

m

1

[解析]

1 1 2 2 2 2 1 由 m+2m=1 得,m= ,∴E(X)=0× +1× = ,D(X)=(0- ) × +(1- 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 ) × = ,故选 B. 3 3 9 4.(2015·唐山一中高二期末)设随机变量 X 服从正态分布 N(3,4),则 P(X<1-3a)=

P(X>a2+7)成立的一个必要不充分条件是(
A.a=1 或 2 C.a=2 [答案] B

) B.a=±1 或 2 3- 5 D.a= 2

[解析] ∵X~N(3,4),P(X<1-3a)=P(X>a +7), ∴(1-3a)+(a +7)=2×3,∴a=1 或 2.故选 B. 3- 5 [点评] a=1 或 2 是充要条件,a=2 是充分不必要条件,a= 是既不充分也不必 2 要条件. 5.(2015·武汉市重点中学高二期末)如果随机变量 ξ ~B(n,p),且 E(ξ )=7,D(ξ ) =6,则 p 等于( 1 A. 7 1 C. 5 [答案] A [解析] 如果随机变量 ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =np(1-p), 1 又 E(ξ )=7,D(ξ )=6,∴np=7,np(1-p)=6,∴p= . 7 3 6.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么概率是 10 的事件为( ) B.4 只全是好的 D.至多有 2 只是坏的 ) 1 B. 6 1 D. 4
2

2

A.恰有 1 只是坏的 C.恰有 2 只是好的 [答案] C

C7C3 [解析] X=k 表示取出的螺丝钉恰有 k 只为好的, 则 P(X=k)= 4 (k=1、2、 3、 4). C10 1 3 1 1 ∴P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= ,∴选 C. 30 10 2 6 7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将

k 4-k

2

自由下落.小球在下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小 1 球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是 ,则小球落入 A 袋中的概率为 2 ( ) 1 A. 8 3 C. 8 [答案] D 1 1 1 1 [解析] 小球落入 B 袋中的概率为 P1=( × × )×2= ,∴小球落入 A 袋中的概率为 2 2 2 4 1 B. 4 3 D. 4

P=1-P1= .
8. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4), 则 E(2ξ +1)与 D(2ξ +1)的值分别为( A.13,4 C.7,8 [答案] D [解析] 由已知 E(ξ )=3, D(ξ )=4, 得 E(2ξ +1)=2E(ξ )+1=7, D(2ξ +1)=4D(ξ ) =16. 9.有编号分别为 1、2、3、4、5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编 号互不相同的概率为( 5 A. 21 1 C. 3 [答案] D [解析] 从 10 个球中任取 4 个, 有 C10=210 种取法, 取出的编号互不相同的取法有 C5·2 80 8 =80 种,∴所求概率 P= = . 210 21 10. 设随机变量 ξ 服从分布 P(ξ =k)= , (k=1、 2、 3、 4、 5), E(3ξ -1)=m, E(ξ ) 15 =n,则 m-n=( 31 A.- 9 8 C. 3 [答案] D
3
4 4 4

3 4

)

B.13,8 D.7,16

) 2 B. 7 8 D. 21

k

2

) B.7 D.-5

1 2 3 4 5 11 [解析] E(ξ )=1× +2× +3× +4× +5× = , ∴E(3ξ -1)=3E(ξ )-1 15 15 15 15 15 3 =10, 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 2 又 E(ξ )=1 × +2 × +3 × +4 × +5 × =15,∴m-n=-5. 15 15 15 15 15 11.某次国际象棋比赛规定,胜一局得 3 分,平一局得 1 分,负一局得 0 分,某参赛队 员比赛一局胜的概率为 a,平局的概率为 b,负的概率为 c(a、b、c∈[0,1)),已知他比赛 一局得分的数学期望为 1,则 ab 的最大值为( 1 A. 3 1 C. 12 [答案] C 1 1 ?3a+b?2 1 1 [解析] 由条件知,3a+b=1,∴ab= (3a)·b≤ ·? ? = ,等号在 3a=b=2, 3 3 ? 2 ? 12 1 1 即 a= ,b= 时成立. 6 2 12.一个盒子里装有 6 张卡片,上面分别写着如下 6 个定义域为 R 的函数:f1(x)=x, ) 1 B. 2 1 D. 6

f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片,且
每次取出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次 数 ξ 的数学期望为( 7 A. 4 3 C. 4 [答案] A [解析] 由于 f2(x),f5(x),f6(x)为偶函数,f1(x),f3(x),f4(x)为奇函数,所以随机 变量 ξ 可取 1,2,3,4. C3 1 P(ξ =1)= 1= , C6 2
1

) 77 B. 20 7 D. 3

P(ξ =2)= P(ξ =3)= P(ξ =4)=

C3C3 3 , 1 1= C6C5 10 C3C2C3 3 , 1 1 1= C6C5C4 20 C3C2C1C3 1 . 1 1 1 1= C6C5C4C3 20
1 1 1 1 1 1 1

1 1

所以 ξ 的分布列为

4

ξ

1 1 2 3 20

2 3 10 1 7 20 4

3 3 20

4 1 20

P
1 2 3 10

E(ξ )=1× +2× +3× +4× = .
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2015·福州市高二期末)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记 上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号.若 η =aξ -2,

E(η )=1,则 D(η )的值为________.
[答案] 11 [解析] 根据题意得出随机变量 ξ 的分布列: ξ 0 1 2 1 10 1 1 20 3 20 2 1 10 1 5 3 2 3 3 20 4 1 5

P
1 2 1 20

E(ξ )=0× +1× +2× +3× +4× = ,
∵η =aξ -2,E(η )=1, 3 ∴1=a× -2,即 a=2, 2 ∴η =2ξ -2,E(η )=1,

D(ξ )= ×(0- )2+ ×(1- )2+ ×(2- )2+ ×(3- )2+ ×(4- )2= ,
11 ∵D(η )=4D(ξ )=4× =11. 4 故答案为 11. 14.(2015·福州市八县高二期末)一盒子中装有 4 只产品,其中 3 只一等品,1 只二等 品, 从中取产品两次, 每次任取 1 只, 做不放回抽样. 设事件 A 为“第一次取到的是一等品”, 事件 B 为“第二次取到的是一等品”,则 P(B|A)=________. [答案] 2 3
2

1 2

3 2

1 20

3 2

1 10

3 2

3 20

3 2

1 5

3 2

11 4

3 C3 1 [解析] 由条件知,P(A)= ,P(AB)= 2= , 4 C4 2 ∴P(B|A)=

P?AB? 2 = . P?A? 3

15.将一颗骰子连掷 100 次,则点 6 出现次数 X 的均值 E(X)=________. [答案] 50 3
5

1? ? [解析] 这是 100 次独立重复试验,X~B?100, ?, 6? ? 1 50 ∴E(X)=100× = . 6 3 16.甲罐中有 5 个红球, 2 个白球和 3 个黑球, 乙罐中有 4 个红球, 3 个白球和 3 个黑球. 先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1、A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑 球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论 中正确的是________________(写出所有正确结论的序号). 2 ①P(B)= ; 5 5 ②P(B|A1)= ; 11 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. [答案] ②④ [解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐,则 A1、A2、A3 中任意两个事件不可能同时发生, 1 1 3 5 即 A1、A2、A3 两两互斥,故④正确,易知 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,又 P(B|A1)= , 2 5 10 11

P(B|A2)= , P(B|A3)= , 故②对③错; ∴P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)
1 5 1 4 3 4 9 +P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)= × + × + × = ,故①⑤错误.综上知,正确 2 11 5 11 10 11 22 结论的序号为②④. 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2014·甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A、B、

4 11

4 11

C 三个社区参加社会实践,要求每个社区至少有一名同学.
(1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率; (3)设随机变量 ξ 为四名同学中到 A 社区的人数,求 ξ 的分布列和 E(ξ )的值. [解析] (1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 M,那么 P(M)= 1 即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 . 18 (2)记甲、乙两人在同一社区为事件 E,那么

A2 1 2 , 2 3= C4A3 18

A3 1 3 P(E)= 2 3= , C4A3 6
6

所以,甲、乙两人不在同一社区的概率是

P( E )=1-P(E)= .
(3)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件“ξ =i(i=1,2)”是指有 i 个同学到 A 社区, C4A2 1 则 p(ξ =2)= 2 3= . C4A3 3 2 所以 p(ξ =1)=1-p(ξ =2)= , 3 ξ 的分布列是: ξ 1 2 3 2 1 3
2 2

5 6

p
2 1 4 ∴E(ξ )=1× +2× = . 3 3 3

18.(本题满分 12 分)(2015·重庆理,17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中 装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从 中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望. [分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望,属于简单题型.(1)由古典概 型概率公式计算; (2)从含有 2 个豆沙粽的 10 个粽子中取 3 个, 据此可得出 X 的可能取值及 其概率,列出分布列求得期望. [解析] (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,由古典概型的概率计算公式有 C2C3C5 1 P(A)= 3 = . C10 4 (2)X 的可能取值为 0,1,2,且
1 1 1

P(X=0)= 3 = , P(X=1)= P(X=2)=
C2C8 7 , 3 = C10 15 C2C8 1 3 = C10 15
2 1 1 2

C8 7 C10 15

3

综上知,X 的分布列为:

X P

0 7 15

1 7 15

2 1 15

7

7 7 1 3 故 E(X)=0× +1× +2× = (个) 15 15 15 5 19.(本题满分 12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序 加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级,对每 种产品,两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品. (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; 工序 概率 产品 甲 乙 0.8 0.75 0.85 0.8 第一工序 第二工序

(2)已知一件产品的利润如表二所示, 用ξ 、 η 分别表示一件甲、 乙产品的利润, 在(1) 的条件下,求 ξ 、η 的分布列及 E(ξ ),E(η ); 等级 利润 产品 甲 乙 5(万元) 2.5(万元) 2.5(万元) 1.5(万元) 一等 二等

(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示. 该工厂有工人 40 名, 可用资 金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(2)的条件下,x、y 为何值时,z =xE(ξ )+yE(η )最大?最大值是多少? 项目 产品 甲 乙 [解析] (1)P 甲=0.8×0.85=0.68, 工人(名) 8 2 资金(万元) 5 10

P 乙=0.75×0.8=0.6.
(2)随机变量 ξ 、η 的分布列是

ξ

5 0.68

2.5 0.32

P

η

2.5

1.5
8

P

0.6

0.4

E(ξ )=5×0.68+2.5×0.32=4.2, E(η )=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.
5x+10y≤60, ? ?8x+2y≤40, (3)由题设知? x≥0, ? ?y≥0.

x+2y≤12, ? ? 即?4x+y≤20, ? ?x≥0,y≥0.

目标函数为 z=xE(ξ )+yE(η )=4.2x+2.1y.

作出可行域(如图):作直线 l:4.2x+2.1y=0,

将 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上的点 M,此时 z=4.2x+2.1y 取最大 值.
? ?x+2y=12, 解方程组? ?4x+y=20. ?

得 x=4,y=4,即 x=4,y=4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2. 20.(本题满分 12 分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、 乙对 B、丙对 C 各一盘,已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6、0.5、0.5,假设各 盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ). [解析] (1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D 、 E 、 F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. - 红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF,DEF.

9

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为

P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF)
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0、1、2、3. 又由(1)知 D

E F、 D E F 、D E E

F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,

因此 P(ξ =0)=P( D

F )=0.4×0.5×0.5=0.1, F )=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5

P(ξ =1)=P( D

E F)+P( D E F )+P(D E

+0.6×0.5×0.5=0.35.

P(ξ =3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.
由对立事件的概率公式得

P(ξ =2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =3)=0.4.
所以 ξ 的分布列为: ξ 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15

P

因此 E(ξ )=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15 =1.6. 21.(本题满分 12 分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互 相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. [分析] (1)由表中所给出的数值,第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务应分三种 情况,逐一列出后求出其概率.(2)从已知条件知,X 的值为 0 人,1 人,2 人三种情况,特 别当 x=1 时要注意再进行分类讨论. [解析] 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3

10

分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2) =0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)解法一:X 所有可能的取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5;

X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间
超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2) =0.1×0.9+0.4=0.49;

X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,
所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为

X P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
22.(本题满分 14 分)(2015·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记 录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

老板根据销售量给予店员奖励,具体奖励规定如下表 销售量 X 个 奖励金额(元)

X<100
0

100≤X<150 50

150≤X<200 100

X≥200
150

(1)求在未来连续 3 天里,店员共获得奖励 150 元的概率; (2)记未来连续 2 天,店员获得奖励 X 元,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X). [解析] (1)由频率分布直方图得店员一天获得 50 元、100 元、150 元的概率分别是 0.3,0.2,0.1,不得奖励的概率是 0.4, 所以未来连续 3 天里,店员共获得奖励 150 元的概率
1 2 P=0.33+A3 3×0.3×0.2×0.4+C3×0.4 ×0.1=0.219;

(2)X 可能取值有 0,50,100,150,200,250,300.

11

P(X=0)=0.42=0.16,P(X=50)=2×0.4×0.3=0.24. P(X = 100) = 0.32 +2×0.4×0.2= 0.25 , P(X = 150) =2×0.4×0.1+2×0.3×0.2=
0.20.

P(X=200)=0.22+2×0.3×0.1=0.10, P(X=250)=2×0.2×0.1=0.04, P(X=300)=0.12=0.01,
所以随机变量 X 的分布列是:

X P(X)

0 0.16

50 0.24

100 0.25

150 0.20

200 0.10

250 0.04

300 0.01

E(X) = 0×0.16 + 50×0.24 + 100×0.25 + 150×0.20 + 200×0.10 + 250×0.04 +
300×0.01=100 (或 E(X)=2(0×0.4+50×0.3+100×0.2+150×0.1)=100)

12


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