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安徽合肥168中学等联谊校2013届高三第二次段考数学理试题word版

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安徽省合肥 168 中学等联谊校 2013 届高三上学期第二次段考

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。请在答题题卷上作答。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.设 i 是虚数单位,则复数
2 -3 i 3?i

( A.
9 1 0 ? 1 1 i 1 0


9 10
2

B.

?

11 10

i

C.

3 10

?

11 10

i

D.

3 10

?

11 10

i

2. 命题:“对任意 x ? R , 都有 x ? 1 ? 2 x ”的否定是 (
2

) B.存在 x ? R , 使得 x ? 1 ? 2 x
2

A.不存在 x ? R , 使得 x ? 1 ? 2 x C.不存在 x ? R , 使得 x ? 1 ? 2 x
2

D.存在 x ? R , 使得 x ? 1 ? 2 x
2

3.已知集合 A ? { x | y ?

3x ? ? 1o g 2 ( x ? 1) } , B ? ? y | y ? ?, 则A? B = x ? 1? ?

( A. [ 2, ? ? )
? ? ?

) C. (1, ? ? )
?
[1, D. 3) ? (3, ? ? )

B. [ 2, 3) ? (3, ? ? )
?

4.已知向量 a 、 b 满足| a |=2,且向量 b 在向量 a 方向上的投影为 1,则 a .( a ? b ) 的值为 ( ) B. 3

? ?

?

A.4

C.2

D.1

? ? 5. i , j 是平面直角坐标系 设 (坐标原点 O) 内分别与 x 轴、 轴正方向相同的两个单位向量, y

且 O A ? 2 i ? 4 i , O B ? 4 i ? 3 j ,则△ OAB 的面积等于 ( ) B.10

??? ?

?

? ??? ?

?

?

A.15

C. 7.5

D. 5

6.设 f ( x ) 是一个三次函数, f '( x ) 为其导函数,如图所示的是 y=x f '( x ) 的图像的一部分, 则 f ( x ) 的极大值与极小值的分别是

( A. f ( ? 2 ) 与 f ( 2 ) C. f ( 2 ) 与 f ( ? 2 )



B. f ( ? 1) 与 f (1) D. f (1) 与 f ( ? 1)

n 7 . 函 数 f ( x ) ? 2 s i? x( ? ?

?) ? ( ? ,

?
2

0?, ? ?

?
2

的 图) 象 如 图 所 示 , A B ·B D ?

??? ?

????

A.8 C.
?
8
2

( ) B. -8
?8

D. ?

?
8

2

?8

8.若 sin x ? 3 co s x ? ? 1 0 , 则 tan x ? ( A.
1 3

) C.
3 3

B. 3

D. 3
1 1? 6 ), 且 f (

9. 若函数 f ( x ) ? m sin x ? n co s x ( m n ? 0 ) 的最小值为 f ( ? 的值为 A. -1 ( B. ) -2 C. 1

?
3

) ? ? 2 , f () 则 0

D. 2

10.已知 ? , ? 为锐角△ ABC 的两个内角, ? ? ? ,可导函数 f ( x ) 满足 x f ' ? f ( x ) ,则 ( ) B. co s ? f (sin ? ) ? sin ? f (co s ? ) D. co s ? f (sin ? ) ? sin ? f (co s ? ) 非选择题(100 分)

A. co s ? f (sin ? ) ? sin ? f (co s ? ) C. co s ? f (sin ? ) ? sin ? f (co s ? )

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
? f ( x ? 4 ), x ? 0 ? ? , 则 f (2012) ? 11.已知函数 f ( x ) ? ? x 16 ? 2 ? 0 c o s td i , x ? 0 ?


2



12.若函数 f ( x ) ? x ( x ? a ) 在 x ? 2 处取得极小值,则 a= 13.观察下列各式:

① cos ② cos ③ cos ④ cos

?
3

?

1 2

; 2? 5
2? 9

?
5

cos
cos

?

1 4

;
4? 9 ? 1 8 ;

?
9

cos

?
17

cos

2? 17

cos

4? 17

cos

8? 17

?

1 16

;

归纳推出一般结论为


an n

14. 已知数列 { a n } 满足 a1=15,且 an+1-an=2n,则
??? ???? ? ???? ???? ???? ??? ?

的最小值为



15.在△ ABC 中,AB=2,AC=4,若点 D 为边 BC 的中点,P 为△ ABC 的外心,给出下列
A B A A B 数量积:① A B · C ;② A D · C ; ③ A D · B ; ④ A P · B ; ⑤ A P · C ; 其中其中数量
??? ??? ? ? ??? ???? ?

积为定值的序号是 。 (请填上所有正确的结论的序号) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? c o s ( 2 x ?
?
3 ) ? 2 c o s x.
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的周期及递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ?
?
3 ,

?
3

] 上值域。

17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中 (Ⅰ)若点 M 在边 BC 上,且 B M ? t M C , 求证: A M ?
???? ? ???? ?
???? ? 1 1? t ??? ? AB ? t 1? t ???? AC ;

(Ⅱ)若点 P 是△ ABC 内一点,连接 BP、CP 并延长交 AC、AB 于 D、E 两点,使得 AD:AC=AE:EB=1:2,若满足 A P ? x A B ? y A C ( x , y ? R ), 求 x,y 的值。
??? ? ??? ? ????

18. (本小题满分 12 分) 已知 { a n } 是公差不为零的等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3 是 a1、a9 的等比中项,且 S5=15。 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 ?

? 1 ? 的前 n 项和 Tn,求证: T n ? 2 。 2 ? ? an ?

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? sin x ?
3 co s x ? x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 x=0 处的切线方程; (Ⅱ)记△ ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, f '( B ) ? 3 且 a ? c ? 2 , 求边长 b 的最小值。 20. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 的边长分别为 a、b、c,S 为△ ABC 的面积。 2 2 2 (Ⅰ)若 4S=a +b -C ,求角 C; (Ⅱ)若 4 3 S ? a ? b ? c ,试判断△ ABC 的形状。
2 2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 n x , g ( x ) ? 2 ?
a x ( a 为实数)

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若方程 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) =0 在区间[1,e2]上有解,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)已知 a n ? 2 f ( 2 n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ? 1), n ? N ,
*

求证:数列 { a n } 的前 n 项和 S n ?

3 4

n?

1 60

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