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100测评网高三数学复习2008—2009学年度高三年级第四次月考


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山西省实验中学 2008—2009 学年度高三年级第四次月考

数学试题(文科)
第Ⅰ卷
客观卷

一、选择题:本大题共 1

2 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.在平面内,点 (sin 2, cos 2) 位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( ) ( )

2.等式“ sin( A ? C ) ? sin 2B 成立”是“A、B、C 成等差数列”的 A.必要而不充分条件 C.充要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设 a, b是非零向量 , x ? R, 若函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? (a ? xb) 的图象是一条直线,则必有 ( A. a ? b B. a // b C. | a |?| b | D. | a |?| b | ( D. y ? log2 | x | ) )

4.下列函数中,既是偶函数又是周期函数的是 A. y ?| cos x | 5.设 a ? B. y ?| log2 x | C. y ? sin x

1 3 2 tan13? 1 ? cos50? ,则有 cos6? ? sin 6? , b ? , c ? 2 2 2 1 ? tan2 13?
B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a





A. a ? b ? c

6. 将函数 y ? 3 sin( x ? ? )的图象 F按向量 a ? ( 轴是直线 x ? A. ?

?
3

,?3)平移得到图象 F ?, 若F ? 的一条对称
( )

?
4

, 则? 的一个可能取值是
B.

5? 12

5? 12

C.

11? 12
2

D. ?

11? 12

7. 已知非零向量 a, b, 有(a ? 2b) ? (a ? 2b),且关于 x的方程x ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根, 则 a与b 夹角的取值范围是 ( )

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A. [0,

?
6

]

B. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
3

,? ]

8.曲线 y ? 2 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

)与直线 y ?

1 在y 轴右侧的交点,按横坐标从小到大依 2
( D.4 ? ( ) )

次记为 P1,P2,P3,?,Pn,?,则|P2P4|等于 A. ? B.2 ? C.3 ? 9.已知 ? ? ( A.

?

3 ? , ? ), sin ? ? , 则 tan(? ? ) = 2 5 4
B.7

1 7

C.—

10.函数 y ? 2 sin(?x ? ? )(| ? |?

?
2

1 7

D.—7 ( )

) 的图象如右图,则

10 ? ,? ? 11 6 10 ? ,? ? ? B. ? ? 11 6
A. ? ? C. ? ? 2, ? ?

?

6

6 1 2? ? 2? ) = 11.若 sin( ? ? ) ? , 则 cos( 6 3 3 7 1 A. ? B. ? 3 9

D. ? ? 2, ? ? ?

?
( C. )

?

1 3

D.

7 9

, 又? , ? 为一个锐角三角形的两内角, 12.已知奇函数 f ( x)在[?1,0]上为单调递减函数
则 ( A. f (cos? ) ? f (cos? ) C. f (sin? ) ? f (cos? ) B. f (sin? ) ? f (cos? ) D. f (sin? ) ? f (sin ? ) )

第Ⅱ卷

主观卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 13.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为 1:3,内切圆面积与扇形面积之比为 14.函数 y ?



32 ? 2 x 2 ? lg sin x ?

1 的定义域是 x3



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2 15.已知关于 x的方程 cos x ? sin x ? a ? 0, 若0 ? x ?

?
2

时方程有解 , 则a 的取值范围是

。 16.函数 y ? sin(

?
4

? 2 x) 的单调增区间是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 17. (本小题满分 10 分) 已 知 ? , ? , ? ? (0, 值。

?
2

), 且 sin ? ? sin ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? cos ? , 试求 ? ? ? 的

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1. (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)作出函数 f ( x) 在区间 [0, ? ] 内的图像; (III)求函数 f ( x) 在区间 [

? 3?
8 , 4

] 上的最大值和最小值。

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机的分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个 岗位至少有一名志愿者。 (I)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (II)求甲乙两人不在同一岗位服务的概率。

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20. (本小题满分 12 分) 已知 | a |? 4, | b |? 3, 且(2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61. (I)求 a与b 的夹角? ; (II)求 | a ? b | ; (III)若 AB ? b, AC ? a, 作?ABC, 求?ABC的面积 .

21. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A<C, a ? c ? b ? ac,
2 2 2

且 tan A tanC ? 2 ? 3, AB边上的高等于 4 3, 求a, b, c的值.

22. (本小题满分 12 分) 已知一列非零向量 a n , 满足 a1 ? ( x1 , y1 ), a n ? ( x n , y n ) ? (1)证明 a n 是等比数列; (2)求向量 an?1与an的夹角 (n ? 2) ;

? ?

1 ( x n ?1 ? y n ?1 , x n ?1 ? y n ?1 ), (n ? 2). 2

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( 3 )设 a1 ? (1,2), 把a1 , a2 ,?, an ,?中的所有与 a1 共线的向量按原来的顺序排成一 列, 记为 b1 , b2 ,?, bn ,?, 令OBn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 其中O为原点 , 求点列 {Bn } 的坐标。

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1—5 DAAAC 6—10 BBAAC 11—12 AB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.2:3 16. ( 14. ?? 4,?? ? ? (0, ? ) 15. ?? 1,1?

3? 7? ? k? , ? k? ), (k ? Z ) 8 8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17.解: ?

?sin ? ? sin ? ? sin ? ?cos? ? cos ? ? cos?

(1) (2)
1 2

????2 分

(1)2+(2)2 得 1 ? 2 ? 2 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ?

????6 分 ????8 分

? ? , ? , ? ? (0, ) ? ? ? ? ? (? , ) ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3
由(1)式 sin ? ? 0,? sin ? ? sin ? 18. (I) f ( x) ?

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ?? ?

?
3

????10 分

2 sin( 2 x ?

?
4

)或 2 cos( 2 x ?

?
4

)

????2 分 ????4 分

?T ? ?
(II)

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(III)? x ? [

? 3?
8 , 4

] ? 2x ?

?
4

? [0,

5? ] 4

? 2 ? s i n2(x ? ) ? [? ,1] 4 2
即 ymax ?

? 2 s i n2(x ? ) ? [?1, 2 ] 4
????10 分 ????12 分

?

2

ym i n? ?1
19. (I) P ?
3 A3 1 ? 2 4 C3 A4 40 3 4 A3 9 ? 2 4 C5 A4 10

????6 分

(II) P ? 1 ?

????12 分

20. (I)? (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61 ? 4 | a |2 ?4a ? b ? 3 | b |2 ? 61 ? a ? b ? ?6

? cos ? ?
?? ? 2? 3

a ?b | a || b |

?

?6 1 ?? 4?3 2

????2 分

????4 分

(II) | a ? b |?
2

( a ? b) 2
2

????6 分 ????8 分 ????10 分 ????12 分

? a ? 2a ? b ? b ? 16 ? 12 ? 9 ? 13
(III) S ?ABC ?

1 | AB | ? | AC | ? sin A 2 1 2? ? ? 3? 4 ? s i n ? 3 3 2 3
2 2 2

a2 ? c2 ? b2 1 ? 21.解:? a ? c ? b ? ac ? cos B ? 2ac 2
又? B ? (0, ? ),? B ?

?
3

????2 分

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? t a nA ( ? C) ? t a nA ? t a n C ? ? t a nB ? ? 3 1 ? t a nA t a n C


且 tan A tanC ? 2 ? 3

? tan A ? tanC ? 3 ? 3



由①、②可知 tan A, tanC是方程x 2 ? (3 ? 3) x ? 2 ? 3 ? 0 的两根 又? A ? C,? tan A ? tanC,? tan A ? 1, tanC ? 2 ? 3

4 ? ? 5? ?C ? ? ? ? ? 3 4 12

? A ? (0, ? ),? A ?

?

????4 分 ????6 分

设 CD 为 AB 边上的高,则 CD= 4 3 ,

? c ? AB ? AD ? DB ? 4 3 ? 4 3 ?8 sin 60?

4 3 ? 4?4 3 tan60?

????8 分

?a ?

????10 分

?b ? 4 3 ? 2 ? 4 6
22. (I) | a n |?
2 2 xn ? yn ?

????12 分

1 ( x n ?1 ? y n ?1 ) 2 ? ( x n ?1 ? y n ?1 ) 2 2

?

2 2

2 2 xn ?1 ? y n ?1 ?

2 | a n ?1 | 2 | an | | a n ?1 | ? 2 2
????4 分

又 ?| a1 |? x12 ? y12 ? 0 ?

? a n 是等比数列
(II) a n ?1 ? a n ?

? ?

1 ( x n ?1 , y n ?1 ) ? ( x n ?1 ? y n ?1 , x n ?1 ? y n ?1 ) 2

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?

1 2 1 2 ( x n ?1 ? y n | a n ?1 | 2 ?1 ) ? 2 2 a n ?1 ? a n | a n ?1 || a n | ? 1 | a n ?1 | 2 ? 2 | an | 2

? cos ? a n ?1 , a n ??

又?? a n ?1 , a n ?? [0, ? ] ? a n ?1与a n的夹角为 (III) a1 ? ( x1 , y1 ), a 2 ?

?
4

????8 分

1 1 ( x1 ? y1 , x1 ? y1 ), a3 ? (?2 y1 ,2 x1 ) 2 4 1 1 1 a 4 ? (? x1 ? y1 ,? y1 ? x1 ), a5 ? (?2 x1 ,?2 y1 ) ? ? ( x1 , y1 ) 4 8 4

? a5 // a1 类似的有 : a9 // a1 ? 记b1 ? a1 , b2 ? a5 , b3 ? a9 ,?, bn ? a 4 n ?3 ,? 1 ? bn ? (? ) n ?1 ( x1 , y1 ) 4 设OBn ? (t n , s n ),则 1 1 1 4 1 t n ? [(? ) 0 ? (? )1 ? ? ? (? ) n ?1 ] ? x1 ? [1 ? (? ) n ] 4 4 4 5 4 1 1 1 8 1 s n ? [(? ) 0 ? (? )1 ? ? ? (? ) n ?1 ] ? y1 ? [1 ? (? ) n ] 4 4 4 5 4 4 1 n 8 1 n 所以点列 {Bn }的坐标为 ( [1 ? (? ) ], [1 ? (? ) ]) 5 4 5 4

????12 分

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