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2015高三理科第一轮复习《空间向量》

时间:2014-12-12


2015 高三理科第一轮复习《空间向量》
班级:
空间基底 共线定理 共面定理 基本定理 方向向量 法向量 加法 减法 数乘 数量积 垂直 平行 模, 坐标 夹角 距离 分类 线线 平行

姓名:

号数:

成绩:

空间任何三个不共面的向量 a, b, c 都可做空间的一个基底



a, b ( b ? 0 共线 ? 存在唯一实数 ? , a ? ? b 。
( a, b 不共线)共面 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? xa ? yb . p 与 a, b 、

a, b, c 不共面,空间任意向量 p 存在唯一的 ( x, y, z ) ,使 p ? xa ? yb ? zc
所在直线与已知直线 l 平行或者重合的非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。 所在直线与已知平面 ? 垂直的非零向量 n 叫做平面 ? 的法向量。

a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? ;

a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ?

?a ? ? ? x1, ? y1, ? z1 ? ;

a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2
a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 ;
cos? a , b ? ? a ?b a b ?
2 1

AB ? 终点坐标 ? 起点坐标

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 2 2 x ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2

d?? ? ?? ?
示意图

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

所需条件
(1)直线 m 方向向量 m ; (2)直线 n 方向向量 n (1)直线 m 方向向量 m ; (2)平面 ? 的法向量 n (1)平面 ? 的法向量 m (2)平面 ? 的法向量 n (1)直线 m 方向向量 m ; (2)直线 n 方向向量 n (1)直线 m 方向向量 m ; (2)平面 ? 的法向量 n

证明原理

m ? ?n ? m ∥ n ? m∥n
m? n ? 0 ? m ? n ? 直线 m ∥平面 ?

线面 平行

面面 平行

m ? ?n ? m ∥ n ? 平面 ? ∥平面 ?
m? n ? 0 ? m ? n ? m⊥n

线线 垂直

m ? ?n ? m ∥ n ? 直线 m ⊥平面 ? m ? AB =0 ? m ⊥AB m ? CD =0 ? m ⊥CD ? m ⊥? AB,CD ? ? 且 AB ? CD=P
1

线面 垂直

(1)直线 m 方向向量 m ; ( 2 )平面 ? 内两相交直线的方向向量

AB , CD

面面 垂直

(1)平面 ? 的法向量 m (2)平面 ? 的法向量 n 示意图 所需条件

m? n ? 0 ? m?n ? 平面 ? ⊥平面 ?
证明原理

分类 两异面直 线所成角

cos? ? cos ? m, n ? ?
(1)直线 m 方向向量 m (2)直线 n 方向向量 n 简化: cos? ?

m?n mn

??

(0,

? 】 2

m?n mn
OA ? n OA n

线面角

? 【0, 】 2

??

(1)直线 OA 的方向 向量 OA ;

sin ? ? cos ? OA, n ? ?
简化:sin ? = ?

θ

(2)平面 ? 的法向量 n

OA ? n OA n

cos ? m, n ??
【0, ? 】

m?n mn

??

二面角

同进同出为互补

(1)平面 ? 的法向量 n (2)平面 ? 的法向量 m

(1)二面角平面角是锐角 余弦就取正值 (2)二面角平面角是钝角 余弦就取负值 (1)直线 a 和直线 b 的公垂线 的方向向量 n ; (2)a 上任意一 点 A,b 上任意一点 B,构成向 量

一进一出为相等

两异面直线间的距离

AB ,

则d

?

| AB ? n | |n|

点 A 到平面 ? 的距离 (1)点 A 和平面 ? 内任意一点 点面距离 点 面 距 离 B 构成一个向量

AB ;

(2)平面 ? 的法向量 n , 则d

?

| AB ? n | |n|
) )

【巩固练习题】 1、已知向量 a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),则向量 2a-3b+4c 的坐标为( A、(16,0,-23) B、(28,0,-23) C、(16,-4,-1) D、(0,0,9) 2、 O 是坐标原点,设 M ?3, ?1,4? , A? 4,3, ?1? ,若 OM ? AB ,则点 B 的坐标应为( A、 ? ?1, ?4,5? B、 ? 7,2,3? C、 ?1, 4, ?5? D、 ? ?7, ?2, ?3?

2

3、点 P(1,2,3)关于 OZ 轴的对称点的坐标为( A、(-1, -2, 3) B、(1, 2, -3) )



C、(-1, -2, -3) D、(-1, 2, -3)

4、下列各组向量中不平行的是(

? ? A、 a ? (1,2,?2), b ? (?2,?4,4) ? ? C、 e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)

B、 c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0) D、 g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40) )

?

?

?

?

5、已知 AB =(2,4,5), CD =(3,x,y),若 AB ∥ CD ,则( A、x=6,y=15 B、x=3,y=

15 2

C、x=3,y=15

D、x=6,y=

15 2
).

6、已知向量 a = (s ? 1, 0, 2s) , b = (6, 2t ?1, 2) , a / / b ,则 s 与 t 的值分别为( A、

1 , ?1 D、 ?5 , ? 2 5 2 7、已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k=( ) 1 3 7 A、1 B、 C、 D、 5 5 5 8、已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是( )
B、 5 , 2 C、 ? A、-3 或 1 A、 ? B、3 或-1 C、-3 D、1 ) 9、已知 A(-1,-2,6) ,B(1,2,-6),O 为坐标原点,则向量 OA, 与OB 的夹角( B、

1 , 1 5 2

? 2

C、0

D、

3? 2

10、若向量(1,0,z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为 A、0 B、1 C、-1 D、2

? ,则 z 等于( ?



11、若向量 a ? (1, ?,2),b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦值为 A、 2 B、 ? 2 C、 ? 2 或

8 ,则 ? 等于( 9



2 2 D、 2 或 ? 55 55 12、在空间直角坐标系中,已知 A(2,3,5) , B(3,1, 4) ,则 A , B 两点间的距离是(
A、 6 B、 5 C、 7 D、 11



13、 则实数 a 的值为 ( 在空间直角坐标系中,设A(1,2,a),B(2,3,4)若|AB|= 3 , A、3 或 5 B、-3 或-5 C、3 或-5 D、-3 或 5 )



? ? ? ? 14、已知 a ? (1 ? t ,2t ? 1,0) , b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值是(
A、 5 B、 6 C、 2 D、 3 15、如图,空间四边形 OABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c , 点 M 在线段 OA 上,且 OM ? 2 MA ,点 N 为 BC 的中点, 则 MN ? ( A. ) B. ?

1 2 1 a? b? c 2 3 2

2 1 1 a? b? c 3 2 2

C.

1 1 1 a ? b? c 2 2 2

D.

2 2 1 a ? b? c 3 3 2
3

16、空间中,与向量 a ? (3,0, 4) 同向共线的单位向量 e 为( A、 e ? (1,0,1) C、 e ? ( , 0, ) B、 e ? (1,0,1) 或 e ? (?1,0, ?1) D、 e ? ( , 0, ) 或 e ? ( ? , 0, ? )



3 4 3 4 5 5 5 5 ? 17、若平面 、 ? 的法向量分别为 m ? ?1, ?5, 2 ? , n ? ? ?3,1, 4 ? ,则 ( ) A、 ? ? ? B、 ? // ? C、 ? 、 ? 相交但不垂直 D、以上均不正确
18、若直线 的方向向量为 ,平面 A、 = , = C、 = , = 的法向量为 ,则能使 // B、 = , = D、 = , = 的是( )

3 5

4 5

19、如图,P 是正方形 ABCD 外一点,PA ? 平面 ABCD,PA=AB=2,且 E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:EF//平面 PAD; (2)求证:EF ? 平面 PCD; P (3)求:直线 BD 与平面 EFC 所成角的大小.
F A E B C D

20、如图,圆 O 的直径 AB=5,C 是圆上异于 A、B 的一点,BC=3, PA ? 平面 ABC,AE ? PC 于 E, 且 PA=2 2 . (1) 求证:AE ? 平面 PBC; (2) 求:点 A 到平面 PBC 的距离.
P

A

E

O B

C

4

1、A 2、B

2015 高三理科第一轮复习《空间向量》 【解析】 2a ? 3b ? 4c ? ? 6,10, ?2 ? ? ? 6,6,9 ? ? ?16, ?4, ?12 ? ? ?16,0, ?23? 【解析】根据题意,设点 B(x,y,z),由于 M ?3, ?1,4? , A? 4,3, ?1? ,

?x ? 4 ? 3 ? 且 OM ? AB ? (3, ?1, 4) ? ( x ? 4, y ? 3, z ? 1) ? ? y ? 3 ? ?1 ,故可知点 B 的坐标应为 ? 7,2,3? ?z ?1 ? 4 ?
3、A 4、D 【解析】空间点 P 关于 OZ 轴的对称点的竖坐标不变,横坐标,纵坐标互为相反数 【解析】设 AD =λ AC ,又 AC =(0,4,-3),则 AD =(0,4λ ,-3λ ),

AB =(4,-5,0), BD =(-4,4λ +5,-3λ ).由 AC · BD =0, 4 9 12 得 λ =- ,∴ BD =(-4, , ). ∴| BD |=5. 5 5 5
5、D 【解析】因为 AB ∥ CD ,所以

2 4 5 15 ? ? ,所以 x=6,y= . 2 3 x y
s ? 1 ? 2s ? 2t ? 1 ? 0 6 2

6、A【解析】向量 a = (s ? 1, 0, 2s) , b = (6, 2t ?1, 2) , a / / b ? 解得为 s 与 t 的值分别为

1 , 1 5 2 7、D 【解析】因为 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,所以 (ka ? b) ? (2a ? b) ? 0 , 2 2 7 所以 2ka ? b ? (2 ? k )a ? b ? 0,? 4k ? 5 ? (2 ? k )(?1) ? 0, k ? . 5
8、A 9、A

a ? b,?a ? b ? 4 ? 4 y ? 2x ? 0, x ? 4时,y ? ?3; 则 x ? y ? 1; x ? ?4时,y ? 1, 则x ? y ? ?3. 故选 A
【解析】因为 A(-1,-2,6) ,B(1,2,-6),O 为坐标原点,

【解析】 | a |? 4 ? 16 ? x2 ? 6,? x ? ?4;

则向量 cos ? OA, OB ?? 10、A

OA OB ?1 ? 4 ? 36 ? ? ?1 ,因此选 A | OA | | OB | 41 41
? , ?

【解析】因为向量(1,0,z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为

cos ? ?
11、C

? z ? ??g ?? ??

?

? ?z ? ? ?
(?2)2 ? 12 ? 22 ? 3,

【解析】由已知得: a ? 12 ? ? 2 ? 22 ? 5 ? ? 2 , b ?

a ? b ? 2 ? ? ? 4 ? 6 ? ? ,所以 cos ? a, b ??
12、A

a ?b a b

?

8 2 ? , 解得 ? 等于 ? 2 或 55 5 ? ? ?3 9
2

6??

【解析】∵A,B 两点的坐标分别是 A(2,3,5),B(3,1,4),

2 2 2 ∴|AB|= (3-2) +(1-3) +(4-5) ?

6 。故选 A. (1 ? 2) 2 ? (2 ? 3) 2 ? ( a ? 4) 2 ? 3 ,则 (a ? 4)2 ? 2 ? 3 ,

13、A 14、C

【解析】依题意可得,| AB |?

解得 a ? 5 或 a ? 3 ,故选 A

【解析】解:因为 a ? (1 ? t ,2t ? 1,0) , b ? (2, t , t ) ,
5

?

?

则 | a ? b |2 ? (1 ? t)2 ? (?1 ? 2t)2 ? 4 ? 2t 2 ? 2[2(1 ? t) ? t(2t ?1)] ? 6t 2 ? 2t ?1 则利用二次函数的性质得到最小值为 2 ,选 C 15、B 【解析】因为空间四边形 OABC 如图, 点 M 在线段 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点, 所以 = .所以 = , , .故选 B. ,

16、C 【解析】依题意可设 e ? ? (3,0, 4) ? (3?,0, 4?) ,其中 ? ? 0 ,由 | e |? 1 ,

1 1 3 4 (舍去)或 ? ? ,所以 e ? ( , 0, ) . 5 5 5 5 17、A 【解析】 m ? n ? 1? (?3) ? ? ?5? ? 1 ? 2 ? 4 ? 0 则 m ? n ,所以 ? ? ? .选 A
可得 9? 2 ? 0 ?16? 2 ? 1,解得 ? ? ? 18、D 【解析】D 选项中, ,故 ,因此可得 //
1 CD,得 FM//AE,FM=AE, 2 ? 四边形 AEFM 是平行四边形 ? EF//AM,又 AM ? 面 PAD,? EF//面 PAD (2) ? PA ? 面 ABCD ? PA ? CD,又 AD ? CD ? CD ? 面 PAD ? AM ? CD 又 ? PA=AB=2 ? AM ? PD ? AM ? 面 PCD ? EF ? 面 PCD (3)过点 D 作 DN ? PC 交于点 N,设 BD 与 EC 交于点 Q,连结 QN

19、 (1)取 PD 中点 M,连结 AM,FM,由 FM//CD,FM=

由(2)知 ? DQN 为所求角

? DN=

2 6 4 2 ,DQ= 3 3

? 3 20、 (1)证明:? 圆 O 的直径 AB=5 且 BC=3 ? BC ? AC 且 AC=4 又 ? PA ? 面 ABC ? BC ? PA ? BC ? 面 PAC ? AE ? BC, 又 AE ? PC ? AE ? 面 PBC
? Rt ? DNQ 中,sin ? DQN=
DA 3 = DQ 2

? ? DQN=

(2)解:由(1)知,AE 为所求距离,在 Rt ? PAC 中,AC=4,PA=2 2 ,? PC=2 6
? 由等面积得 PA ? AC=PC ? AE ? AE=
4 3 3

6


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