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江苏省南通市2010届高考数学考前指导


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江苏省南通市 2010 届高考数学指导:你准备好了吧!
亲爱的高三同学,当您即将迈进考场时,对于以下问题,您是否有清醒的认识? 您的老师提醒您: 1.集合中的元素具有无序性和互异性。如集合 ?a,2? 隐含条件 a ? 2 ,<

br />集合 ?x | ( x ?1)( x ? a) ? 0? 不能直接化成 ?1, a? 。 2.研究集合问题,一定要抓住集合中的代表元素,如:{ x | y ? lg x }与{ y | y ? lg x }及{ ( x, y) | y ? lg x } 三集合并不表示同一集合;再如: “设 A={直线},B={圆},问 A∩B 中元素有几个?能回答是 一个, 两个或没有吗?” 与 “A={(x, y)| x + 2y = 3}, B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A∩B 中元素有几个?” 有无区别?
2 过关题 1:设集合 M ? {x | y ? x ? 3} ,集合 N= y | y ? x ? 1, x ? M ,则 M

?

?

N ? ___

(答: [1, ??) ) 3 .进行集合的交、并、补运算时,不要忘了集合本身和空集的特殊情况,不要忘了借助于 数轴和韦恩图进行求解;若 A B= ? ,则说明集合 A 和集合 B 没公共元素,你注意到两种极 端情况了吗? A ? ? 或 B ? ? ;对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、和非空真 子集的个数分别是 2 、 2 ? 1 和 2 ? 2 ,你知道吗?你会用补集法求解吗? A 是 B 的子集 ? A∪B=B ? A∩B=A ? A ? B ? A ? B ,若 A ? B ,你可要注意 A ? ? 的 情况。 过关题 2:已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0},若 A∩B=B,则所有实数 m 组成的集合 为 .
n n n

已 知 函 数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在 区 间 [ ?1,1] 上 至 少 存 在 一 个 实 数 c , 使

3 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围。答: ( ?3, ) ) 2 4. 映射的概念了解吗?映射 f :A ?B 中,你是否注意到了 A 中元素的任意性和 B 中与它对应
元素的唯一性,哪几种对应能够构成映射?(只能是多对一和一对一) 函数呢?映射和函数是何关系呢? 映射是“ ‘全部射出’加‘多箭一雕’ ;映射 f :A ?B 中,集合 A 中的元素必有象,但集合 B 中 的元素不一定有原象(A 中元素的象有且仅有一个,但 B 中元素的原象可能没有,也可能任意 个) ;函数是“非空数集上的映射” ,其中“值域是映射中象集 B 的子集” 过关题 3:(1) 集合 A={1, 2, 3},集合 B={1, 2},则从集合 A 到集合 B 的映射有 个; (2) :函数的定义域 A={1, 2, 3},值域 B={1, 2},则从集合 A 到集合 B 的映射有 个。 5 .(1)求不等式(方程)的解集,或求定义域时,你按要求写成集合或区间的形式了吗? (2)你会求分式函数的对称中心吗? 过关题 4 :已知函数 f ( x ) ?

a?x 的对称中心是 (3, -1) ,则不等式 f (x) > 0 的解集 x ? a ?1

是 . 6 .求一个函数的解析式,你注明了该函数的定义域了吗? 7 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题,它们之间有哪三种关系?只有互为逆否的 命题同真假!复合命题的真值表你记住了吗?命题的否定和否命题不一样,差别在哪呢?充分 条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗?如何判断?反证法证题的三部曲你还记得吗?假 设、推矛、得果。 原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ;互为逆否的 两个命题是等价的. 如: “ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 条件。 (答:充分非必要条件) 若 p ? q 且 q ? p ;则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件); 注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别:

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命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ;否命题是 ?p ? ?q 命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q” , “p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q” 注意:如 “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的 否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a ? b 是奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数” 8.绝对值的几何意义是什么?不等式 | ax ? b |? c , | ax ? b |? c (c ? 0) 的解法掌握了吗? 过关题 7:| x | + | x – 1|<a 的解集非空,则 a 的取值范围是 , | x | – | x – 1|<a 恒成立,则 a 的取值范围是 。 9.如何利用二次函数求最值?注意对 x 2 项的系数进行讨论了吗? 若 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ?1 ? 0 恒成立,你对 a ? 2 =0 的情况进行讨论了吗? 若改为二次不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ?1 ? 0 恒成立,情况又怎么样呢? 10. (1)二次函数的三种形式:一般式、交点式、和顶点式,你了解各自的特点吗? (2)二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗?你能相互转化吗? (3)方程有解问题,你会求解吗?处理的方法有几种? 过关题 8:不等式 a x 2 + b x + 2 > 0 的解集为 {x | ?

过关题 9:方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解,则 a 的取值范围是 . 2 2 特别提醒: 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根即为不等式 ax ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值, 也是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点的横坐标。 对二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,你了解系数 a, b, c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴 等的影响吗? 对函数 y ? lg( x2 ? 2ax ? 1) 若定义域为 R,则 x 2 ? 2ax ? 1 的判别式小于零;若值域为 R, 则 x ? 2ax ? 1 的判别式大于或等于零,你了解其道理吗? 例如:y = lg(x 2 + 1)的值域为 ,y = lg(x 2 – 1) 的值域为
2

1 1 ? x ? } ,则 a + b = 2 3

.

,你有点体会吗?
2

11.求函数的单调区间, 你考虑函数的定义域了吗?如求函数 y ? log2 ( x ? 2x ? 3) 的单调增区间?再 如已知函数 y ? loga ( x2 ? 2ax ?1) 在区间 [2,3] 上单调增,你会求 a 的范围吗? 若函数 y ? x2 ? 2ax ? 2 的单调增区间为 ?2, ??? ,则 a 的范围是什么?
2

若函数 y ? x ? 2ax ? 2 在 x ? ?2, ??? 上单调递增,则 a 的范围是什么? 两题结果为什么不一样呢? 12.函数单调性的证明方法是什么?(定义法、导数法)判定和证明是两回事呀!判断方法:图象 法、 复合函数法等。 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗? (⑴ 比较大小; ⑵ 解不等式; ⑶ 求参数的范围。 )如已知 f ( x) ? 5sin x ? x3 , x ? (?1,1) , f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0 ,求 a 的 范围。 求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或” ;单调区间是区间不能 用集合或不等式表示。 13.判断函数的奇偶性时,注意到定义域的特点了吗?(定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性 的必要非充分条件) 。 过关题 9:f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数,其定义域为[a – 1, 2a],则 a= , b= 。 14.常见函数的图象作法你掌握了吗?哪三种图象变换法?(平移、对称、伸缩变换) 函数的图象不可能关于 x 轴对称, (为什么?)如:y 2 = 4x 是函数吗? 函数图象与 x 轴的垂线至多一个公共点,但与 y 轴的垂线的公共点可能没有,也可能任意个; 函数图象一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象;如圆; 图象关于 y 轴对称的函数是偶函数,图象关于原点对称的函数是奇函数,两图象关于直线 y ? x 对称的两函数是一对反函数。

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过关题 10:函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到? 过关题 11:已知函数 y = f (x) (a≤x≤b),则集合{(x, y)| y = f (x) ,a≤x≤b} ∩{(x, y)| x = 0}中,含 有元素的个数为( ) A. 0 或 1 B. 0 C. 1 D. 无数个 15. 由函数 y ? f ( x) 图象怎么得到函数 y ? f (? x) 的图象?由函数 y ? f ( x) 图象怎么得到函数 y ? ? f ( x) 的图象?由函数 y ? f ( x) 图象怎么得到函数 y ? ? f (? x) 的图象? 由函数 y ? f ( x) 图象怎么得到函数 y ? f (| x |) 的图象? ⑴ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于 x 轴的对称的曲线 C1 是: ⑵ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于 y 轴的对称的曲线 C2 是: ⑶ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? x 的对称的曲线 C3 是: ⑷ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? ? x 对称的曲线 C4 是: ⑸ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? x ? m 的对称的曲线 C5 是: ⑹ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? ? x ? m 的对称的曲线 C6 是: ⑺ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于直线 x ? m 对称的曲线 C7 是: ⑻ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? m 对称的曲线 C8 是: ⑼ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于原点的对称的曲线 C9 是: ⑽ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 关于点 A ( a, b) 对称的曲线 C10 是: ⑾ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 绕原点逆时针旋转 90°,所得曲线 C11 的方程是: f ( y, ? x) ? 0 ⑿ 曲线 C : f ( x, y ) ? 0 绕原点顺时针旋转 90°,所得曲线 C12 的方程是: f (? y, x) ? 0 过关题 12:将函数 f (x) = log 2 x 的图象绕原点逆时针旋转 90°得到 g (x)的图象, 则 g (-2)= . 16.函数 y ? x ?

k (k ? 0) 的图象及单调区间掌握了吗?如何利用它求函数的最值?与利用基本 x
的单调区间吗?

不等式求最值的联系是什么?若 k <0 呢? 你知道函数 (该函数在 (??,?

b b b b ] 或 [ ,??) 上单调递增;在 (0, ] 或 [? ,0) 上单调递减)这可是 a a a a

一个应用广泛的函数! 求函数的最值,一般要指出取得最值时相应的自变量的值。 17.(1)切记:研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行!一般是先求定义域,后化简,再研 究性质。 过关题 13: y ? log 1 ? x ? 2 x 的单调递增区间是________(答: (1,2))。
2

?

?

已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x∈[1, 9],则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 。求解 中你注意到函数 g (x)的定义域吗? (2)抽象函数在填空题中,你会用特殊函数去验证吗? 过关题 14:已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则

2

T f (? ) ? __(答:0) 2
几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ; ②幂函数型: f ( x) ? x
2

-------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ?

x y

f ( x) ; f ( y)

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③指数函数型: f ( x) ? a x ---------- f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ?

f ( x) ; f ( y)

④对数函数型: f ( x) ? loga x --- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ; ⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ?

x y

f ( x) ? f ( y ) 。 1 ? f ( x) f ( y )

18.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗?指数、对数函数的图象特征与性质明 确了吗?对指数函数 y ? a x ,底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 y ? 1 接近程度; 对数 函数 y ? log a x 呢? 你还记得对数恒等式( a 知道:
loga N

? N )和换底公式吗?

n log a N ? log am N n 吗? m
m n

0 , , a ? 1 , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1, ? 1 m an loge x ? ln x , ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N 。 1 1 log 8 如 ( ) 2 的值为________(答: ) 64 2 19.你还记得什么叫终边相同的角?若角 ? 与 ? 的终边相同,则 ? ? ? ? 2k? ,(k ? Z ) 若角 ? 与 ? 的终边共线,则: ? ? ? ? k? , (k ? Z ) 若角 ? 与 ? 的终边关于 x 轴对称,则: ? ? ?? ? 2k? ,(k ? Z ) 若角 ? 与 ? 的终边关于 y 轴对称,则: ? ? ? ? ? ? 2k? ,(k ? Z ) 若角 ? 与 ? 的终边关于原点对称,则: ? ? ? ? (2k ? 1)? ,(k ? Z ) ? 若角 ? 与 ? 的终边关于直线 y ? x 对称,则: ? ? ? ? ? 2k? , ( k ? Z ) 2

指数式、对数式: a n ?

am , a

?m n

各象限三角函数值的符号:一全正,二正弦,三两切,四余弦;150 角的正弦余弦值还记得吗? 20.什么叫正弦线、余弦线、正切线?借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚

? 3 2 ?cos ? ? 吗?如: sin x ? ;? 2 由三角函数线,我们很容易得到函数 y ? sin x , 2 ? tan ? ? 1 ? y ? cos x 和 y ? tan x 的单调区间;

? ? ? k ? Z )吗?你知道错误的原因吗? – 2x) 的单调区间是 [? ? k? , ? k? ]( 6 3 6 k? y ? tan x 图象的对称中心是点 ( , 0) ,而不是点 (k? , 0) (k ? Z ) 你可不能搞错了! 2 ? 你会用单位圆比较 sinx 与 cosx 的大小吗?当 x ? (0, ) 时,x, sinx, tanx 的大小关系如何? 2 y ? tan x 过关题 15:函数 与函数 y ? sin x 图象在 x∈[-2π,2π]上的交点的个数有 个? 21.三角函数中,两角 ?、? 的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗?倍角公式、降次公式
函数 y =2sin(

三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出它们的单调区间、对 称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗?(别忘了 k ? Z )

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a ? ?cos ? ? 2 a ? b2 确 ? 呢? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) 中 ? 角是如何确定的?(可由 ? b ? sin ? ? ? a 2 ? b2 ? b 定,也可由tan ? ? 及 a , b 的符号来确定)公式的作用太多了,有此体会吗? a
2 2 ? 1?o s c ? n is ? 1?o s c ? ; 1 ? sin? ? (cos? ? sin? ) 2 ? cos? ? sin? n a t ?? ? ? 2 1?o s c ? 1?o s c ? n is ? 2 2 2 2

重要公式: sin2 ? ? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ? 1 ? cos2? . ;

如:函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3cos 2 x ?

5? ]( k ? Z ) ) 12 12 巧变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 等) , , ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 2 3 ? 1 ? 如(1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: ) ; (2) 5 22 4 4 4 3 已知 ? , ? 为锐角,sin ? ? x, cos ? ? y ,cos(? ? ? ) ? ? , 则 y 与 x 的函数关系为______ (答: 5 3 4 3 y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 [ k? ? ,k? ?

?

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: 2

?

??

?

? 是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴,则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是 6 ? ? ? A. B. C. D. π ( ) 6 3 2 22.会用五点法画 y ? A sin( ?x ? ? ) 的草图吗?哪五点?会根据图象求参数 A、? 、? 的值吗?
(3)若 x = 23.同角三角函数的三个基本关系,你记住了吗?三角函数诱导公式的本质是: “奇变偶不变,符 号看象限” 函数 y ? sin ?

? 5? ? ? 2 x ? 的奇偶性是______(答:偶函数) ? 2 ?

24.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?会用它们解斜三角形吗?如何实现边 角互化?(用:面积公式,正弦定理,余弦定理,大角对大边等实现转化) 25.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗?(1)角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复 角互化; (2)名的变换:切割化弦;(3)次的变换:降幂公式;(4)形的变换:通分、去根式、
2 2 2 2 2 2 1 的代换 1 ? sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? csc ? ? cot ? ? tan ? sin ? cos0 )等,这些统称为 1 的代

? 4

? 2

换。 26.在已知三角函数中求一个角时,你(1)注意考虑两方面了吗?(先判定角的范围,再求出某 一个三角函数值) (2)注意考虑到函数的单调性吗?

1 ? ? , 且 ? ? ? ,则cos? -sin?的值为 8 4 2 5 10 过关题 17: sin ? = 。 ,sin ? ? , 且? ,? 为锐角, 则 ? ? ? = 5 10
过关题 16: sin ? cos ? ?
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27.形如 y ? A sin(?x ? ? ) +b, y ? A tan( ?x ? ? ) 的最小正周期会求吗?有关周期函数的结论还记 得多少? 周期函数对定义域有什么要求吗?求三角函数周期的几种方法你记得吗? 28、 y ? A sin(?x ? ? ) +b 与 y=sinx 变换关系:φ 正左移负右移;b 正上移负下移;
|?| ? y ? sin x ?左或右平移 ??? ? ? y ? sin(x ? ?) ??????? ?? y ? sin( ?x ? ?) 横坐标伸缩到原来的 1 倍

y ? sin x

? ??????? ??

横坐标伸缩到原来的

1



? ? y ? sin( y ? sin?x ????? ?x ? ?)

? 左或右平移 | |

A倍 |b| ?纵坐标伸缩到原来的 ?????? ?? y ? A sin( ?x ? ?) ?上或下平移 ??? ? ? y ? A sin( ?x ? ?) ? b

29.在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖出正余弦的有界性了吗?

1 ,求 sin ? cos? 的变化范围。 2 提示:整体换元,令 sin ? cos? = t,然后与 sin ? cos ? 相加、相减,求交集。 30.请记住(sin? ? cos? )与 sin ? cos ? 之间的关系。
过关题 18:已知 sin ? cos ? ? 过关题 19:求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域。 31. 常见角的范围 ①异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角的取值范围依次是 (0,

?
2

],

[0, ] , [0, ? ] ; 2
②直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角的取值范围依次是 [0, ? ) , [0, ? ) , [0,

?

?
2

]

32.以下几个结论你记住了吗? ⑴ 如果函数 f ( x) 的图象同时关于直线 x ? a 和 x ? b 对称,那么函数 f ( x) 是周期函 数,最小正周期是 T ? 2 | a ? b | ; ⑵ 如果函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,那么函数 f ( x) 是周期函数,最小正周期是 T ?| a ? b | ; ⑶ 如果函数 f ( x) 的图象既关于直线 x ? a 成轴对称,又关于点 (b, c ) 成中心对称, 那么 f ( x) 是周期函数,周期是 T = 4 | a ? b | 。 (4) f ( x ? a) ? f (b ? x) ,则 f ( x ) 的图象关于 x ?

a?b 对称。 2

过关题:已知函数 f (x)是偶函数,g (x)是奇函数,且满足 g (x) = f (x – 1),则 f (2006) + f (2007) + f (2008) = . 33.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗? l ?| ? | r , S ?

1 lr 若 ? 是角度, 2

公式又是什么形式呢? 过关题: 已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答: 2 cm ) ,曲线 ?
2

? x ? 2cos ? ? ( ? 为参数,且 ?? ? ? ? ? )的长度为 3 ? y ? 2sin ?
A 2

.

34.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗? ⑴ 内角和定理:三角形三内角和为 ? , sin A ? sin(B ? C) , cos A ? ? cos( B ? C ) , sin ? cos( ⑵ 正弦定理:

B?C ) 2

a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径), sin A sin B sin C

注意:已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解

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⑶ 余弦定理: a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , cos A ? 余弦定理鉴定三角形的类型。 ⑷ 面积公式: S ?

b2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? a 2 ? ? 1 等,常选用 2bc 2bc

1 1 abc aha ? ab sin C ? ,内切圆半径 r= 2S?ABC a?b?c 2 2 4R

(5)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,大角对大边,大边对大角,你注意到了吗? sin A ? sin B ? A ? B ,你会证明吗? (6)已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定: C b h A 35.常见的三角换元法:
2 2 2

a

其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时:①a<h 时,无解; ②a=h 时, 一解(直角) ;③h<a<b 时,两解(一锐角, 一钝角) ;④a ? b 时,一解(一锐角) 。 ⑵A 为直角或钝角时:①a ? b 时,无解;②a>b 时, 一解(锐角) 。

已知 x ? y ? a ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ;
2 2 已知 x ? y ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 );

x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? ; a2 b2 x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan? ; a b
已知 36.重要不等式的指哪几个不等式?若 a, b ? 0 , (1) a ? b ? a ? b ?
2 2

2 (当且仅 1?1 a b 2 2 2 当 a ? b 时取等号) ; (2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时, b b?m 取等号) ; (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m 1 1 1 1 37. 倒数法则还记得吗?(指 ab ? 0, a ? b ? ? ,常用如下形式: a ? b ? 0 ? 0 ? ? , a b a b 1 1 a ? b ? 0 ? 0 ? ? )用此求值域的注意点是什么? a b 1 1 x ?1 如求函数 y ? x 的值域,求函数 y ? 2 的值域呢? 2 ?1 2 2 ab ?
38. 不 等 式 证 明 的 基 本 方 法 都 掌 握 了 吗 ? ( 比 较 法 、 分 析 法 、 综 合 法 及 放 缩 法 )

( a ? b) (a ?b ? ? 2 | ab | )等号成立的条件是什么? 2
2 2

2

39.利用重要不等式求函数的最值时,是否注意到一正,二定,三相等? 如:①函数 y ? 4 x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 。 (答:8) 2 ? 4x 2 x y ②若若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______(答: 2 2 ) ; 1 1 ③正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______(答: 3 ? 2 2 ) ; x y

40.二元函数求最值的三种方法掌握了吗?方法一:转化为一元问题,用消元或换元的方法;方法

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二:利用基本不等式;方法三:数形结合法,距离型、截距型、斜率型) 过关题:若正数 a, b 满足 a b = a + b + 3, 则 a + b 的取值范围是 基本变形:① a ? b ? ;(

。 (答: ?9, ?? ? )

a?b 2 ) ? 2



41.不等式的大小比较,你会用特殊值比较吗? 过关题:已知 a > b > 0,且 a b = 1,设 c ?

2 , P ? log ca ,N ? log cb , M log ? a?b

c

ab ,则 A.

P<M<N B. M < P < N C. N < P < M D. P < N < M ( ) 42.不等式解集的规范格式是什么?(一般要写成区间或集合的形式) ,另外“序轴标根法”解不 等式的注意事项是什么? 将不等式整理成一边为零的形式, 将非零的那边因式分解, 要求每个因式中未知量 x 的最高 次数项的系数均为正值,求各因式的零点,画轴,穿线,注意零点的重数,在写解集时还得考 虑解集中是否包含零点。 如:解不等式 ( x ? 3)( x ? 1) ( x ? 2) ? 0 。 (答: {x | x ? 1或x ? ?3 或 x ? ?2} ) ;
3 2

43.解分式不等式

f ( x) ? a(a ? 0) 应注意什么问题?(在不能肯定分母正负的情况下, g ( x)

一般不能去分母而是移项通分) 44.解含参数不等式怎样讨论?注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?”

ax 2 ? x(a ? R) 解不等式 ax ? 1 (综上,当 a ? 0 时,原不等式的解集是 { x | x ? 0} ; 1 当 a ? 0 时,原不等式的解集是 {x | x ? 或 x ? 0} ; a 1 当 a ? 0 时,原不等式的解集是 {x | ? x ? 0} 或 x ? 0} ) a ax ? 1 ? 1, 过关题:解关于 x 的不等式: (| a |≠1) x ?1
45.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元 转化) 46.解对数不等式应注意什么问题?(化成同底,利用单调性,底数和真数都大于零) 过关题:解关于 x 的不等式: log 1 ( x 2 ? x ? 2) ? log 1
4 2

1 x ?1 ? 。 2

47.会用不等式 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 证一些简单问题吗?取等号需满足什么条件的? 48.不等式恒成立问题有哪几种处理方式? (特别注意一次函数型和二次函数型, 还有恒成立理论) 过关题:对任意的 a∈[-1, 1],函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0,则 x 的取值范围 是 。 过关题:当 P(m, n)为圆 x 2 + (y – 1) 2 = 1 上任意一点时,不等式 m + n + c≥0 恒成立,则 c 的 取值范围是 。 49.等差、等比数列的重要性质你记得吗? (等差数列中的重要性质:若 ,则 ; 等差数列的通项公式: an ? kn ? b 型 等比数列中的重要性质:若 前 n 项和: Sn ? An2 ? Bn 型 ,则

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用等比数列求前 n 项和时一定要注意公比 q 是否为 1?( )

时,



时,

50.等差数列、等比数列的重要性质: an?1 ? an?1 ? d (a为常数) 的数列有什么性质?若 {an } 为 等差数列,则 {a2n?1}{ , kan ? b} ? 51.数列通项公式的常见求法: 观察法(通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第 项 an 与项数 之间的关系) 公式法(利用等差、等比数列的通项公式或利用 an ? ? 项公式) 叠加法(适用于递推关系为 an?1 ? an ? f (n) 型)

?

S1

n ?1

?Sn ? Sn?1 n ? 2

直接写出所求数列的通

an?1 ? f (n) 型) an 构造新数列法(如递推关 an?1 ? pan ? q; an?1 ? pan ? bn (bn为等差数列或等比数列) 型)
连乘法(适用于递推关系为 52.数列求和的常用方法: 公式法:⑴ 等差数列的求和公式(三种形式) ,⑵ 等比数列的求和公式 ⑶1 ? 2 ?

n(n ? 1) , 1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ?1) ? n2 , 1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)2 2 1 n(n ? 1) 2 12 ? 22 ? 32 ? ? n 2 ? n (n ?1 ) (n2 ? ,1 13) ? 23 ? 33 ? ? n3 ? [ ] (了解) 2 6 ?n?
n

分组求和法:在直接运用公式求和有困难时常,将“和式”中的“同类项”先合并在一起,再 运用公式法求和(如:通项中含(-1) 因式,周期数列等等) 倒序相加法:在数列求和中,如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合 数相关联,那么常可考虑选用倒序相加法, (等差数列求和公式) 错位相减法: ( “差比数列”的求和) 裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常 选用裂项相消法求和,常用裂项形式有:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ⑵ n(n ? 1) n n ? 1 n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ? ? 2 ? ? ? ⑶ 2 ? 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k? 1 ( k? 1 )k k (k ? 1 )k ? k 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? ? ? [ ? ] ⑷ ⑸ n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? n ? 1?! n! ? n ? 1?!


1 ? 2( n ? n ? 1) n m?1 m m m m m?1 ⑻ Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? Cn?1 ? Cn
⑹ 2( n ? 1 ? n ) ? 裂项法求和:如求和: 1 ?

⑺ an ? S n ? S n?1 (n ? 2)

分组法求数列的和:如 an=2n+3n 、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n、

1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3
0 n 1 n 2 n

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?

(答:

2n ) 、 n ?1

倒序相加法求和:如①求证: C ? 3C ? 5C ? ②已知 f ( x) ?

n ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1) 2n ;

x2 1 1 1 7 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =___(答: ) 2 2 3 4 2 1? x

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求数列{an}的最大、最小项的方法(函数思想) :

?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 如 an= -2n +29n-3 ② an ?? 1 ? n an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 2 n ? 156 n ?1 ? S1 求通项常法: (1)可利用公式: an ? ? ?Sn ? Sn?1 n ? 2
2

?? 0 ? ①an+1-an=?? ?? 0 ?? 0 ?

9 n (n ? 1) (an>0) 如 an= 10n



如:数列 {an } 满足

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 14, n ? 1 a ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) n n 2 ,n ? 2 2

?

(2)先猜后证 (3)递推式为 a n+1 = a n +f(n) (采用累加法); a n+1 = a n ?f(n) (采用累积法); 如 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) , 则 an =________ ( 答 :

an ? n ? 1 ? 2 ? 1) (4)构造法形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列 如已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2 3n?1 ?1 ) ;
(5)涉及递推公式的问题,常借助于“迭代法”解决,适当注意以下 3 个公式的合理运用 an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+??+(a2-a1)+a1 ; (6)倒数法形如 an ? an=

a n a n-1 a 2 ? ? a1 a n-1 a n-2 a 1

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b 1 an ?1 如①已知 a1 ? 1, an ? ,求 an (答: an ? ) ; 3n ? 2 3an ?1 ? 1 1 ②已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: an ? 2 ) , n 1 1 已知函数 f (x) = ? 4 ? 2 , 数列{a n}的前 n 项和为 Sn, 点 Pn (a n, ? )(n∈N*)在曲线 y = f (x) an ?1 x
上, 且 a 1 = 1, a n > 0.(1)求数列{a n}的通项公式; (2)求证: S n>

2n 4n ? 1 ? 1

(n∈N*);

(3)若数列{b n}的前 n 项和为 T n, 且满足 数列{b n}是等差数列.

Tn ?1 an
2

?

Tn an?1
2

? 16n 2 ? 8n ? 3 , 试确定 b 1 的值, 使得

52.由 an ? S n ? S n?1 ,求数列通项时注意到 n ? 2 了吗?一般情况是: an ? ?

?

S1

n ?1

?Sn ? Sn?1 n ? 2

53.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗?各种平行、垂直转换的条件是什么? ①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α 、a∩α =A (a ? α ) 、a ? α ③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a 线//线 ? 线//面 ? 面//面,线⊥线 ? 线⊥面 ? 面⊥面。

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a // b ? ? ? ?? ? // ? ? ? ? 常用定理:①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; ? ? a // ? ; a ? ? ? ? a // ? a ? ? ? a ? ?? a ?? ? ? ?

②线线平行: a ? ?

? // ? ? ? a ? ?? a // b ? ? ? ? ? a // b ; b ? ? ? ? a // b ; ? ? ? ? a ? ? a // b ; a // c ? ? c // b ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b? ? ?

a // ?

a ? ?,b ? ? ? a ??? ? // ? ? ③面面平行: a ? b ? O ? ? ? ? // ? ; ? ? ? // ? ? ? ? // ? ; a ? ? ? // ? ? ? ? a // ? , b // ? ?

④线线垂直: a ? ? ? ? ? a ? b ;所成角 90 ; a ? ?
0

b ? ??

PO ? ? ? ? (三垂线);逆定理? ? ? a ? PA ? a ? AO ?

⑤线面垂直: a ? b ? O

a ? ?,b ? ? ? ??? ? ? ? ; ; ? // ? ? ; a // b ? ? l ? ? ? ? ? ? l ? ? ? a ? ? a ? ?? ? a ? ? a ? ?? ? b ? ? ? ? l ? a, l ? b ? a ? ?, a ? l? ? ?
0

⑥面面垂直:二面角 90 ;

a ? ?? a // ? ? ??? ? ? ; ??? ? ? a ?? ? a ? ??

54.⑴ 作二面角的平面角的主要方法是什么?(定义法、垂线法(三垂线定理法) 、垂面法) ⑵ 求线面角的关键是什么?(找直线的射影)范围是什么?异面直线所成的角如何求?(异 面问题相交化,即转化到同一平面上去求解) ,范围是什么? 过关题:在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中,点 P 在线段 A1C1 上运动,异面直线 BP 与 AD1 所成的 角为θ ,则角θ 的取值范围是 . 两条异面直线所成的角、 直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是:(0,

?

⑶ 斜线 l 与其在平面 ? 内的射影 a 所成的角为

[0, ] 、 [0, ? ] 。 2

?

2

]、

,平面

内一直线 b 与 a 所成的角为 ,l

与 b 所成的角为 ,则 , , 之间的关系是 . o 过关题:若∠ACB=90 且在平面 内,PC 与 CA、CB 所成的角相等且为 60o,则 PC 与平面 所成的角为 . (4)在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时,应注意什么问题? “找、证、算”三个步骤可一个都不能少啊! 求空间角①异面直线所成角 的求法: (1)范围: 如(1)正四棱锥 所成的角的余弦值等于____(答: ; (2)求法:平移以及补形法、向量法。 的所有棱长相等, ) ; 是 的中点,那么异面直线 与

(2)在正方体 AC1 中,M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上 的一点,则 OP 与 AM 所成的角的大小为____(答:90°) ; ②直线和平面所成的角: (1)范围 ; (2)斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 : (3)求法:作垂线找射影或求点线距离 (向量法) ; 如 (1) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 已知 AB=1, D 在棱 BB1 上, BD=1, 则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为______(答:arcsin ) ;

(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、C1D1 的中点,则棱 A1B1 与截面 A1ECF

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所成的角的余弦值是______(答:

) ; 、转

③二面角:二面角的求法:定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法: 化为法向量的夹角。

如(1)正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 B-A1C-A 的大小为________(答: ) ; (2)正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°,则二面 角 C1—BD1—B1 的大小为______(答: ) ;

(3)从点 P 出发引三条射线 PA、PB、PC,每两条的夹角都是 60°,则二面角 B-PA-C 的余弦值 是______(答: ) ;

55.(1)有关长方体的性质和结论,你记得吗? 过关题:平面 、 、 两两互相垂直,直线 l 与平面 、 所成的角分别为 30o、45o,则 直线 l 与平面 所成的角为 . (2)有关正四面体的性质和结论,你记得吗?正方体中有一个正四面体的模型,你知道吗?你 能灵活运用吗?侧棱与底面所成的角的余弦值为 ;侧面与底面所成的二面角的余弦值 为 ; 正四面体的内切球半径 r 与外接球的半径 R 之比为 , 它们与正四面体的高 h 之间的关系分别为 、 。 (3)正三棱锥、正四棱锥的性质,你记得吗?它们的特征直角三角形,你会应用吗? (4)求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、等体积法、换点法) (5)求多面体体积的常规方法有哪些?(直接法、等体积法、割补法) 56.球的表面积、柱、锥、球的体积公式都记得吗? 过关题:一个四面体的所有棱长都是 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 。 57.平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直 (两对对棱垂直) 顶点在底面射影为底面垂心 ;斜高相等(侧面与底面所成相等 ) 顶点在底 面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ ,则 S 侧 cosθ =S 底;正三角形四心?内切 外接圆半径?; 58.向量运算的几何形式和坐标形式,请注意:向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征 ⑴ 几个概念:零向量、单位向量、与 同方向的单位向量,平行向量,相等向量,相反向量,以及 一个向量在另一向量上的投影( 在 方向上的投影是 一定要记住! 过关题:在直角坐标平面上,向量 的斜率为 . 与 在直线 l 上的射影长度相等,则 l , 为向量 与 的夹角)

⑵ 和 0 是有区别的了, 的模是 0,它不是没有方向,而是方向不确定; 可以看成与任意 向量平行,但与任意向量都不垂直。 ⑶ 若 ,则 ,但是由 ,不能得到 或 不能得到 中,点 ,点 在直线 ,你知道理由吗? ,即消去律不成立。 为边 的中点,则 上的充要条件为 还有: 时, 成立,但是由 59. 向 量 中 的 重 要 结 论 记 住 了 吗 ? 如 : 在 三 角 形 ;已知直线 外一点

。 60 你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗? 62.向量运算的有关性质你记住了吗?数乘向量,向量的内积,向量的平行,向量的垂直,向量夹

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角的求法,两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗?(不等价) 向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是- 。)、共线向量、相等向量 注意:不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 63、加、减法的平行四边形与三角形法则: ; ; ; >0,且 不反向, 与 不同向, 是

64、向量数量积的性质:设两个非零向量 , ,其夹角为 ,则:① ②当 , 同向时, 当 与 反向时, = =- ,特别地, ;当 为锐角时, <0,且 ,如果 ) ;

为锐角的必要非充分条件;当 为钝角时, 必要非充分条件; ③ 。如已知 或 且 ,

是 为钝角的 的取

的夹角为锐角,则

值范围是______(答:

④向量 b 在 方向上的投影︱b︱cos = ⑤ 和 是平面一组基底,则该平面任一向量 = 则 ( 唯一) , ,若点 满足

特别:

是三点 P、A、B 共线的充要条件 为 坐 标 原 点, 已 知两 点 且 ,则点

如 ( 1 ) 平面 直 角坐 标系中 , ,其中 (2)在 中,① 为 心; ③向量 线); ④ ⑤ S⊿ AOB= 如: (1)若 O 是 ;

的轨迹是___(答:直线 AB) 为 的重心,特别地 为 的垂

的重心; ② 所在直线过 的内心 ( 是

的角平分线所在直

的内心;

所在平面内一点,且满足 为 ,则 的边 的中点,

,则

的形

状为____(答:直角三角形) ; (2)若 ,满足 ,设

所在平面内有一点 是

的值为___(答:2) ; (3)若点

的外心,且 ,则 的内角 为__(答: ) ; 65.任何直线都有倾斜角,但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率,直线的斜率公式、点到直线 的距离公式、到角公式、夹角公式记住了吗? 用到角公式时,你可要注意两直线斜率的前后顺序呀! 直线的倾斜角的范围是什么?有关直线的倾斜角及范围,你会求吗? 如:直线 x cos θ + y – 1 = 0 (θ ∈R)的倾斜角的范围是 .

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倾斜角α ∈[0,π ],α =90 斜率不存在;斜率 k=tanα = 对不重合的两条直线 , , 66.何为直线的方向向量?法向量?直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 如:经过点(6 ,– 2)且方向向量为 e = (3 ,– 2)的直线方程为 。 67.在用点斜式、斜截式求直线方程时,你是否注意到了所设直线是否有斜率 不存在的情况? 方程: 只能表示过点 斜率存在的直线,而方程: 则能表示过点 两点式: 且斜率不为零的直线,具体在什么情况下选选择哪种形式?你清楚吗? ;截距式: (a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜 直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式 y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 ,有

0

率造成丢解,直线 Ax+By+C=0 的方向向量为 =(A,-B) 68.方程: 中 的几何意义是啥? 69.截距是距离吗?“截距相等”意味什么?什么样的直线其方程有截距式?(斜率存在,斜率不 为零,且不过原点) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零,直线在两轴上的截距相等 直线的斜率为 或直线过原点;直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线在两轴上的截 距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点。 平行线系、垂直线系、经过两直线交点的直线系方程你都知道吗? 过关题:过点(1, 2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为 。 70.(1)方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 表示圆的充要条件是什么?二元二次方程表示圆的充要条 件是什么?(2)点和圆的位置关系怎么判断?当点在圆上、圆外时怎么求切线的?当点在圆外 时,切线长、切点弦所在直线的方程,你记得求法吗? 如:过点(1, 2)总可以作两条直线与圆 x 2 + y 2 +k x + 2y + 5 = 0 相切,则实数 k 的取值范围 是 ,在求解时,你注意到 x 2 + y 2 +k x + 2y + 5 = 0 表示圆的充要条件吗? 过点 P (2, 3)向圆 (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 1 引切线,则切点弦方程为 . (3) 直线和圆的位置关系利用什么方法判定? (圆心到直线的距离与圆的半径的比较或用代数 方法)直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断? 2 2 2 2 2 2 2 (4)圆:标准方程(x-a) +(y-b) =r ;一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0) 参数方程:
2 2 2

;直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
2 2 2 2 2

(5)若(x0-a) +(y0-b) <r (=r ,>r ),则 P(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 内(上、外) (6)直线与圆关系,常化为线心距与半径关系, 如: 用垂径定理,构造 Rt△解决弦长问题, 又:d>r 相离;d=r 相切;d<r 相交. (7)圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为 d,两圆半径分别为 r,R,则 d>r+R 两圆相离;d=r+R 两圆相外切;|R-r|<d<r+R 两圆相交;d=|R-r| 两圆相内切;d<|R- r| 两圆内含;d=0,同心圆。 2 2 2 2 (8)把两圆 x +y +D1x+E1y+C1=0 与 x +y +D2x+E2y+C2=0 方程相减即得相交弦所在直线方程: (D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线 f1(x,y)=0 与曲线 f2(x,y)=0 交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λ f2(x,y)=0 (9)圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 2 2 2 2 2 2 2 (10)过圆 x +y =r 上点 P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r ;过圆 x +y =r 外点 P(x0,y0)作切线后切点 2 弦方程:x0x+y0y=r ;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直x轴. 71.圆锥曲线的两个定义, 及其 “括号” 内的限制条件, 在圆锥曲线问题中, 如果涉及到其焦点 (两 相异定点) ,那么将优先选用圆锥曲线第一定义;如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点

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的一定直线)或离心率,那么将优先选用圆锥曲线的第二定义;涉及到焦点三角形的问题,也 要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用。 72.利用圆锥曲线第二定义解题时, 你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?定点要不在定直线 上呀!离心率的大小与曲线的形状有何关系?(椭圆的圆扁程度,双曲线的张口大小)等轴双 曲线的离心率是多少? 过关题: 动点 P 到定点 A (1, 2)和直线 3x – 2y + 1 = 0 的距离相等, 则动点 P 的轨迹方程为 A. 直 线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ( ) 73.椭圆中,注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.(a,b,c) 椭圆①方程 e=
2 2 2

(a>b>0); 参数方程

②定义 :

=e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2c ③

,a =b +c ④长轴长为 2a,短轴长为 2b⑤焦半径左 PF1=a+ex,右 PF2=a-ex;左焦点弦 ,右焦点弦 ⑥准线 x= 、通径(最短焦点弦) ,焦准距

p=



=

,当 P 为短轴端点时∠PF1F2 最大,近地 a-c 远地 a+c; (a,b>0) ②定义 : =e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c ③ e= ,c =a +b
2 2 2

双曲线①方程

④四点坐标?x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支 及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线 x= p=
2

、通径(最短焦点弦)

,焦准距



=

⑧渐进线



;焦点到渐进线距离为 b; 13.抛物线①方程 ,0),准线 x=,

y =2px②定义:|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴?焦点 F( ④焦半径 ;焦点弦 =x1+x2+p;y1y2=-p ,x1x2=
2

其中 A(x1,y1)、 B(x2,y2)⑤通径 2p,

焦准距 p; 74.直线与椭圆的位置关系的研究类似于直线和圆, 直线和双曲线有且只有一个交点是该直线和此双曲线相切的什么条件?直线和抛物线和一交 点,能定该直线和抛物线相切吗? 学了三次及三次以上的曲线的切线后,知道曲线的切线与该曲线的交点可能多于一个点,甚至 有无穷多个交点。 75.(1)用圆锥曲线方程与直线方程联立求解,在得到的方程中,你注意到△≥0 这一条件了吗? 圆锥曲线本身的范围你注意到了吗? (2)过双曲线的一焦点作弦长等于定长的焦点弦的条数问题,你掌握方法了吗? 如:过双曲线 的右焦点的直线和双曲线相交于 A、B 两点,若|AB|=2,这样的直线

有 条?若|AB|=3, 4, 5 呢? (3)过平面上一点能作几条直线与已知双曲线有且只有一个交点,知道要据该点在双曲线内、 上、外,在外的时候又要分在一条渐近线上,还是在渐近线外,还是在双曲线的中心等情况分 别进行讨论吗? 如:已知双曲线 C: ,过点 P (1, 1)作直线 l,使 l 与双曲线 C 有且只有一个公共点,

这样的直线 l 有几条? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ( ) (4)双曲线的渐近线的倾斜角 与双曲线的离心率 e 之间的关系,你还记得吗? 焦点在 x 轴上时, ; 焦点在 y 轴上时, 。

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过关题:已知双曲线

的离心率

,双曲线的两条渐近线构成的角中,以 ( D. )

实轴为角平分线的角记为 ,则 的取值范围是 A. B. C.

76.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路,等 价求解,特别是: ⑴ 直线与圆锥曲线相交的条件是他们构成的方程组有实数解, 当出现一元二次方程时, 务必 “判 别式大于或等于 0”尤其在应用韦达定理解题时,必须先有 ; ⑵ 直线与抛物线(相交不一定交于两点) 、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性,一定 用谨慎处理啊! (3)过抛物线焦点的弦的性质,你还记得吗?有那些?双曲线共渐近线方程你会运用吗? (4) 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与“弦”相关, “平行弦”问题的关键是“斜率” 、 “中点弦”问题关键是“韦达定理”或“点参数”或“弦长公式”等的运用。 (5)过抛物线焦点的弦长公式:L=x1+x2+p= ( 为直线 l 的倾斜角)

过关题:双曲线的两条渐近线方程为 x±2y=0,且过点(2 , 2)的双曲线方程为 . 77.解析几何求解中,平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有了坐标系了?如果没有,怎么建 直角坐标系呢? 78.(1)你会用圆锥曲线的定义解题吗? (2)要重视一些常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直接法、动点转移法、交 轨法、参数法、向量法等) ,以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质 过关题:点 P 是双曲线 右支上的一点,F 是该双曲线的右焦点,点 M 是线段 PF ( )

的中点,若|OM|=3,则点 P 到该双曲线右准线的距离为 A. B. C. D. 4

79.解析几何中的曲线对称问题有哪几种?(中心对称、轴对称)一般如何处理? 对称①点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m 的对称点分别是(a,b),(-a,b),(-a,-b),(b,a),(-b,-a),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b)对称曲线为 f(2a-x,2b-y)=0;关于 y=x 对称曲线为 f(y,x)=0;关于轴 x=a 对称曲线方程为 f(2a-x,y)=0;关于轴 y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题. 80. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 或 ; (2)给出 (3)给出 (4)给出 与 相交,等于已知 ,等于已知 是 ,等于已知 过 的中点; 与 的中点三点共线; ;③若存在实 三点共线. 为定比,即 ,等于已 的中点;

(5) 给出以下情形之一:① 数 (6) 给出 (7) 给出 知 是钝角, 给出 ,等于已知 ,等于已知 是 ,即 ,等于已知

;②存在实数 ,等于已知 的定比分点,

是直角,给出 是锐角,

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(8)给出

,等于已知



的平分线/

(9)在平行四边形 (10) 在平行四边形

中,给出 中,给出

,等于已知 ,等于已知

是菱形; 是矩形; 的外心(三角形 的重心(三角

(11)在 中,给出 ,等于已知 是 外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 中,给出 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 中,给出 角形的垂心是三角形三条高的交点) ; (14)在 的内心; (15)在 中,给出 等于已知 内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 中,给出 ,等于已知 是 是 中,给出 ,等于已知 是 是

,等于已知

的垂心(三

等于已知

通过

的内心(三角形



边的中线;

81.解应用题应注意的最基本要求是什么?(审题、找准题目中的关键词,设未知数,列出函数关 系式,代入初始条件,注明单位,写好答语) 82.解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合 解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法; 定位问题优先法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间 接法. 过关题:两户三口之家(都是 2 个大人,1 个小孩)一同外出旅游,在某一景点排队(这六个 人排成一队)检票进入时,则排头、排尾都是大人且小孩必须与其母亲相邻,则不同的排法 总数 ( ) A. 32 种 B. 40 种 C. 52 种 D. 56 种 隔板法还记得吗?哪些问题可用此法?如求方程 的正整数解的组数, 展开式中的项数等等。 (只要了解) 83.二项展开式的通项公式是什么?它的主要作用有哪些?二项式系数相关的结论有哪些? 二项式 展开式的通项中 和 的顺序可不能搞倒了! 项的二项式系数为 来确定 的。 二项式系数与展开式中某一项的系数是两个不同的概念,第 84.展开式中最大(或最小)项的求法你还记得吗?是利用

85.导数的定义还记得吗?它的几何意义和物理意义分别是什么?利用导数可解决哪些问题?具 体步骤还记得吗? 86.利用导数求曲线的切线的步骤是什么? 一般都是设切点,求导函数在切点处的函数值,写切线方程。 87.利用导数求函数单调区间时,一般由 解得的区间是单调增区间;利用导数求函数最 值的步骤你还清楚吗?最好是列表! “函数在某点取得极值”你会灵活应用吗?不仅表示在该点的导函数值为零,而且导函数在 该点两侧函数值的符号相异的。

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88.函数 在 上可导,若 (递减) ;反之呢? 函数 在 上可导,若在 导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条;

恒成立,则 处取得极值,则

在 。反之呢?

上递增

如:已知函数 过点 作曲线 的切线,求此切线的方程。 (答: 或 ) 。 / / ⑵研究单调性步骤:分析 y=f(x)定义域;求导数;解不等式 f (x)≥0 得增区间;解不等式 f (x)≤0 得减区间;注意 f (x)=0 的点; 如:设
/

函数



上单调函数,则实数

的取值范围______(答: ) ; ⑶求极值、最值步骤:求导数;求 的根;检验 在根左右两侧符号,若左正右负,则 f(x) 在该根处取极大值;若左负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大 的为最大值,最小的是最小值. 如: (1)函数 (2) 已知函数 ) (3)方程 在[0,3]上的最大值、最小值分别是___(答:5; ) ; 在区间[-1,2 ]上是减函数, 那么 b+c 有最__值__答: 大, 的实根的个数为__(答:1) 点两侧导数异号, 而不仅是 =0,

特别提醒: (1) 是极值点的充要条件是 =0 是

为极值点的必要而不充分条件。 ( 2 ) 给出函数极大 ( 小 ) 值的条件,一定要既考虑 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一

定要切记! 如:函数 处有极小值 10,则 a+b 的值为____(答:-7) 89.三次多项式的图形和它的性质你了解吗?这对把握考点“利用导数研究函数的单调性,极值, 函数的最小和最大”有极大的帮助。 90.会用导数研究高次方程的根的问题吗? 过关题:函数 f (x) = x 3 + 3x 2 – 9x + 5 与 x 轴交点的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 无法确定 过关题:方程 x 3 – 3x + m = 0 在[0, 2]上有解,则实数 m 的取值范围是 . 91.(1)随机事件、必然事件、互斥事件、对立事件的概念你清楚吗?在解题中,你能借助于具 体的事件去体会吗? 过关题:如果 A、B 互斥,那么 ( ) A. A + B 是必然事件 B. 必然事件 C. 与 一定不互斥 D. 与 一定互斥 (2)你能区别等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复事件吗?各自的概率公式还记得 吗?解概率应用题的步骤? 重复独立试验 次其中事件 A 发生 次的概率(应用公式 时不要忘记 ) ; 解概率应用题的一般步骤:设事件,指出这些事件间关系,及这些事件的概率,解?,答; (3)随机事件 的概率 ,其中当 时称为必然事件;当 时称为不 可能事件 P(A)=0; (4)等可能事件的概率(古典概率) ::P(A)=m/n;如: 设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品, 求下列事件的概率:①从中任取 2 件都是次品;②从中任取 5 件恰有 2 件次品;③从中有放回地 任取 3 件至少有 2 件次品; ④从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 (答: ① ; ② ; ③ ; ④ )

(5)互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如:有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个 白球和 2 个黑球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球,从 A、B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中仍

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装有 4 个白球的概率。 (答:

) ;对立事件 (A 、B 不可能同时发生 ,但 A、B 中必然有一发

生):P(A)+P( )=1; (6)独立事件(事件 A、B 的发生互不影响):P(A?B)=P(A)?P(B); 如(1)设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生的概 ) ; (2)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:

率 P(A)是______(答:

答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得 0 分,假设这位同学答对第一、 二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得 300 分的概率为_____________;这名同学至少得 300 分的概率为_____________(答:0.228;0.564) ; k k n-k (7)独立事件重复试验::Pn(K)=Cn p (1-p) 为 A 在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率。如 (1)袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概 率是________(答: ) ; (2)冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任意取 1 瓶

甲种或乙种饮料,取用甲种或乙种饮料的概率相等,则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶 的概率为__________(答: (8)几何概型: ) ;

92.你了解两种简单的随机抽样的方法吗?分层抽样的适用条件是什么? 过关题:采用简单随机抽样,从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本,则个体 a 第一 次被抽到的概率是 ;第一次未被抽到,第二次被抽到的概率是 ;前两次未被抽到, 第三次被抽到的概率是 ;在整个抽样过程中,被抽到的概率为 。 93.(1)直方图、分层抽样、总体期望、方差等你都清楚吗? 的期望 方差 那么 的期望和方差分别是多少呢? ;

(2)相关系数(判定两个变量线性相关性) :

注:⑴ >0 时,变量 正相关; <0 时,变量 负相关; ⑵① 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② 接近于 0 时,两个变量之间几乎 不存在线性相关关系。

(3)线性回归方程:

,其中





93. 你会用样本平均数(期望值)估计总体期望值吗?样本的方差和标准差是衡量什么的? 94.(1)复数、共轭复数、虚数、纯虚数、复数的模的定义你清楚吗?复数相等、复数为 0、 复数为实数、复数为虚数、复数为纯虚数的充要条件你知道吗? 如:复数 z=(m2 – 2m – 3)+(m2 – m – 6)(1)为实数,则 m= ,(2)为纯虚数, 则 m= ,(3)为 0,则 m= ,(4)为虚数,则 m= 。

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复数

的实部是

,虚部是

,它的模是



(2)几个重要的结论: ;⑶ ⑸ 性质:T=4; (6) (7) (3)共轭的性质:⑴ (4)模的性质:⑴ ⑷ ; 以 3 为周期,且 。 ;⑵ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;⑶ 。 ; ; ; =0; ;⑷

95. 算法初步 1.程序框图: ⑴图形符号: ① 终端框(起止况) ;② ③ 处理框(执行框) ;④

输入、输出框;⑥ 判断框;⑤

连接点。 流程线 ;

⑵程序框图分类: ①顺序结构:
输入 n

②条件结构: r=0? 是
n 不是质素

③循环结构: 否
n 是质数 求 n 除以 i 的余数 i=i+1

i=2 i n 或 r=0?否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型)——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 2.基本算法语句: ⑴输入语句: INPUT “提示内容” ;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句: 变量=表达式 ⑵条件语句:① ② IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF ⑶循环语句:①当型: WHILE 条件 循环体 WEND ②直到型: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

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96.填空题要准确表示,解答题要认真做。匆忙看题,审题不清,断章取义,写了一大片,结果好象 在练字,此乃考试时之大忌! 97 .解答开放型问题时,需要思维广阔全面,知识纵横联系. 解答信息型问题时,透彻理解问题中的新信息,这是准确解题的前提. 解答代数证明题,要善于与学过的函数模型作类比,找问题解决的突破口。 解解答题,要有这样的习惯,题目做好后再看一遍题,千万不能答非所问。 98 .用换元法解题时,要注意换元前后的等价性;一般引入新变量都得指出新变量的取值范围; 同时消取去的参数对留下来的参数的范围有一定的影响。 99 .解答多参型问题时,关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕.这当中,参 变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略,似乎是解答这类问题的通性通法. 100.科学考试 细心审题 规范答题

最后我们再次提醒您: 细心是成功的基础,慎密是成功的阶梯!要相信自己;别人能,我也能,祝同学们在 高考中,取得理想的成绩,跨进理想的大学之门,谱写自己人生辉煌的一页。

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