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2.2.2对数函数及其性质(一)


2.2.2 对数函数及其性质(一) (一)教学目标 1.知识技能 (1)理解对数函数的概念. (2)掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 2.过程与方法 (1)培养学生数学交流能力和与人合作精神. (2)用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习,渗透数形结合的数学思想. 3.情感、态度与价值观 (1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的有

机联系,激发学生 的学习兴趣. (2)在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以 及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质. (二)教学重点、难点 1、重点: (1)对数函数的定义、图象和性质; (2)对数函数性质的初步应用. 2、难点:底数 a 对图象的影响. (三)教学方法 通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点. (四)教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出 问题 师: 如 2.2.1 的例 6, 考古学家一般通过提取附着在出土文物、 古遗址上死亡物体的残留物, 利用 t=logP 估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知, 对于每一个碳 14 含量 P,通过对应关系 t=logP,都有唯一确定的年代 t 与它对应,所以,t 是 P 的函数. 师:你能据此得到此类函数的一般式吗? 生:y=logax. 师:这样就得到了我们生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数. 这就是我们下面将要研究的知识. 由实际问题引入,不仅能激发学生的学习兴趣,而且可以培养学生解决实际问题的能力. 概念

形成 对数函数概念 一般地,函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,由对数概念可知,对数函数 y=logax 的定义域是(0,+∞) ,值域是 R. 探究: (1)在函数的定义中,为什么要限定>0 且≠1. (2)为什么对数函数(>0 且≠1)的定义域是(0,+∞) .

组织学生充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解. 生答:①根据对数与指数式的关系,知可化为,由指数的概念,要使有意义,必须规定>0 且≠1. ②因为可化为,不管取什么值,由指数函数的性质, >0,所以. 掌握对数函数概念

概念 深化 1. 对数函数的图象. 借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象,并观察各组函数的图象, 探求它们之间的关系. (1)y=2x,y=log2x; (2)y=()x,y=logx. 2.当 a>0,a≠1 时,函数 y=ax,y=logax 的图象之间有什么关系?

对数函数图象有以下特征 图象的特征 (1)图象都在轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当>1 时,图象逐渐上升,当 0<<1 时,图象逐渐下降 .

(4)当>1 时,函数图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左边的纵坐标 都小于 0. 当 0<<1 时,图象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标都小于 0,在(1,0) 点左边的纵坐标都大于 0 .

对数函数有以下性质 0<a<1 a>1 图 象

定义域 (0,+∞) 值域 R 性 质 (1)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0

(2)在(0,+∞)上是减函数 (2)在(0,+∞)上是增函数

师:用多媒体演示函数图象,揭示函数 y=2x,y=log2x 图象间的关系及函数 y=()x,y=logx 图象间的关系. 学生讨论总结如下结论. (1)函数 y=2x 和 y=log2x 的图象关于直线 y=x 对称; (2)函数 y=()x 和 y=logx 的图象也关于直线 y=x 对称. 一般地,函数 y=ax 和 y=logax(a>0,a≠1)的图象关于直线 y=x 对称. 师生共同分析所画的两组函数的图象, 总结归纳对数函数图象的特征, 进一步推出对数函数 性质. 由特殊到一般,培养学生的观察、归纳、概括的能力.

掌握对数函数图象特征,以及性质. 应用 举例 例 1 求下列函数的定义域: (1)y=logax2; (2)y=loga(a>0,a≠1).

例 2 求证:函数 f(x)=lg 是奇函数.

例 3 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的.pH 的计算公式为 pH=-lg[H+] ,其中[H+]表示溶液中氢离 子的浓度,单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之 间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7 摩尔/升,计算纯净水的 pH.

课堂练习 课本第 85 页练习 1,2. 例 1 分析:求函数定义域时应从哪些方面来考虑? 学生回答:①分母不能为 0;②偶次根号下非负;③0 的 0 次幂没有意义. ④若函数解析式中含有对数式,要注意对数的真数大于 0. (师生共同完成该题解答,师规范板书) 解: (1)由 x2>0,得 x≠0. ∴函数 y=logax2 的定义域是{x|x≠0}. (2)由题意可得>0,又∵偶次根号下非负, ∴x-1>0,即 x>1. ∴函数 y=loga(a>0,a≠1)的定义域是{x|x>1}. 小结:求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例 2 分析:根据函数奇偶性的定义来证明. 证明:设 f(x)=lg,由>0, 得 x∈(-1,1) ,即函数的定义域为(-1,1) , 又对于定义域(-1,1)内的任意的 x, 都有 f(-x)=lg =-lg=-f(x) , 所以函数 y=lg 是奇函数. 注意: 函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定, 而必须进行严格的演算才能得出正 确的结论. 例 3 解:根据对数的运算性质,有 pH=-lg[H+] =lg[H+]-1=lg. 在(0,+∞)上,随着[H+]的增大,减小,相应地,lg 也减小,即 pH 减小. 所以,随着[H+]的增大,pH 减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸度就越小. (2)当[H+]=10-7 时, pH=-lg10-7,所以纯净水的 pH 是 7. 事实上,食品监督监测部门检测纯净水的质量时,需要检测很多项目,pH 的检测只是其中

一项.国家标准规定,饮用纯净水的 pH 应该在 5.0~7.0 之间. 课堂练习答案 1.函数 y=log3x 及 y=logx 的图象如图所示. 相同点:图象都在 y 轴的右侧,都过点(1,0). 不同点:y=log3x 的图象是上升的,y=logx 的图象是下降的. 关系:y=log3x 和 y=logx 的图象关于 x 轴对称. 2.(1) (-∞,1) ; (2) (0,1)∪(1,+∞) ; (3) (-∞, ) ; (4) [1,+∞). 掌握对数函数知识的应用.

归纳 总结 1.对数函数的定义. 2.对数函数的图象和性质. 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系. 课后 作业 作业:2.2 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力 备选例题 例 1 求函数的定义域. 【解析】由, 得. ∴所求函数定义域为{x| –1<x<0 或 0<x<2}. 【小结】求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑真数大于零,底数大于零且不等于 1. 例 2 求函数 y = log2|x|的定义域,并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}. 函数解析式可化为 y =, 其图象如图所示(其特征是关于 y 轴对称).


2.2.2 对数函数及其性质(7011858)

2.2.2 对数函数及其性质 1.对数函数的概念 (1)定义:一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞)...

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