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数列专题训练4及答案


高考数列大题专题 2 1、已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an?1 ?
an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .

2 ? bn ?? bn ? ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an ?? an ?

? ? ?

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

? b 2 2 ? 1? n ?b ? ?b ? an 解: (1)∵ ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? ? an ?1 ? ? an ? ? an ? bn ? ? a 2 ?b 2 n ? n
(2) ∵ an ? 0 , bn ? 0 ∴ 1 ? an?1 ?
an ? bn an 2 ? bn 2 ? 2

? 2 ? 2 2 ? ? ? ? bn ? ? ? an ? bn ? ? ? an ? an ? ? ? ? ? ?
2

2

? ? b ?2 ? ? ? n ? ? 1? n ? N * ? ? ? an ? ?

2

?a ? b ? ∴ n n
2

? an 2 ? bn 2 ? ? an ? bn ?

2

∵ {an } 是各项都为正数的等比数列 ①当 q ? 1 时, ∵ an ? 0

∴设其公比为 q ,则 q ? 0

∴数列 ?an ? 是单调递增的数列,必定存在一个自然数,使得 an?1 ? 2 ②当 0 ? q ? 1 时 ∵ an ? 0

∴数列 ?an ? 是单调递减的数列,必定存在一个自然数,使得 an ?1 ? 1 由①②得: q ? 1 ∵ 1 ? an?1 ?
an ? bn an 2 ? bn 2 ? 2

∴ an ? a1 ? n ? N * ?
a1 ? a12 2 ? a12 得: a1 ? ,且 1 ? a1 ? 2 ∴ bn ? a12 ? 1 a12 ? bn 2
a1 ? bn

∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 ? bn ,n ? N * an a1

∴数列 ?bn ? 是公比为

2 的等比数列 a1

∵ 1 ? a1 ? 2



2 ?1 a1

① 当

a1 ? a12 2 ? a12 2 b ? 时 数列 是单调递增的数列,这与 矛盾 ?1 ?bn ? n a12 ? 1 a1

② 当

2 ? 1时 a1

数列 ?bn ? 是常数数列,符合题意 ∴ bn ? 2 ∴ b1 ? 2

∴ a1 ? 2

2、设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 为 d 的等差数列. (本小题满分 16 分) (2010 江苏) (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示)

? S ?是公差
n

(2)设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 S m ? S n ? cSk 都成立,求证: c 的最大值为
9 . 2

3、等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?
2 3 2 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

1 。 9

1 有条件可知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

4、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;
? an ? ? n ?1 ? (II)求数列 ? 2 ? 的前 n 项和.

?a1 ? d ? 0, ? 2a ? 12d ? ?10, 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ? 1

?a1 ? 1, ? d ? ?1. 解得 ?
故 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2 ? n.
{ an a }的前n项和为Sn Sn ? a1 ? 2 ? n ?1 2 2 ,即 ? an . 2n ?

………………5 分
an , 故S1 ? 1 2n ?1 ,

( II ) 设 数 列

Sn a1 a2 ? ? ? 2 2 4

所以,当 n ? 1 时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . 2n

所以

Sn ?

n 2 n ?1

.

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 综上,数列 2 {

………………12 分

5 、 已 知 数 列 {an } 与 {bn } 满 足 :

bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1)n 2 ,

n ? N* , 且

a1 ? 2, a2 ? 4 . (Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值;
* c (Ⅱ)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1, n ? N ,证明: ? n ? 是等比数列;

(I)解:由

bn ?

3 ? (?1)n , n ? N *, 2

?1, n为奇数 bn ? ? ?2,n为偶数 可得

又 bn an ? an?1 ? bn?1an?2 ? 0,
当n=1时,a1 +a 2 +2a 3 =0,由a1 =2,a 2 =4,可得a 3 ? ?3; 当n=2时,2a 2 +a 3 +a 4 =0,可得a 4 ? ?5; 当n=3时,a 3 +a 4 +2a 5 =0,可得a 4 ? 4.
* (II)证明:对任意 n ? N ,

a2n?1 ? a2n ? 2a2n?1 ? 0, 2a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? 0,

① ②

a2n?1 ? a2n?2 ? 2a2n?3 ? 0, ③
②—③,得 a2n ? a2n?3. ④ 将④代入①,可得 a2n?1 ? a2n?3 ? ?(a2n?1 ? a2n?1 )
* 即 cn?1 ? ?cn (n ? N )

又 c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故cn ? 0,
cn?1 ? ?1, 所以{cn } c n 因此 是等比数列.

6.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn 解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? 3(22n?1 ? 22n?3 ?
? 22( n ?1) ?1 。

? (a2 ? a1 )] ? a1

? 2) ? 2

而 a1 ? 2,

所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。

(Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ?
从而

? n ? 22n?1



22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ?
①-②得

? n ? 22n?1



(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ?


? 22n?1 ? n ? 22n?1



1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9 7. 已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+) (1)证明:数列{an+1-an }是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式

(1)证明: an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(2)解:由(1)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ), [来源:学科网]

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
8. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . (1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 S n?1 ? 4S n 的最大值。 证明: (1)由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* . 又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.
4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2 ? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) Sn ?1 ? 4Sn ? ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3 1 = ? (3n 2 ? n ? 4) 故 n=1,最大 0. 2

(2)由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

9、已知数列 ?an ? 的各项满足: a1 ? 1 ? 3k (k ? R) , an ? 4n?1 ? 3an?1 . (1) 判断数列 {a n ?
4n } 是否成等比数列; 7

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; 解: (1) a n ?1 ?
4 n?1 4 n?1 3 ? 4 n ? 3a n ? ? ?3a n ? ? 4 n 7 7 7 n 4 ? ?3(a n ? ) , 7 4 4 3 a1 ? ? 1 ? 3k ? ? ? 3k . 7 7 7 1 4 4n 当 k ? 时, a1 ? ? 0 ,则数列 {a n ? } 不是等比数列; 7 7 7 1 4 4n 当 k ? 时, a1 ? ? 0 ,则数列 {a n ? } 是公比为 ? 3 的等比数列. 7 7 7 n 1 4 3 ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 , (2)由(1)可知当 k ? 时, a n ? 7 7 7 n 3 4 a n ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 ? . 7 7 1 4n 当 k ? 时, a n ? ,也符合上式, 7 7

3 4n 所以,数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 ? . 7 7

10、已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 12 ,且 2a1, a2 , a3 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?
an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3n

解: (Ⅰ)∵ S3 ? 12 ,即 a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,∴ 3a2 ? 12 , 所以 a2 ? 4 ,
2 2 又∵ 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列, ∴ a2 ? 2(a2 ? d ) ? (a2 ? d ? 1) , ? 2a1 ? (a3 ?1) ,即 a2

解得, d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) , ∴ a1 ? a2 ? d ? 1 ,故 an ? 3n ? 2 ;
an 3n ? 2 1 ? ? (3n ? 2) ? n , n n 3 3 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? (3n ? 2) ? n , ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ① ? 得, Tn ? 1? 2 ? 4 ? 3 ? 7 ? 4 ? ? (3n ? 5) ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 ② 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ① ? ②得, Tn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 1 1 5 1 1 1 3 ? ? 3? 3 ? (3n ? 2) ? n?1 ? ? ? n?1 ? (3n ? 2) ? n?1 1 3 3 6 2 3 3 1? 3 5 1 1 3n ? 2 1 5 6n ? 5 1 ? n ? ? ? n. ∴ Tn ? ? ? n ? 2 ? 4 4 3 2 3 4 4 3 an 3n ? 2 1 1 ? ? n ? n ?1 ? 2 ? n , 法 2: bn ? n n 3 3 3 3 1 1 1 1 设 An ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? ? n ? n ?1 , ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 则 An ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? ? n ? n , ② 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ① ? ②得, An ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ? n 3 3 3 3 3 3 1 1? n 3 ? n ? 1 ? 3 ? ( 3 ? n) ? 1 ? 1 3n 2 2 3n 1? 3 9 9 3 1 ∴ An ? ? ( ? n) ? n , 4 4 2 3

(Ⅱ)法 1: bn ?

1 1 ? (1 ? n ) 3 ? 9 ? ( 9 ? 3 n) ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 5 ? 6n ? 5 ? 1 . ∴ Tn ? An ? 2 ? 3 1 4 4 2 3n 3n 4 4 3n 1? 3
11、已知等差数列 ?an ? 和正项等比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? 1 , a3 ? a7 ? 10 , b3 = a4 (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式 (2)若 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 解 (1) 依题意, ?an ? 为等差数列, 设其公差为 d ; ?bn ? 为正项等比数列, 设其公比为 q , 则可知 q ? 0 ∵

a3 ? a7 ? 10

∴可知 2 a5 ? 10 ,即 a5 ? 5 ∴ a5 ? a1 ? 4d ? 4 ,解得 d ? 1

又 a1 ? 1

故 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n …………………………………………………………………3 分 由已知 b3 = a4 =4, ∴ bn ? b1q n?1 ? 2 n?1 所以 ∴ q2 ?

b3 ? 4 ,即 q ? 2 b1

an ? n , bn ? 2 n?1 ………………………………………………………………6 分

(2)∵ cn ? an ? bn = n ? 2 n ?1 ∴ ∴

Tn = 1? 2 0 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1
2Tn


1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? n ? 2 n

以上两式相减,得- Tn = 2 0 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? 2 n ………………………9 分 = ∴
1 ? (1 ? 2 n ) ? n ? 2 n = (1 ? n) ? 2 n ? 1 1? 2

Tn = (n ? 1) ? 2 n ? 1 ………………………………………………………………12 分

12、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2, ) , (1)证明:数列 ?an ? 是等比数列;

(2)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2, ) , b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式. 解: (1)证:因为 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2, ) ,则 Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3 (n ? 2,3, ) , 所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 4an?1 , 整理得 an ?
4 an ?1 . 3

5分

由 Sn ? 4an ? 3 ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? 1. 所以 ?an ? 是首项为 1,公比为
4 (2)解:因为 an ? ( ) n ?1 , 3 4 由 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2, ) ,得 bn ?1 ? bn ? ( ) n ?1 . 3 4 的等比数列. 3

7分

9分

由累加得 bn ? b1 ? (b2 ? b`1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )

4 1 ? ( ) n ?1 4 3 =2? (n ? 2) , ? 3( ) n ?1 ? 1 , 4 3 1? 3 4 当 n=1 时也满足,所以 bn ? 3( ) n ?1 ? 1 . 3 13、在数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3…),且 a1, a2,a3,成公比不 为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式.
解: (1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,(1 分) 因为 a1,a2,a3 成等比数列, 所以(2+c)2=2(2+3c), 解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去 故 c=2. (2)当 n≥2 时,由于 a2 – a1 =c, a3 – a2 =2c, an – an-1=(n-1)c,

所以 an –a1 =[1+2+…+(n-1) ]c=

n ( n ? 1) c. 2

又 a1=2,c=2,故 an=2+n(n -1)= n 2- n +2(n =2,3,…). 当 n=1 时,上式也成立, 所以 an= n 2- n +2(n =1,2,…). 14、已知等差数列 ?an ? 满足前 2 项的和为 5,前 6 项的和为 3. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? (4 ?an ) ? 2n , (n ? N ? ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn 。

2 ?1 ? ? 2a1 ? 2 d ? 5 解: (1)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d,则 ? 6?5 ?6a1 ? d ?3 2 ?
?a ?3 解 得? 1 ?d ? ?1
? an ? a1 ? (n ?1)d ? 4 ? n

(2) bn ? (4 ?an ) ? 2n ? n ? 2n , (n ? N ? )
Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n

? 2Sn ?

1? 22 ? 2 ? 23 ??? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?

?-?,得 ? Sn ? 21 ? 22 ??2n ? n ? 2n?1
?Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2

—11 分 ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2

学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.c


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