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温州市平阳县鳌江中学2013届高三数学一轮复习全能测试 专题四 平面向量、复数 理


平阳县鳌江中学2013 届 高三一轮复习全 能测试 专题四 平面 向量、复 数
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改

动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B )=P(A)+P(B); 球的表面积公式: S ? 4 ? R (其中 R 表示球的半径);
2

球的体积公式: V ?

4 3

? R (其中 R 表示球的半径);
3

锥体的体积公式: V ?

1 3

Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高);

柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高); 台体的体积公式: V ?
1 3 h(S1 ? S1S 2 ? S 2 )

(其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高). 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求) 1、(2012 浙江理)已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i B.2-i
3?i 1? i

= D.1+2i
b i





C.2+i

2、(2012 陕西理)设 a , b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? ( )[ A.充分不必要条件 C.充分必要条件

为纯虚数”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3、已知向量 a ? (1, 2 ) 和 b ? ( x ,1), 若向量 a ? 2 b与 2 a ? b平行 , 则实数 x 等于 (
1 1

A. 2

B.1

C. 3

D.2 )

a 4、已知向量 a =(x ,y), b =( -1,2 ),且 a + b =(1,3),则 等于(

A

2

B

3

C

5

D

10

5、△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 BM ? 2 AM ,则 CM · CA =
用心 爱心 专心 1

A.18 C.15

B.3 D.12

6、如图所示,已知 AB ? 2 BC , OA ? a , OB ? b , OC ? c , 则下列等式中成立的是

(A) c ?

3 2

b?

1 2

a

(B) c ? 2 b ? a (D) c ?
3 2 a? 1 2

(C) c ? 2 a ? b

b

7、设非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b , ,则 a 与 a ? b 的夹角为(
( A ) 30° ( B ) 60° (C ) 90° ( D ) 120°



??? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? ? 8、 已知 ? A B C 和点 M 满足 M A ? M B ? M C ? 0 . 若存在实 m 使得 A B ? A C ? m A M
成立,则 m =( A.2 ) B.3 C.4 D.5

? ? ? ? ? 9、已知向量 a ? ( 2 , 3) , b ? ( ? 5 , ? 1) ,若 m a ? nb ( m ? 0) 与 a 垂直,
n m



等于( A. ? 1

) B.0
????

C.1

D.2

10、 如 图 , 在 ? A B C 中 A N ?

1 ???? NC , P 是 BN 上 的 一 点 , 若 3

??? ? ??? ? 2 ???? AP ? m AB ? AC , 则 实 数 m 的 值 为 ( 11


5 11 2

A N P B C

A. C.
3

9 11

B. D.

11

11

非选择题部分(共 100 分) 注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

用心 爱心 专心

2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、(2012 湖南理)已知复数 z ? (3 ? i )
? ?
2

(i 为虚数单位),则|z|=_____.
?

12、(2012 新课标理)已知向量 a , b 夹角为 4 5 ,且 a ? 1, 2 a ? b ?
2

?

?

?

? 1 0 ;则 b ? _ _ _ _ _

13、若向量 e1 与 e2 满足:|e1|=2|e2|=2,(e1+2e2) =4,则 e1 与 e2 所夹的角为



14、已知向量 a 的模为 1,且 a , b 满足 | a ? b |? 4 , | a ? b |? 2 ,则 b 在 a 方向上的投影等于 ___________ 15、如图,在 △ A B C 中, ? B A C ? 120 °, A B ? 2, A C ? 1 , D 是边 B C 上一点,
???? ??? ? · D C ? 2 B D ,则 A D B C ?


A

B

D

C
??? ? ???? ???? ???? 2 2 A B | ?| A D | ? B D ? D C

16、 ABC 中, A 在△ ? 则 ? B 等于

?

π 6

, 是 BC 边上任意一点 D 与 B、 不重合)且 | D ( C , .



17、已知三点 A (1, y 1 ), B ( 2 , y 2 ), C ( 3 , y 3 ) 不共线,其中 y i ? ?4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 ? ( i ? 1, 2 ,3 ) . 若对
? ABC 的内心 I ,存在实数 ? ,使得 IA ? IC ? ? ? IB ,则这样的三角形共有

个.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、(本小题满分 14 分)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A ( 3 , 4 )、 B ( 0 , 0 )、 C ( c , 0 ) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

19、(本小题满分 14 分)已知向量 a ? ?sin ? , ? 2 ?, b ? ?cos ? ,1 ? . (1)若 a ‖ b ,求 tan ? ;
2 ? ? ? ? , ? 时,求 f (? ) ? a ? b ? 2 a ? b 的最值。 (2)当 ? ? ? ? ? 12 3 ?

O 20、 (本小题满分 14 分) 已知向量 O A ? ( ? co s ? , ? sin ? ) ( ? ? 0 ) , B ? ( ? sin ? , co s ? ) ,

??? ?

??? ?

其中 O 为坐标原点。

用心 爱心 专心

3

(1)若 ? ? ? ?

?

且 ? ? 1 求向量 O A 与 O B 的夹角;

??? ?

??? ?

6 ??? ? ??? ? (2)若 A B ? 2 O B 对任意实数 ? , ? 都成立,求实数 ? 的取值范围。

21、(本小题满分 15 分)已知 m ? R , (Ⅰ)当 m
? ? 1 时,求使不等式

?? ? 2 a ? ( ? 1, x ? m )

?? ? 1 b ? ( m ? 1, ) x ,



?? c ? (? m ,

x x?m

)

.

?? ?? ? a ?c ? 1

成立的 x 的取值范围;

(Ⅱ)求使不等式 a

?? ?? ? ? ? b ? 0 成立的

x 的取值范围.

22、(本小题满分 15 分)设 x , y ∈R, i 、 j 为直角坐标系内 x、y 轴正方向上的单位向 量,若 a =x i +(y+2) j , b =x i +(y-2) j 且 a + b =16. (1)求点 M(x, y )的轨迹 C 的方程; (2)过定点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在 直线 l 使四边形 OAPB 为正方形?若存在,求出 l 的方程,若不存在说明理由.
2 2

平阳县鳌江中学 2013 届高三一轮复习全能测试 参考答案及 评分标准 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用心 爱心 专心 4

答案 D B A C A A D B C C 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、10 12、 3 2 13、 ?
3 2

?3

15、 ?

8 3

16、

5π 12

30 17、

14、
??? ? A B ? ( ? 3, ? 4)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、(本小题满分14分)解:(1)
????

,

???? A C ? ( c ? 3, ? 4)

当c=5时, A C

? (2, ? 4)

???? ??? ? ?6 ? 16 1 co s ? A ? co s ? A C , A B ? ? ? 5? 2 5 5

sin ? A ?

1 ? co s ? A ?
2

2 5 5

进而 (2)若A为钝角,则 2 AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0
25

解得c> 3
25

显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )

19、(本小题满分 14 分)解析:(1)由 a ‖ b 得 sin ? ? ? 2 cos ? ,所以 t an ? ? ? 2

(2) f (? ) ? sin ? ? cos ? ? 2 ? 2 ?(sin ? ? cos ? ) ? 1? = ?
2

3 2

sin 2? ? 6

? ? ? ? ? ? 2? ? , ? ? 2? ? ? ? , ? ? ? ?? ? ? 12 3 ? ? 6 3 ?
? f (? ) 的最大值 ?

21 4

,最小值 ?

15 2
?

20、(本小题满分 14 分)解: (2)
???? ???? | A B |? 2 | O B |

??? ? (1)当 ? ? 1 时,向量 O A

???? 与 OB

的夹角
2

3


2

对任意的 ? , ? 恒成立,即 ( ? cos ?
? ? 1 ? 2? s i ? ? ? ? ) n (
2

? sin ? ) ? ( ? sin ? ? cos ? ) ? 4

对任

意 的 ?,? 恒 成 立 , 即
2 2

4 对 任 意 的 ?,? 恒 成 立 , 所 以

? ? ? ??02 ? ? 1 ? 4 或 ? ? ??02 ? ? 1 ? 4 ?
? ? 3或 ? ? ? 3 .

,解得

? ? 3或 ? ? ? 3

,所求的实数的取值范围是

21、(本小题满分 15 分)解:(Ⅰ)当 m

? ? 1 时,

?? ? 2 a ? ( ? 1, x ? 1)



?? c ? (1,

x x ?1

)

.
5

用心 爱心 专心

2 ?? ?? ? x ( x ? 1) a ? c ? ?1 ? 2 ? x ? x ?1. x ?1



?? ?? ? 2 a ?c ? x ? x ?1 ? 1

,

∴ ∴

? x 2 ? x ? 1 ? ? 1, ? ? 2 ? x ? x ? 1 ? 1. ?

解得

?2 ? x ? ?1 或 0 ? x ? 1 .

当 m ? ? 1 时,使不等式
? 2 ? x ? ? 1或 0 ? x ? 1?

?? ?? ? a ?c ? 1

成立的 x 的取值范围是

?x

. ,

(Ⅱ)∵

2 2 ?? ?? ? ? x ?m x ? ( m ? 1) x ? m ( x ? 1)( x ? m ) a ? b ? ? ( m ? 1) ? ? ? ?0 x x x

∴ 当 m<0 时, x ? ( m , 0) ? (1, ? ? ) ; 当 m=0 时, x ? (1, ? ? ) ; 当 0 ? m ? 1 时, x ? (0, m ) ? (1, ? ? ) ; 当 m=1 时, x ? (0, 1 ) ? (1, ? ? ) ; 当 m>1 时, x ? (0, 1 ) ? ( m, ? ? ) .

22、(本小题满分 15 分)解:(1)由 a + b =16 得 x +y =4 (2)假设直线 l 存在,显然 l 的斜率存在 设 A(x1,y1) B(x2, y2) 由?
? y ? kx ? 3 ?x ? y
2 2

2

2

2

2

? 4

得 (1 ? k ) x ? 6 kx ? 5 ? 0
2 2

x1 ? x 2 ?

? 6k 1? k
2

x1 x 2 ?

5 1? k
2

?| OA |? | OB |

∴若 OAPB 为正方形 只有 OA ? OB | 即 x1x2+y1y2=0 y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k x1x2+3k(x1+x2)+9
? 5 1? k
2
2

?k

2

5 1? k
2

? 3k (?

6k 1? k
2

)?9 ? 0

k ? ?

7 2

? ?

14 2

∴存在 l 且 l 的方程为 y= ?

14 2

x+3

用心 爱心 专心

6


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